1、- 1 -2018-2019 学年四川省宜宾市叙州区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.设全集 ，集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】， ， ，所以 ，故选择 C.2.已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：复数 z 满足 ，则 ，故选 D考点：复数运算.3.已知 中， ， ，则 等于 A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理列出关系式，把 a， b， 的值代入求出 的值，结合大边对大角的性质即可确定出 B 的度数【详解】 中， ， ， ，由正弦定理
2、得： ， ，则 故选： A- 2 -【点睛】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键4.已知随机变量 服从正态分布 则A. 0.89 B. 0.78 C. 0.22 D. 0.11【答案】D【解析】本题考查正态分布和标准正态分布的转化及概率的计算方法.故选 D5.已知向量 ， ，若 ，则 与 的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】依题意， ，即 解得 ，故 ，则 与 的夹角的余弦值 ，故 .选 D.6.设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 Sm1 2， Sm0， Sm1 3，则 m( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】C【
3、解析】a n是等差数列S m= =0 a1=a m=(S mS m1 )=2，又 = =3，公差 = =1，3= = ， =5，故选 C视频7. 如图所示的程序框图，输出的 S 的值为( )- 3 -A. B. 2 C. 1 D. 【答案】A【解析】k1 时，S2，k2 时，S ，k3 时，S1，k4，S2，所以 S 是以 3 为周期的循环故当 k2 012 时，S 8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为 A. B. C. D. 【答案】C【解析】- 4 -试题分析：几何体为一个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为 4）中心，所以半径为，表面积为 ，选 C.考点：三视
4、图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.视频9.我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地.”则此人第一天走的路程为（ ）A.
5、 192 里 B. 96 里 C. 63 里 D. 6 里【答案】A【解析】设第一天走了 里，则 是以 为首项，以 为公比的等比数列，根据题意得：解得故选10.函数 在区间 ， 内是增函数， 则实数 的取值范围是 A. ， B. ， C. D. 【答案】B【解析】【分析】对函数进行求导，根据函数单调递增易得 在 内恒成立，即 ，解出即得结- 5 -果.【详解】 ， ，函数 在区间 内是增函数， 在 内恒成立，即 ， ，故选 B【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，将函数单调递增转化为 是解题的关键，属于中档题11.已知抛物线 的准线过双曲线 的左焦点且与双曲线交于 、 两点，为坐标原点，且
6、 的面积为 ，则双曲线的离心率为 A. B. 4 C. 3 D. 2【答案】D【解析】试题分析：抛物线 的准线方程为 ，所以双曲线 的左焦点 ，从而 ，把 代入 得 ，所以 的面积为，解得 ，所以离心率 ，故选 D.考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出 的值，由双曲线标准方程求得弦 的长，表示出 的面积，从而求得 值，最后由离心率的定义求出其值.12.已知函数 ， ， 为 的零点， 为 图象的对称轴，且 在 ， 上单调，
7、则 的最大值为 A. 11 B. 9 C. 7 D. 5【答案】B- 6 -【解析】，则 ，得 ，又 ，则 ，得 ，当 时，则 ，则 ，所以 ，在 不单调；当 ，则 ，则 ，所以 ，在 单调递减。故选 B。点睛：由零点和对称轴判断得到 ，解得 ，由 单调，得到区间长度，则 ，但本题四个选项都满足要求，则由大往小代入验证，得到选项 B 满足要求。二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 关于 的展开式中，只有第 4 项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为_.【答案】【解析】试题分析：因为只有第 项的二项式系数最大，所以 因此展开式的系数之和为考点：二项式系数性质14.已知实
8、数 ， 满足不等式组 则 的最小值为_【答案】【解析】做出约束条件 的平面区域，如图所示：- 7 -联立 解得： ，即 由图可知：当直线 过点 时有最小值：.故答案为 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.15.AB 为过抛物线 焦点 F 的一条弦，设 ， ，以下结论正确的是_，且的最小值为 4以 AF 为直径的圆与 x 轴相切【答案】【解析】【分析】可设直线 AB 的方程为 ，由 ，得
9、，由韦达定理可判断 正确；利用弦长公式表示出 ，由表达式可知 正确；通过计算圆心到 x 轴的距离、半径可判断正确；【详解】因为直线 AB 过抛物线的焦点 ，故可设直线 AB 的方程为 ，由 ，得 ，- 8 -则 ， ，故 正确；由抛物线定义得，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 4，故 正确；，则圆心 ，圆心到 x 轴的距离 ，直径 ，半径 ， ，所以以 AF 为直径的圆与 x 轴相切，故 正确；故答案为： 【点睛】本题考查抛物线的性质、方程及直线与抛物线的位置关系，考查学生解决问题的能力16.当 ， 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：不等式 变形为 当 时
10、， ，故实数 a 的取值范围是 ；当 时， ，记 ，故函数 递增，则 ，故 ；当时， ，记 ，令 ，得 或 （舍去） ，当时， ；当 时， ，故 ，则 综上所述，实数 的取值范围是 考点：利用导数求函数的极值和最值三、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0 分）17.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，且- 9 -（1）求角 的大小；（2）若 ， ，求 的面积【答案】 （1） （2） 【解析】试题分析：（1）由 ，得 ，根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式可得 ，从而可得结果；（2）由 ，结合余弦定理可得，利用三角形面积公式可得结果.试题解析：（1）由 ，得 ，即
11、，由正弦定理，得 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 因为 ，所以 （2）在 中，由余弦定理，得 ，又 ，所以 ，解得 ，所以 的面积 【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到18.
12、2018 年 2 月 22 日上午，山东省省委、省政府在济南召开山东省全面展开新旧动能转换重- 10 -大工程动员大会，会议动员各方力量，迅速全面展开新旧动能转换重大工程.某企业响应号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 200 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则为不合格品.图 3 是设备改造前的样本的频率分布直方图，表 1 是设备改造后的样本的频数分布表.表 1：设备改造后样本的频数分布表（1）完成下面的 列联表，并判断是否有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关
13、；（2）根据图 3 和表 1 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价 240 元；质量指标值落在 或 内的定为二等品，每件售价 180 元；其它的合格品定为三等品，每件售价 120 元.根据表 1 的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为 （单位：元） ，求 的分布列和数学期望.附：0.150 0.100 0.050 0.025 0.010- 11 -2.0
14、72 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】(1) 有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关(2)见解析【解析】试题分析：（1）根据直观图以及表格中所给数据，可完成列联表；根据列联表，利用公式可得 ，与临界值比较可得结果；（2）根据图 和表 可知，利用古典概型概率公式可得设备改造前产品为合格品的概率约为 ，设备改造后产品为合格品的概率约为 ，比较合格率的大小即可得结果；（3）随机变量 的取值为：， ， ， ， ，根据独立事件的概率公式计算出各随机变量对应的概率，可得分布列，利用期望公式可得结果.试题解析：（1）根据图 3 和表 1 得到 列联表：设备改
15、造前 设备改造后 合计合格品 172 192 364不合格品 28 8 36合计 200 200 400将 列联表中的数据代入公式计算得：. ，有 99%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关.（2）根据图 和表 可知，设备改造前产品为合格品的概率约为 ，设备改造后产品为合格品的概率约为 ；显然设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优.- 12 -（3）由表 1 知：一等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为 ；二等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为 ；三等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为 .由已知得：随机变
16、量 的取值为： ， ， ， ， .，.随机变量 的分布列为：240 300 360 420 480 .【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图、古典概型概率公式以及独立性检验与离散型随机变量的分布列与期望，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成 列联表；（2）根据公式 计算 的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）19.如图，在直三棱柱 侧棱和底面垂直的棱柱 中，平面 侧面 ，线段 AC、 上分别有一点 E、F 且满足 ， 求证： ；求点 E 到直线 的距离；- 13 -求二面角
17、 的平面角的余弦值【答案】 （1）见解析（2）（3）【解析】试题分析：（1）过点 A 在平面 A1ABB1内作 ADA 1B 于 D，由已知条件推导出 AD平面A1BC，由此能证明 ABBC（2）以点 B 为坐标原点，以 BC、BA、BB 1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点 E 到直线 A1B 的距离（3）分别求出平面 BEF 的法向量和平面 BEC 的法向量，利用向量法能求出二面角 FBEC的平面角的余弦值（1）证明：如图，过点 A 在平面 A1ABB1内作 ADA 1B 于 D，则由平面 A1BC侧面 A1ABB1，且平面 A1BC侧面 A1
18、ABB1=A1B，AD平面 A1BC，又BC平面 A1BC，ADBC三棱柱 ABCA 1B1C1是直三棱柱，AA 1底面 ABC，AA 1BC又AA 1AD=A，BC侧面 A1ABB1，又AB侧面 A1ABB1，ABBC （4 分）（2）解：由（1）知，以点 B 为坐标原点，以 BC、BA、BB 1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，- 14 -B（0，0，0） ，A（0，3，0） ，C（3，0，0） ，A 1（0，3，3）线段 AC、A 1B 上分别有一点 E、F，满足 2AE=EC，2BF=FA 1，E（1，2，0） ，F（0，1，1） ， ， =0，E
19、FBA 1，点 E 到直线 A1B 的距离 （8 分）（3）解： ，设平面 BEF 的法向量 ，则 ，取 x=2，得 =（2，1，1） ，由题意知平面 BEC 的法向量 ，设二面角 FBEC 的平面角为 ， 是钝角，cos=|cos |= = ，二面角 FBEC 的平面角的余弦值为 点评：本题考查异面直线的证明，考查点到直线的距离公式的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20.抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点（1） 为坐标原点，求证： ；（2）设点 在线段 上运动，原点 关于点 的对称点为 ，求四边形 面积的最小值【答案】 （）见解析；（） 时，四边形 的面积最小，
20、最小值是 【解析】- 15 -试题分析：（1）先利用已知条件设出直线 AB 的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。（2）根据由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，得到四边形 的面积等于 ，结合三角形面积公式得到。（）解：依题意 ，设直线 方程为 1 分将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 3 分设 ， ，所以 ， =1，故 6 分（）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，从而点 与点 到直线 的距离相等，所以四边形 的面积等于 8 分因为 9 分，11 分所以 时，四边形 的面积最小，最小值是
21、12 分考点：本试题主要是考查了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。21.定义在 上的函数 满足 ， （1）求函数 的解析式；（2）求函数 的单调区间；（3）如果 、 、 满足 ，那么称 比 更靠近 当 且 时，试比较 和 哪个更靠近 ，并说明理由【答案】 （1） ；（2）当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为，单调递减区间为 ；（3） 比 更靠近 - 16 -【解析】试题分析：（1）两边求导，可建立关于 ， 的方程组，求得其值，即可得到解析式；（2）求导，对 的取值进行分类讨论，即可得到结论；（3）设
22、，从而问题等价于 ，通过对 的取值范围进行分类讨论，利用求导判断单调性求极值，即可得到结论试题解析：（1） ， ，即 ，又， ， ；（2） ， ， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，当 时，由得 ， 时， ， 单调递减； 时， 单调递增，综上，当 时，函数 的单调递增区间为 ；当 时，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；（3）设 ， ， 在 上为减函数，又 ，当 时， ，当 时， ， ， ， 在 上为增函数，又 ， 时， ， 在上为增函数， ，当 时，设 ，则 ， 在 上为减函数， ， ， ， ， 比 更靠近 ，当 时， ，设 ，则 ， ， 在 时为减函数，- 17 - ， 在 时为
23、减函数， ， ， 比 更靠近 ，综上：在 ， 时， 比 更靠近 考点：1利用导数判断函数的单调性求极值；2分类讨论的数学思想22.在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 为参数） ，若以直角坐标系中的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为为实数 （1） 求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；（2） 若曲线 与曲线 有公共点， 求 的取值范围 【答案】 （1） ， ， （2）【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线 的普通方程，注意参数对自变量范围的限制，再根据 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线段方程，求出相切时以
24、及过端点时 的取值，结合图像确定 的取值范围.试题解析：解：（）因为 ，所以 由平方得：又两式相减得 ，故曲线 的普通方程为 ， 另由 得 的直角坐标方程为 （）如图，当直线 过点 时， ；当直线 与 相切时，- 18 -由 得由 得 ，从而，曲线 与曲线 有公共点时， 23.已知函数 .（1）求不等式 的解集；（2）若不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数 ，得的解集为 ；（2）由题意得， ，即，解得 。试题解析：（1）依题意， 故不等式 的解集为（2）由（1）可得，当 时， 取最小值 ， 对于 恒成立， ，即 ， ，解之得 ，实数 的取值范围是点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答案；任意型恒成立问题得到 ，由分段函数分析得到 ，所以 ，解得答案。- 19 -
