1、- 1 -2017-2018 学年湖南省衡阳八中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）1.设集合 ，则 =A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：因为 ，所以 ，选A.【考点】集合的运算【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运算是必考考点，也是考生必定得分的题目之一.【此处有视频，请去附件查看】2.已知向量 , ,若向量 ，则实数 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. -3【答案】C【解析】向量 , ,因为向量 ，所以 ，故选 C.3.如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中， P， Q
2、分别是边 BC， CD 的中点，若 =x +y ，则 x=（ ）A. 2 B. C. D. - 2 -【答案】C【解析】【分析】由向量加法可得： ， ， ，结合 ，建立方程组，求解得答案【详解】解： 在正方形 中， ， 分别是边 ， 的中点， ， ，解得：故选： 【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，难度中档 4.函数 f（ x）= ax3+2bx+a-b 是奇函数，且其定义域为3 a-4， a，则 f（ a）=（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】根据奇函数的性质和定义建立方程进行求解即可【详解】解： 奇函数的定义域为 ， ，得 ， ，则 ，又 ，得
3、，则 ，即 ，则 （a） （1） ，故选： - 3 -【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据奇函数的定义和性质建立方程关系是解决本题的关键，属于基础题5.已知 ，则 tan=（ ）A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正余弦的二倍角公式化简即得解.【详解】解： .故选:A.【点睛】本题考查正余弦的二倍角公式化简求值，属于基础题.6.在函数 y=sin|x|、 y=sin（ x+ ） 、 y=cos（2 x+ ） 、 y=|sin2 -cos2 |中，最小正周期为 的函数的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】分别判断四个函数是否是周期
4、函数，求出函数的周期，然后判断即可【详解】解： 由 的图象知， 它是偶函数而非周期函数；是周期函数,周期是 ；是周期函数周期是 ；， 的周期为 ,将其图象沿 轴对折后得 的图象，但周期变为原来的一半，故 ；最小正周期为 的函数的个数为：2 故选： 【点睛】本题考查三角函数的周期性，牢记三角函数的图象是解题的关键，属于基础题- 4 -7.设 是方程 的两个根，则 的值为（ ）A. -3 B. -1 C. 1 D. 3【答案】A【解析】试题分析：由 tan，tan 是方程 x2-3x+2=0 的两个根，利用根与系数的关系分别求出tan+tan 及 tantan 的值，然后将 tan（+）利用两角和
5、与差的正切函数公式化简后，将 tan+tan 及 tantan 的值代入即可求出值解：tan，tan 是方程 x2-3x+2=0 的两个根，tan+tan=3，tantan=2,则 tan（+）= -3，故选A.考点：两角和与差的正切函数公式点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键【此处有视频，请去附件查看】8.设偶函数 f（ x）= Asin（ x+） （ A0，0，0）的部分图象如图所示，KLM 为等腰直角三角形， KML=90，| KL|=1，则 f（ ）的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】通
6、过函数的图象，利用 以及 求出 ，然后由函数的周期确定 ，利用函数是偶函数求出 ，即可求解【详解】解：因为 ， ， 的部分图象如图所示， 为等腰直角三角形， ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，函数是- 5 -偶函数， ，所以 ，函数的解析式为： ，所以 故选： 【点睛】本题主要考查了由 的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，属于基础题9.点 O 在 ABC 所在平面内，给出下列关系式：（1） ；（2）；（3） ；（4）则点 O 依次为 ABC 的（ ）A. 内心、外心、重心、垂心 B. 重心、外心、内心、垂心C. 重心、垂心、内心、外心 D. 外心、内心、垂心、重心【答案】C【解析】【
7、分析】根据三角形五心的定义，结合向量数量积的几何意义，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，判断出 点在 中的特殊位置，即可得到答案【详解】解： 由三角形“五心”的定义， 我们可得：（1） 时，得 在三角形 中， 是边 的中点， 则，即 是三角形 的重心， 为 的重心；（2） 时，得 ，即 ,所以 .同理可知 ,所以 为 的垂心；（3） ，当 时， ，- 6 -即 ，点在三角形的角 平分线上；同理， 点在三角形的角 ，角 平分线上；点定 的一定是 的内心；（4） 时， 是边 的中点，则 ，故 OD 为 AB 的中垂线，同理 是边 的中点， ,故 OE 为 CB 的中垂线，所以 为 的外心.故选：
8、 【点睛】本题考查的知识点是三角形的五心，三角形的“五心”是三角形中位置“特殊”的点，其性质常作用三角形性质的外延用于几何问题的证明，因此利用向量描述三角形五心的性质要求大家熟练掌握，属于中档题10.当 00，且 B C=B，求实数 a 的取值范围【答案】 （1）2，3） ；（2） a 的取值范围是4，+） 【解析】【分析】(1)先解不等式得集合 B，再根据交集定义求结果，(2)先由 B C=B，得 CB，再利用数轴确定实数 a 满足的条件，解得结果.【详解】 （1） A=1 x0=x|x ， B C=B， CB，则 ，即 a4实数 a 的取值范围是4，+） 【点睛】集合的基本运算的关注点(1
9、)看元素组成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 Venn 图18.已知函数 的图象与 轴的交点为 ,它在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 和 .- 12 -(1)求 的解析式及 的值；(2) 若锐角 满足 ，求 的值.【答案】 （1） , ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据图象的最值求出 根据最高点与最低点坐标求出 ，从而求出 ，再由图象经过 ，求出 ，然后求 的解析式，根据 ，求 的值；（
10、2）锐角 满足 ，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出 化简 ，将所求的值代入，即可求得 的值.试题解析：（1）由题意可得 ，即 ， ，又 ，由 ，, ，所以 ， ，又 是最小的正数， .（2） ， ， .【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质及恒等变形，属于中档题. 利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周期公式求出 ，利用特殊点求出 ，正确求 是解题的关键.求解析时求参数 是确定函数解析式的关键，由特殊点求 时，一定- 13 -要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求 值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口， “第一点”(即图象上升时与
11、轴的交点) 时 ；“第二点”(即图象的“峰点”) 时 ；“第三点”(即图象下降时与 轴的交点) 时 ；“第四点”(即图象的“谷点”) 时 ；“第五点”时 .19.已知函数 ， （1）设 是函数 图象的一条对称轴，求 的值（2）求函数 的单调递增区间【答案】 （1） ；（2） （ ） 【解析】（1）利用三角函数对称性结论得出 的等式，然后代入 g(x)的表达式，分类讨论求值即可；(2)先化简函数，然后利用三角函数的单调性求出函数的单调性，写的时候注意不要忽略 K的范围。解：（I）由题设知 因为 是函数 图象的一条对称轴，所以 ，即 （ ）所以 当 为偶数时， ，当 为奇数时， （II）当 ，即
12、（ ）时，函数 是增函数，故函数 的单调递增区间是 （ ） - 14 -20.已知 三点的坐标分别为 其中 （1）若 求角 的值；（2）若 求 的值【答案】 （1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）先由 ， ， 三点的坐标求出 和 的坐标,由 解得 （2）由 列出关于 的方程,从而将问题转化为简单的三角函数化简求值问题试题解析：（1） ， ， ， 由 得 又 ， （2）由 ，得 ， ， 又由 ， ， 故 考点：向量与三角函数【方法点晴】由题目给出的点的坐标可以得到相应的向量的坐标,根据向量的模长公式可得到要求的长度第二问用到数量积公式 ,得到 与的等量关系,利用化一公式,化简 ,结合,得到
13、的值,从而得到 21.已知非零向量 ， 满足（2 - ） ，集合 A=x|x2+（| |+| |） x+| | |=0中有且仅有唯- 15 -一一个元素（1）求向量 ， 的夹角 ；（2）若关于 t 的不等式| -t | -m |的解集为空集，求实数 m 的值【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（1）由题意利用二次函数的性质、两个向量垂直的性质，可得 ，求得 ， 的值，可得 ， 的值（2）不等式平方整理，方程 无解，故 ，由此求得 的值【详解】解：（1）方程 x2+（| |+| |） x+| | |=0 有且仅有唯一一个实根，= -4| | |= =0，| |=| |（2 - ） ，（
14、2 - ） =0，即 2 = ，求得 cos ， = ， ， =60（2）关于 t 的不等式| -t | -m |的解集为空集，即 +t2 -2 t +m2 -2m 的解集为空集，即 t2-t-m2+m0 无解，=1 2-4（- m2+m）0，即（2 m-1） 20， m= 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，二次函数的性质，属于中档题22.已知函数 f（ x）=log a （ a0 且 a1）是奇函数，（1）求实数 m 的值；（2）若 a= ，并且对区间3，4上的每一个 x 的值，不等式 f（ x）（ ） x+t 恒成立，求实数 t 的取值范围（3）当 x（ r， a-2）时，函数 f（
15、 x）的值域是（1，+） ，求实数 a 与 r 的值【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】【分析】（1）由已知可得 恒成立，求出 后验证定义域得答案；- 16 -（2） 时， 等价于 ，令 ，利用单调性求出 在区间， 上的最小值可得 的范围；（3）设 ，则 ，然后分 和 两类求解得答案【详解】解：（1）由 f（ x）=log a （ a0 且 a1）是奇函数，得 f（- x）+ f（ x）=log a +loga = =0 对于定义域内的任意 x 恒成立，即 ，得 m2=1，即 m=1当 m=-1 时，原函数化为 f（ x）= ，定义域为 x|x1（舍去） ， m=1；（2） a=
16、时， f（ x）（ ） x+t 等价于 f（ x）-（ ） x t，令 g（ x）= f（ x）-（ ） x，则 g（ x）在区间3，4上递增， ，故 t ；（3）设 u=1+ ，则 y=logau，当 a1 时，函数 f（ x）的值域是（1，+） ，即 y1， u=1+ （ r x a-2）的值域为（ a，+） ，作出函数 u=1+ （ r x a-2）的图象，得 r=1，且 a=1+ ，解得： a=2+ ；当 0 a1 时，函数 f（ x）的值域是（1，+） ，即 y1，- 17 - u=1+ （ r x a-2）的值域为（0， a） ，作出函数 u=1+ （ r x a-2）的图象，得 a-2=-1，解得： a=1，矛盾综上， r=1， a=2+ 【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性性质的应用，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题- 18 -
