1、- 1 -镇海中学 2018 学年第一学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知点 在第二象限，则角 的终边所在的象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意利用角在各个象限的符号，即可得出结论.【详解】由题意，点 在第二象限，则角 的终边所在的象限位于第四象限，故选 D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及三角函数在各个象限的符号，其中熟记三角函数在各个象限的符号是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.2.对于向量 ， ， 和实数 ，下列命题
2、中正确的是（ ）A. 若 ，则 或 B. 若 ，则 或C. 若 ，则 或 D. 若 ，则【答案】B【解析】【分析】由向量的垂直条件，数量积为 0，可判定 A；由向量的数乘的定义可判断 B；由向量的平方即为向量的模的平方，可判断 C；向量的数量积不是满足消去律，可判断 D，即可得到答案.【详解】对于 A 中，若 ，则 或 或 ，所以不正确；对于 B 中，若 ，则 或 是正确的；对于 C 中，若 ，则 ，不能得到 或 ，所以不正确； 对于 D 中，若 ，则 ，不一定得到 ，可能是 ，所以不正确，综上可知，故选 B.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义，向量的数乘和向量的运算律等知识点，其中-
3、2 -解答中熟记向量的数量积的定义和向量的运算是解答本题的关键，着重考查了判断能力和推理能力，属于基础题.3.已知向量 ， ，若 ，则实数 为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 ，即可得出 ，进行数量积的运算即可得出 ，在由向量的坐标运算，即可求解.【详解】由题意，因为 ，所以 ，整理得 ，又由 ，所以 ，解得 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得 ，再根据向量的数量积的坐标运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数 的图象关于直线 对称，则实数 的值是（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数 ，又由函数的图象关于 对称，得到，即可求解.【详解】由题意，函数 ，又由函数的图象关于 对称，所以 ，即 ，解得 ，故选 D.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质，列出方程求- 3 -解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5.将 的图象上各点横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，然后将图象向右平移 个单位，所得图象恰与 重合，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】直接利用逆向思维，对函
5、数的关系式进行平移变换和伸缩变换的应用，求出函数的关系式，即可得到答案.【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数 向左平移 个单位，得到 的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.已知函数 ， ，则 是（ ）A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数为 ，由此可得处函数的奇偶
6、性和最小正周期，得到答案.【详解】由函数 ，所以函数 为偶函数，且最小正周期为 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练- 4 -应用三角恒等变换的公式化简，以及熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若向量 ， ，且 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意， ，求得 ，在根据向量的数量积的运算公式和三角函数的基本关系式，化简 为齐次式，即可求解.【详解】由题意， ，所以 ，解得 ，又由向量 ， ，则 ，故选 B.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及
7、利用三角函数的基本关系式化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系，化简向量的数量积为齐次式是解答的关键，属于基础题，着重考查了推理与运算能力.8.已知 ， 是方程 的两个实数根，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用对数函数的变换，进一步利用一元二次方程的根和系数关系和三角函数关系式的恒等变换，即可求出结果.【详解】由题意， ， 是方程 的两个实数根，即 ， 是方程 的两个实数根，- 5 -所以 ，则 ，故选 C.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关
8、键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知单位向量 的夹角为 ，若向量 满足 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意，设 ，由 ，化简得 ，表示圆心为 ，半径为 1的圆，结合图形可知，即可求解 的最大值.【详解】由题意，设单位向量 ，且 ，则 ，由 ，所以 ，化简得 ，表示圆心为 ，半径为 1 的圆，如图所示，由图形可知， 的最大值为 ，故选 A.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算的应用，其中解答中熟记向量的坐标公式，得出向量 表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.
9、10.有下列叙述，函数 的对称中心是 ；- 6 -若函数 （ ， ）对于任意 都有 成立，则；函数 在 上有且只有一个零点；已知定义在 上的函数 ，当且仅当（ ）时， 成立.则其中正确的叙述有（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】【分析】由正切函数的对称性可判断；由正弦函数的对称性可判断；由 的导数判断单调性，结合零点存在定理可判断；由正弦函数与余弦函数的图象和性质，可判断，即可得到答案.【详解】由题意，中，函数 的对称中心是 ，所以不正确；中，若函数 对于任意 都有 成立，可得函数 关于对称，则 ，所以不正确；中，函数 的导数为 ，可得函数 在 上为单调递增函数，又由
10、，即 在 有且只有一个零点，所以是正确的；中，已知定义在 上的函数 ，当 时，即 时， ；当 时，即 时， ；当 和 ， 时， 成立，即当 时， 成立，所以是正确的，故选 B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及函数的零点的存在定理的应用是解答的关键，着重考查了推理- 7 -与计算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试.第卷（非选择题）二、填空题。11. 的值为_； 的值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】直接利用诱导公式，及两角和的正弦公式，化简求值，即可得到答案.【详解】由题意， ； 又由 .【点
11、睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和两角和的正弦函数公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.12.已知扇形的周长为 ，当它的半径为_时，扇形面积最大，这个最大值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】设扇形的半径与中心角分别为 ，可得 ，在利用扇形的面积为 ，利用基本不等式即可求解.【详解】设扇形的半径与中心角分别为 ，则 ，可得 ，可得扇形的面积为 ，当且仅当 是取等号.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式，以及基本不等式的性质的应用，其中解答中利用扇形的弧长和面积公式，合理表示扇形的面积，利用基本不等式求解是解答的关
12、键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.13.已知 ， ，若 ，则实数 的值是_；若 与 的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.- 8 -【答案】 (1). 或 (2). 【解析】【分析】由题意，根据 ，得到方程 ，即可解答 得值，再由 和 的夹角为锐角，所以，且 不同向，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，因为 ，所以 ，解得 或 ，因为 和 的夹角为锐角，所以 ，且 不同向，所以 ，所以 且 ，所以 的取值范围为 且 .【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用，以及向量的数量积的应用问题，其中解答中熟记向量平行是的坐标关系，以及向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能
13、力，属于基础题.14.设 ， 是单位向量，且 ， 的夹角为 ，若 ， ，则 _； 在方向上的投影为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据平面向量数量积的定义求出 与 ，并计算出平面向量 的模 ，再利用公式，即可求解.【详解】由平面向量的数量积的定义，可得 ，即 ，所以 在 方向上的投影为 .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推- 9 -理与运算能力，属于中档试题.15.已知 为角 的终边上的一点，且 ，则实数 的值为_.【答案】【解析】【分析】由三角函数的
14、定义，即可求解 得值，得到答案.【详解】由三角函数的定义可知 ，解得 ，又由 ，所以 .【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，列出方程求解是解答的关键，着重考查了退与运算能力，属于基础题.16.若函数 在 内有两个不同的零点，则实数 的取值范围是_.【答案】 或【解析】【分析】由题意， ，令 ， ，把原函数转化为 有两个不同的零点，进而转化为方程 在 上有唯一的实根或在 上有两相等的实根，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数 令 ， ，则原函数转化为 有两个不同的零点，则转化为函数 在(0,1)上有唯一的零点即转化为方程 在(0,1)上有唯一的
15、实根或在(0,1)上有两相等的实根转化为函数 ， 与函数 有唯一交点得 或所以 或- 10 -【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令 ，把原函数转化为 有两个不同的零点，进而转化为方程 在(0,1)上有唯一的实根或在(0,1)上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.17.已知 为 的外心， ，若 （ ） ，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】法一：设圆的半径为 ，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，得到 ，进而可求解其取值范围.法二，由奔弛定理和向量的运算，得 ，进而得 ，利用三
16、角函数的性质，即可求解.【详解】法一：设圆的半径为 ，如图所示建立平面直角坐标系，则所以易得 ，所以法二，由奔弛定理 ，由已知转化为：又 ，所以变形为于是所以 ，得 .- 11 -【点睛】本题主要考查了向量的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把 转化为三角函数的运算，合理利用三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知 ， ， .（）求 与 的夹角 ；（）当 为何值时， 与 垂直？【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由向量的数量积的运算，列出方程，求得
17、 ，即可求解结果.（2）由 ，利用向量的数量积的运算，即可求解 .【详解】 （1）由题意，根据向量的运算，得，解得：， .（2） ， .解得 . 时， 与 垂直.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的运算公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19.已知函数 .（）求函数 的最小正周期；- 12 -（）求函数 在 的单调递增区间.【答案】 （1）函数 的最小正周期是 （2）【解析】【分析】（1）利用三角函数恒等变换的公式，化简 ，利用周期的公式，即可求解函数的最小正周期；（2）由 ，根据三角函数的性质，得到 ，即可得到函
18、数的递增区间.【详解】 （1）由题意，函数，则 ，即函数 的最小正周期是 .（2） ， .， .所以函数 在 的单调递增区间是 .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.20.设 ，且 ， .（）求 的值；（）求 的值.【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得 ，在根据余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解；法二：令 ，求得 ，利用三角函数的诱导公式和基本关系式，即可求解；（2）由三
19、角函数的基本关系式，求得 ，再由两角和的正弦、余弦函数的公式，求得- 13 -， 的值，进而可求解.【详解】 （1）法一： ，法二：令 ，则 ，.（2） ， ， ， ， .【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的诱导公式、基本关系式，以及两角和的正弦、余弦函数、倍角公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21.已知 和 的夹角为 ，且满足 ， .（）求所有满足条件的 所组成的集合 ；（）设函数 ， ，对于集合 中的任意一个 ，在集合 中总存在着一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） （
20、2）【解析】【分析】（1）由向量的数量积的公式，求得 ，进而根据题设条件，得到 ，即可求解所组成的集合 A，得到答案；（2）根据三角恒等变换的公式，化简 ，令 ，得到函数- 14 -，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】 （1）由题意，根据向量的数量积的运算，可得 ，；， ，得 ， ，故所求集合 ；（2）由题意，根据三角恒等变换的公式，得；令 ， ， ；由题意 ，得 ， .【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中根据向量的数量积的运算公式、合理化简，以及利用三角函数的图象与性质，转化为二次函数的应用求解是解答的关键，着重考查了转化思想、换元思想，以
21、及推理与计算能力，属于中档试题.22.已知实数 ， ， ，若向量 满足 ，且 .（）若 ，求 ；（）若 在 上为增函数.（1）求实数 的取值范围；（2）若 对满足题意的 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （） 或（） （1） （2）【解析】【分析】（）设 ，根据向量的数量积的运算，求得 ，进而得到 和- 15 -，即可得到向量 的坐标；（） （1）根据向量的模的运算，求得 ，又由函数 在 上为增函数，得到 也是增函数，得到 ，即可求解 得取值范围；（2）由 恒成立，转化为 对 恒成立，进而转化为 对恒成立，即可求解.【详解】 （）设 ，由 得 ，又 ， ，所以 ，即 ，得 ，又 ，所以 ，故 或（） （1）根据向量的模的公式，得化简得 ；在 上为增函数在 上为增函数，即 ，解得 ， ； ，（2） 对 恒成立，对 恒成立即 对 恒成立， ；解得 .【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算公式的应用，以及函数的恒成立问题的求解，其中解答中根据向量的数量积的运算公式和向量的模的运算公式，合理运算、化简，转化为与二次函数相关的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了转化思想，换元思想，以及- 16 -分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.- 17 -
