1、- 1 -2017-2018 学年湖北省荆州中学高一（上）期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 M=2，3，5，N=4，5，则 U（MN）等于（ ）A. 3， B. 4， C. D. 【答案】D【解析】， =2.已知 ，则 f（-2）=（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D【解析】【分析】由-20，得 f（-2）=f（0） ，由此能求出结果【详解】 ，f（-2）=f（0）=0+5=5故选：D【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题3.已知
2、角 =738，则角 是（ ）A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角【答案】A【解析】【分析】计算 的大小，结合终边相同角的关系进行判断即可【详解】=738， =369=360+9，- 2 -则 的终边和 9的终边相同，9是第一象限角，角 是第一象限角，故选：A【点睛】本题主要考查象限角的判断，结合终边相同角的关系进行转化是解决本题的关键4.已知正方形 ABCD 边长为 1，则 =（ ）A. 0 B. 2 C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用 ，以及| |的意义，求得 的值【详解】 ，故选：D【点睛】本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的
3、定义5.函数 的值域是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求解 u=3x+2 的值域，根据单调性可得函数 的值域【详解】根据指数函数的性质：可得 u=3x+2 的值域（2，+） 那么函数函数 y=log2u 的值域为（1，+） 即函数 的值域是（1，+） 故选：B【点睛】本题考查指数对数函数的单调性以及复合函数的值域问题，属于函数函数性质应用题，较容易- 3 -6.设 是平面内的一组基底，且 ，则关于 1， 2的式子不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据基底的性质可得 1= 2=0，从而得出结论【详解】 是平面内的一组基底，且 ， 1= 2
4、=0，0 0无意义，故 A 错误故选：A【点睛】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题7.若 tan ，则 =（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】直接利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解【详解】tan ， 故选：C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题8.函数 f（x）=sin（x+） （0，| ）的部分图象如图所示，则 f（x）的解析式为（ ）- 4 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据函数图象上的特殊点求出函数周期，结合 ，得 ，再由 时函数 取得最大值，即 ，求出 的值，从而得到函数的解析式.详解：由图可知
5、： ， ，又 时函数 取得最大值。，解得所以函数解析式为 .故选 D.点睛：本题主要考查三角函数解析式 的求法，解题步骤为：（1）审条件，挖解题信息，即图象上的特殊点信息和图象的变化规律.（2）看问题，明确解题方向，确定方法. 振幅 ，均值周期 T：两个对称轴和对称中心间隔 的整数倍，对称轴和对称中心间隔 或 的整数倍， 初相 ：通过特殊值代入法计算.主要从五点作图法和对称轴、对称中心入手.9.若两单位向量 ， 的夹角为 60，则 =2 ， =3 的夹角为（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题设 ， ，求得 和 ，再由 ，即可求得答案.详解： 是夹角为 60的两个
6、单位向量，设 ， ，则 ，又故选 B.点睛：研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言” ，实质是将“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来10.已知函数 ，则对该函数性质的描述中不正确的是（ ）A. 的定义域为 B. 的最小正周期为 2C. 的单调增区间为 D. 没有对称轴【答案】C【解析】【分析】直接利用排除法和正切函数的图象与性质求出结果【详解】利用排除法
7、，对于 A：令 ，- 6 -解得： 故：f（x）的定义域为 所以：A 正确对于 B：函数 f（x）的最小正周期为 T= 所以：B 正确对于 D：正切函数不是轴对称图形所以 D 正确故选：C【点睛】本题考查的知识要点：正切函数的图象和性质的应用11.已知 是定义在 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组，转化求解即可【详解】 是定义在 R 上的增函数，可得： ，解得 a5，8） 故选：C【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的判断，考查转化思想以及计算能力12.已知 是与单位向量 夹角为 60的任意
8、向量，则函数 的最小值为（ ）A. 0 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 7 -直接利用向量的模和函数的关系式的恒等变换求出结果【详解】已知 是与单位向量 夹角为 60的任意向量，所以： ，.由于： ，所以： 的最小值为 故选：D【点睛】本题考查的知识要点：向量的模的应用，函数的关系式的恒等变换的应用二.填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.已知函数 ，则 f（x）的定义域为_【答案】2，5）【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，分式的分母不为 0 联立不等式组求解【详解】由 ，解得 2x5f（x）的定义域为：2，5） 故答案为：2，5） 【点睛】本题考查
9、函数的定义域及其求法，是基础的计算题14. =_【答案】23【解析】【分析】利用指数、对数的性质、运算法则直接求解- 8 -【详解】 .故答案为：23【点睛】本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题15.已知向量 ，若点 A，B，C 不能构成三角形，则实数 m 的取值为_【答案】【解析】【分析】若点 A，B，C 不能构成三角形，则 A,B,C 三点共线，可得 ，进而由坐标运算即可得解.【详解】由向量 ，可得 .若点 A，B，C 不能构成三角形，则 A,B,C 三点共线，可得 ，所以 ，解得 .故答案为： 【点睛】本
10、题考查了向量共线的坐标表示、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题16.已知函数 f（x）= ，若函数 y=f（f（x） ）-a 恰有 5 个零点，则实数 a 的取值范围为_【答案】 （0，ln22【解析】【分析】先作出函数 f（x）的图象，利用数形结合分类讨论，即可确定实数 a 的取值范围【详解】函数 f（x）的图象如图，- 9 -当 a=2 时，则方程 f（t）=2 有 3 个根，且由图象可知方程 f（x）=t 1有 1 根，方程 f（x）=t 2有 2 个根，方程 f（x）=t 3有 2 个根，共有 5 个根， 故 a=2 符合题意；当 时，则方程 f（t）= 有 2 个
11、根，且由图象可知方程 f（x）=t 1有 2 根，方程 f（x）=t 2有 2 个根，共有 4 个根， 故 不符合题意；当 时，则方程 f（t）= 有 2 个根，且由图象可知方程 f（x）=t 1有 2 根，方程 f（x）=t 2有 2 个根，共有 4 个根， 故 不符合题意；当 时，则方程 f（t）= 有 1 个根，且由图象可知方程 f（x）=1 有 2 根，1 故 不符合题意；当 时，则方程 f（t）= 有 3 个根，且 .由图象可知方程 f（x）=t 1有 0 根，方程 f（x）=t 2有 2 个根，方程 f（x）=t 3有 2 个根，共有 4 个根， 故 不符合题意；当 时，则方程 f
12、（t）= 有 2 个根，且 .由图象可知方程 f（x）=t 1有 2 根，方程 f（x）= 有 3 个根，共有 5 个根， 此时 ,故 符合题意；当 时，则方程 f（t）= 无根，不符合题意.综上： 2.故答案为：（0，ln22.【点睛】本题考查函数的图象的应用，分段函数的应用，着重考查了学生的数形结合能力和- 10 -分类讨论的思想，属于难题三.解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.（1）已知钝角 满足 ，求 cos（-2）的值；（2）已知 x+x-1=5，求 x2+x-2【答案】 （1） ；（2）23.【解析】【分析】（1）直接利用诱导公式求出结果 （2）利用函数关系式的恒等
13、变换求出结果【详解】 （1）由已知钝角 满足 ，得 sin ，又因为 为钝角，所以 cos（-2）=cos=- = （2）由已知知 x+x-1=5，得（x+x -1） 2=x2+2+x-2=25所以 x2+x-2=23【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式的应用，函数关系式的恒等变换18.已知函数 ，g（x）=cosx（1）已知 ，求 tan（+） ；（2）解不等式 f（x）0；（3）设 h（x）=f（x）g（x） ，试判断 h（x）的奇偶性，并用定义证明你的判断【答案】 （1）0；（2） x|0 x2；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据 ，可得 =0，=0，那么 tan（+）=
14、0；（2）结合对数的性质和分式不等式求解即可；（3）求解 h（x） ，利用定义判断即可【详解】 （1）因为 ，可得 =0，=0，那么 tan（+）=0；（2）由题意，由 ，得 ，即 0 x2不等式的解集为 x|0 x2（3） h（ x）= f（ x） g（ x）=cos x ，可知： h（ x）是奇函数，- 11 -证明： 因此： h（ x）是奇函数，【点睛】本题考查的知识点三角函数方面的化简、计算，难度不大，属于基础题19.已知函数 f（x）=2sin（x+）+1（ ）的最小正周期为 ，且 （1）求 和 的值；（2）函数 f（x）的图象纵坐标不变的情况下向右平移 个单位，得到函数 g（x）的
15、图象，求函数 g（x）的单调增区间；求函数 g（x）在 的最大值【答案】(1) ； （2） 增区间为 ;最大值为 3.【解析】【分析】（1）直接利用函数的周期和函数的值求出函数的关系式（2）利用函数的平移变换求出函数 g（x）的关系式，进一步求出函数的单调区间（3）利用函数的定义域求出函数的值域【详解】 （1） 的最小正周期为 ，所以 ，即 =2，又因为 ，则 ，所以 . （2）由（1）可知 ，则 ， 由 得，函数 增区间为 因为 ，所以 .当 ，即 时，函数 取得最大值，最大值为 .【点睛】本题考查正弦型函数性质单调性，函数的平移变换，函数的值域的应用属中档题.20.已知 ，函数 （1）求
16、f（x）的解析式，并比较 ， 的大小；- 12 -（2）求 f（x）的最大值和最小值【答案】 （1）见解析；（2）最大值 3，最小值 .【解析】【分析】（1）由函数 根据向量的成绩运算可得解析式，即可比较 ， 的大小；（2）化简 f（x） ，结合三角函数的性质可得答案【详解】 （1）由 ，函数 f（ x）=1-2sin x-2cos2x.那么： 因为 ，所以 （2）因为： f（ x）=1-2sin x-2cos2x=2sin2x-2sinx-1=令 t=sinx， t-1，1，所以 ，当 ，即 或 时，函数取得最小值 ；当 t=-1，即 时，函数取得最大值 3【点睛】本题考查了向量的坐标运算和
17、三角函数的化简，转化思想，二次函数的最值问题属于中档题21.已知 A（-2，4） ，B（3，-1） ，C（-3，-4） ，设（1）求 ；（2）求满足 的实数 m，n；（3）若线段 AB 的中点为 M，线段 BC 的三等分点为 N（点 N 靠近点 B） ，求 与 夹角的正切值【答案】 （1） ；（2）m=n=-1；（3） .- 13 -【解析】【分析】（1）求出 ， ， ，由此能求出 （2）求出 ，由此能求出 m，n（3）由题意得 ，N（1，-2） ，由此能求出 与 夹角的正切值【详解】 （1） A（-2，4） ， B（3，-1） ， C（-3，-4） ，设由已知得 ， ， ， （2） ， ，解
18、得 m=n=-1 （3）线段 AB 的中点为 M，线段 BC 的三等分点为 N（点 N 靠近点 B） ， ， N（1，-2） ，则 ， 【点睛】本题考查向量、实数值、向量的夹角的正切值的求法，考查向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题22.已知函数 f（x）= （k0） （1）若 f（x）m 的解集为x|x-3，或 x-2，求 m，k 的值；（2）若存在 x03，使不等式 f（x 0）1 成立，求 k 的取值范围【答案】(1) ;(2)【解析】【分析】(1)利用韦达定理得到 m,k 的方程组，解方程组即得 m,k 的值.(2)先将命题转化为存在- 14 -使得成立 ，再转化为 ，再利用基本不等式求 得解.【详解】 （1） ，不等式 的解集为 ，所以 是方程 的根，且 ，所以 .（2） 存在 使得 成立，即存在 使得成立 ，令 ，则 ，令 ，则 ， ，当且仅当 ，即 ，亦 时等号成立. ， .【点睛】(1)本题主要考查一元二次不等式的解，考查不等式的存在性问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答第 2 问的关键是转化为存在使得成立 ，再转化为 .- 15 -
