1、- 1 -2017-2018 学年湖北省荆州市沙市中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知集合 P=x|0 x2， Q=x|x2-10，那么 P Q=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出集合 P，Q，由此能求出 PQ【详解】：集合 P=x|0x2， Q=x|x2-10=x|-1x1， PQ= x|0x1=（0，1） 故选：B【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题2.函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于
2、0 求解对数不等式得答案【详解】由 log2x-10，解得 x2函数 的定义域为2，+） 故选：A【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题3.方程 4x-32x+2=0 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】C- 2 -【解析】【分析】根据题意，用换元法分析：设 t=2x，原方程可以变形为 t2-3t+2=0，解可得：t=1 或 t=2，分别求出 x 的值，即可得答案【详解】根据题意，设 t=2x， 则 t2-3t+2=0， 解可得：t=1 或 t=2， 若 t=1，即 2x=1，则 x=0， 若 t=2，即 2x=2，则 x=1， 则方程 4x-32x+2
3、=0 的解集为0，1； 故选：C【点睛】本题考查指数的运算，关键是掌握指数的运算性质，属于基础题4.已知 ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由- 0，得 ，由此能求出结果【详解】 ， 故选：D【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求出能力，考查函数与方程思想，是基础题5.sin20cos10+cos20sin10=（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】- 3 -由条件利用两角和差的正弦公式，求得所给式子的值【详解】sin20cos10+cos20sin10=sin（20+10）=sin30= ，故选：A【点睛】本题主要考查
4、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题6.函数 的最大值为（ ）A. 1 B. C. D. 2【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式化简函数的解析式，通过正弦函数的最值求解即可【详解】函数 2故选：D【点睛】本题考查三角函数的最值的求法，诱导公式的应用，考查计算能力7.设函数 ，则下列结论错误的是（ ）A. 的一个周期为 B. 的图象关于直线 对称C. 的图象关于 对称 D. 在 单调递增【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质判断各选项即可【详解】函数 ，根据正弦函数的性质有 ，所以 的一个周期为-2，A 正确当 时，可得函数 f（x）=sin =1，f（x）的图象关于直线 对称，B 正确
5、当 时，可得函数 f（x）=sin0=0，f（x）的图象关于 对称，C 正确函数 的图象是由 y=sinx 向左平移 可得，f（x）在 单调递增不对故选：D- 4 -【点睛】本题考查正弦函数的对称性，对称中心的求法，属于基础题8.已知 ，则 =（ ）A. B. 1 C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】直接展开倍角公式求得 的值【详解】由 ，得 ，即 =2故选：C【点睛】本题考查倍角公式的应用，是基础的计算题9. ，且 ， 的终边关于直线 y=x 对称，若 ，则 sin=（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知画出图形，可得 += ，再由诱导公式及同角三角函数基本关系
6、式求解【详解】如图，- 5 -由图可知，+= ， ，sin=sin（ ）=cos= 故选：B【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角差的正弦，是基础题10.若 ， ，则下列各数中与 最接近的是 参考数据：A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据 ，利用题中近似值即可得解.【详解】 .而 lg30.48，365lg3-10075， 10 75，故选：C【点睛】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题11.若函数 的最大值为 M，最小值为 N，则 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由条件将 f（x）变形，可设 g（x）= ，判断奇偶性，可得最值的关系，再由
7、函数 f（x） ，计算可得所求和【详解】函数 ，- 6 -可得 .由 g（x）= ，可得 g（-x）= =-g（x） ，即有 g（x）在 x-2，-11，2为奇函数，可得 g（x）的最小值 s 和最大值 t 互为相反数，则 M+N=（t+ ）+（s+ ）=3故选：C【点睛】本题考查利用函数的奇偶性研究最值，注意运用函数的奇偶性和对数的运算性质，考查运算能力，属于中档题12.如图，在半径为 1 的扇形 AOB 中（ O 为原点） ， 点 P（ x， y）是 上任意一点，则 xy+x+y 的最大值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知 x=cos，y=sin，0 ，
8、则 xy+x+y=sincos+sin+cos 利用三角函数有关公式化简，即可求解最大值【详解】由题意知 x=cos，y=sin，0 ，- 7 -则 xy+x+y=sincos+sin+cos，设 t=sin+cos，则 t2=1+2sincos，即 sincos= ，则 xy+x+y=sincos+sin+cos=t=sin+cos= sin（+ ） ，0 ， + ， .当 t= 时，xy+x+y 取得最大值为： 故选：D【点睛】本题考查了三角函数的性质和转换思想的应用，由 t=sin+cos，则t2=1+2sincos，即 sincos= ，将xy+x+y=sincos+sin+cos=
9、+t= （t-1） 2，转化为二次函数问题，属于中档题；二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知 ，则 =_【答案】【解析】【分析】先利用对数的运算法则求出 a，由此能求出 【详解】 ， ， 故答案为： 【点睛】本题主要考查指数与对数运算法则等基础知识，考查运用求解能力，基础题- 8 -14.tan + =_【答案】【解析】【分析】由 ，展开二倍角的正切求得 ，则答案可求【详解】 ， ，解得 + 故答案为： .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正切，是基础题15.函数 的部分图象如下，则 +=_【答案】【解析】【分析】根据图象由=sin= ，f（ ）=sin（
10、 + ）=0，结合图像确定 和 的值即可得到结论【详解】由题意知，f（0）=sin= ，0 ，= ，则 f（x）=sin（x+ ） ，- 9 -则 f（ ）=sin（ + ）=0，结合图像可得 + ，得 = ，03，当 k=0 时， ，则 += +2，故答案为： +2【点睛】本题主要考查三角函数解析式的应用，根据条件求出 和 的值是解决本题的关键16.已知函数 ，若 ，则 a 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先判断函数 y=sinx，y= 在-1，1内的奇偶性，可得函数 f（x）在-1，1内奇偶性，再由函数 y=sinx，y= 在0，1内的单调性，可得函数 f（x）在0，1内的单调性，即
11、可得出【详解】函数 ，由函数 y=sinx，y= 在-1，1内都为奇函数，可得函数 f（x）在-1，1内为偶函数，由函数 y=sinx，y= 在0，1内都为增函数，且函数值均为非负数，可得函数f（x）在0，1内为增函数， ，|a-1| ，解得 或 则 a 的取值范围是 - 10 -故答案为： 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.已知函数 的最大值与最小值之和为 a2+a+1（ a1） （1）求 a 的值；（2）判断函数 g（ x）= f（ x）-3 在1，2的零点的个数，并说明理由【答
12、案】 （1） ；（2）一个零点.【解析】【分析】（1）函数 在 a1 时单调递增，再根据函数的最大值与最小值之和为 a2+a+1即可得出（2）由（1）可得函数 f（x）=log 2x+2x可得函数 f（x）在1，2内单调递增，可得g（x）=f（x）-3 在1，2内单调递增，最多有一个零点再利用零点存在的判定定理即可得出【详解】解：（1）函数 在 a1 时单调递增，又函数 的最大值与最小值之和为 a2+a+1 f（1）+ f（2）=0+ a+loga2+a2=a2+a+1，解得 a=2（2）由（1）可得函数 f（ x）=log 2x+2x可得函数 f（ x）在1，2内单调递增，可得 g（ x）=
13、 f（ x）-3 在1，2内单调递增，最多有一个零点 g（1）= f（1）-3=2-3=-10， g（2）= f（2）-3= -3=20，可得函数 在1，2内有且只有一个零点【点睛】本题考查了指数函数与对数函数函数的单调性、方程与不等式的解法、零点存在的判定定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18.已知 A=log23log316， B=10sin210，若不等式 Acos2x-3mcosx+B0 对任意的 x R 都成立，求实数 m 的取值范围- 11 -【答案】【解析】【分析】运用对数的运算性质可得 A，由诱导公式可得 B，即有 4cos2x-3mcosx-50 对任意的 xR 都成
14、立， 设 t=cosx，-1t1，则 4t2-3mt-50 对-1t1 恒成立，由二次函数的图象和性质，列不等式组求解即可【详解】解： A=log23log316= =4，B=10sin210=-10sin30=-5，不等式 4cos2x-3mcosx-50 对任意的 x R 都成立，设 t=cosx，-1 t1，则 4t2-3mt-50 对-1 t1 恒成立，可得 4+3m-50，且 4-3m-50，解得- m ，则 m 的范围是- ， 【点睛】本题考查对数的运算性质和三角函数的图象和性质，考查二次不等式恒成立问题解法，注意运用二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题19.已知 ，且 sin
15、（+）=3sin（-） （1）若 tan=2，求 tan 的值；（2）求 tan（-）的最大值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果 （2）利用（1）的结论，进一步根据基本不等式（或者是对勾函数的性质）求出结果【详解】解：（1）已知 ，且 sin（+）=3sin（-） 则：sincos+cossin=3sincos-3cossin，- 12 -整理得 sincos=2cossin，所以 tan=2tan由于 tan=2，所以 tan=1（2）由（1）得 tan=2tan，所以 tan（-）= ，= ，由于 ，所以 tan0，tan0由于 ，
16、所以 = ，故 tan（-）的最大值为 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式（或者是对勾函数的性质） 的应用20.在如图所示的土地 ABCDE 上开辟出一块矩形土地 FGCH，求矩形 FGCH 的面积的最大值【答案】 .【解析】【分析】延长 DE 与 BA 的延长线相交于 M，延长 HF 交 BA 的延长线于点 N，设矩形 FGCH 的HF=x，FG=y，运用三角形的相似可得 x，y 的关系式，再由面积为 的表达式求最大值【详解】解：延长 DE 与 BA 的延长线相交于 M，- 13 -延长 HF 交 BA 的延长线于点 N，设矩形 FGCH 的 HF=x， FG=
17、y， AB=7， CD=10， BC=8， DE=6， EM=2， FN=8-x， AM=3， AN=y-7，由 FN EM，可得= ，即 = ，可矩形 FGCH 的面积为 .当且仅当 x= m， y= m 取得等号，则矩形 FGCH 的面积的最大值为 m2【点睛】本题考查矩形面积的最值的求法，注意运用平面几何的相似知识和基本不等式，考查化简变形能力和运算能力，属于中档题21.已知函数 （ x R） （1）若 T 为 f（ x）的最小正周期，求 的值；（2）解不等式 【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，得 （1）求出 T=，直接把 x= 代入函数
18、解析式求值；（2）利用正弦函数的图像和性质可得 的范围，则答案可求【详解】 （1） = = - 14 -，则 =f（ ）= ；（2）由 ，得 ，即 ，则 ， k Z不等式 的解集为 k， ， k Z【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查三角不等式的解法，是中档题22.已知函数 （1）求 f（ x）的最小值；（2）若方程 x2+1=-x3+2x2+mx（ x0）有两个正根，求实数 m 的取值范围【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1 利用单调性的定义即可证明函数的单调性，从而可得最小值；（2）由题意可得 （ x0）有两个正根，即两函数图像 和 有两个交点，结合函数的图像即可得解【详解】 （1）函数 .设 ，则 ，所以 ， ， 在 上是减函数.同理可得 在 上是增函数当 x=1 时， f（ x）取得最小值 2；（2）若方程 x2+1=-x3+2x2+mx（ x0）有两个正根，则有 （ x0）有两个正根.令 ，则函数为开口向下的抛物线，对称轴为:x=1.在 上是增函数，在 上是减函数.所以两函数图像 和 有两个交点，只需保证 即可.- 15 -得 ，解得 .实数 m 的取值范围为（1，+） 【点睛】本题考查函数的最值的求法，注意定义法求解对勾函数的单调性，考查函数方程的应用，属于中档题
