1、- 1 -江西省上高二中 2019 届高三上学期第四次月考数学（文）试题一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.在 中， ， , ，则 的值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由向量夹角的定义可知， 与 的夹角为 补角即 ，由平面向量数量积的定义可知 ，故选 B.考点：平面向量的数量积.2.下列关于命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若， ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”B. “ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件C. 命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”D. “若 为 的极值点，则 ”的逆命题为真命题【答案】D【解析】由原命题与逆否命题的构
2、成关系可知答案 A 是正确的；当 时，函数 在定义域内是单调递增函数，故答案 B 也是正确的；由于存在性命题的否定是全称命题，所以命题“ ，使得 ”的否定是：“ 均有 ”，即答案 C 是也是正确的；又因为 的根不一定是极值点，例如函数 ，则 就不是极值点，也就是说命题“若 为 的极值点，则 ”的逆命题是假命题，所以应选答案 D。3.各项均为正数的等比数列 中， ，则 的值为（ ）A. 5 B. 3 C. 6 D. 8- 2 -【答案】C【解析】根据等比数列的性质得到 =4= ， = ，故 =4+2=6.故结果为 6.4.已知平面上不重合的四点 P、A、B、C 满足 ，且 ，那么实数 x 的值为
3、( )A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】B【解析】【分析】利用向量基本定理结合向量的减法，代入化简，即可得到结论【详解】由题意，根据向量的减法有： ， ； ， ，故选 B.【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义、向量数乘的运算及其几何意义等基础知识，属于基础题5.已知 tana tanb 是方程 x2+3 x+4=0 的两根，若 ，则 a+b=（ ）A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理表示出两根之和 与两根之积 ，然后再利用两角和的正切函数公式化简，把 与 代入即可求出 值，进而求得 .【详解】已知 ， 是方程 x2+3 x+4=0 的两根
4、，则- 3 -由 可得则 故选 D.【点睛】本题考查运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道基础题6. 中， ，则符号条件的三角形有（ ）A. 个 B. 个 C. 个 D. 个【答案】B【解析】由正弦定理可得: ,解得 sinA= ，故满足条件的角 A 有两个,一个钝角,一个锐角,应选 B.7.函数 的单调减区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简函数的表达式，求函数的定义域，然后利用复合函数的单调性，即可求出函数的单调减区间【详解】函数 ，函数的定义域为 .由正弦函数的单调减区间可得 解得 ， .所以函数 的单调减区间是：故选 D.【点睛】本题是基础题，
5、考查正弦函数的单调性，函数的定义域，复合函数的单调性，是常- 4 -考题，易错题8.函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】函数 是偶函数排除 A.当 时, ,可得： ,令 ，作出 与 图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点，故选：D.9.已知函数 是定义在 上的偶函数，且对任意的 ，当 ，若直线 与函数 的图像在 内恰有两个不同的公共点，则实数 的值是（ ）A. 0 B. 0 或 C. 或 D. 0 或【答案】D【解析】- 5 -分析：先根据条件得函数周期，结合奇偶性画函数图像，根据函数图像确定满足条件实数 的值.详解：因为 ，所以周期为 2，作图如
6、下：由图知，直线 与函数 的图像在 内恰有两个不同的公共点时直线 点A(1,1)或与 相切，即 或选 D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等10.设等差数列 的前项的和为 ，若 ， ，且 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】， ， ， ， ，故选 C.11.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ”其意思为“已知甲、乙、丙、丁
7、、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人- 6 -各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 这个问题中，甲所得为（ ）A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱【答案】B【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 ,则 ,解得 ,又 ,则 ,故选 B.12.已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由 f（x）的导函数形式可以看出 ex-kx=0 在（0，+）无变号零点，令 g（x）=e x-kx，g（x）=e x-k，需要对 k 进行分类讨论来确定导函数为
8、0 时的根【详解】函数 的定义域是（0，+） ， x=1 是函数 f（x）的唯一一个极值点x=1 是导函数 f（x）=0 的唯一根e x-kx=0 在（0，+）无变号零点，令 g（x）=e x-kxg（x）=e x-kk0 时，g（x）0 恒成立g（x）在（0，+）时单调递增的g（x）的最小值为 g（0）=1，g（x）=0 无解k0 时，g（x）=0 有解为：x=lnk0xlnk 时，g（x）0，g（x）单调递减；xlnk 时，g（x）0，g（x）单调递增.- 7 -g（x）的最小值为 g（lnk）=k-klnkk-klnk00ke综上所述，ke故选：A【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问
9、题对参数需要进行讨论属于中档题二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）13.已知角 的终边经过 ，则 _【答案】 . 【解析】分析：根据任意角的三角函数的定义，求得 sin 的值,再结合诱导公式即可得到结果详解：角 的终边经过点 ，x= ，y=3，r= ，则 sin = = 故答案为： 点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查了诱导公式，考查了计算能力，属于基础题14.对于实数 和 ，定义运算 ，则式子 的值为 .【答案】【解析】试题分析： ， ，由定义 考点：1.指数与对数的运算；2.新定义的应用15.已知函数 f(x)x 的图象过点(4，2)，令 an ，nN *.记数列a n的前
10、 n 项和为 Sn，则 S2019_.- 8 -【答案】 【解析】【分析】函数 f（x）=x a的图象过点（4，2） ，代入解出 a，可得 ，再利用“裂项求和”即可得出【详解】函数 的图象过点（4，2） ， 解得 ， ，数列a n的前 n 项和为故答案为 .【点睛】本题考查了函数的性质、数列的“裂项求和” ，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16.已知函数 ，则 的最小值是_ 【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，化简求得 ，从而确定出函数的单调区间，减区间为 ，增区间为 ，确定出函数的最小值点，从而求得 代入求得函数的最小值.详解： ，所以当 时函数单调减，当 时函数单调增，从而得到函
11、数的减区间为 ，函数的增区间为 ，所以当 时，函数 取得最小值，此时，所以 ，故答案是 .点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.- 9 -三.解答题17.已知 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若 时不等式 成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：(1)将 代入函数解析式，求得 ，利用零点分段将解析式化为，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式 的解集为 ；(2
12、)根据题中所给的 ，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式 可以化为时 ，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当 时， ，即故不等式 的解集为 （2）当 时 成立等价于当 时 成立若 ，则当 时 ；若 ， 的解集为 ，所以 ，故 综上， 的取值范围为 点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.18.已知等差数列 an满足 a32，前 3
13、项和 S3 .(1)求 an的通项公式；(2)设等比数列 bn满足 b1 a1， b4 a15，求 bn的前 n 项和 Tn.【答案】 （1） an .（2） Tn2 n1.【解析】试题分析:(1)根据等差数列的基本量运算解出 和 ,代入公式算出等差数列 的通项公式;- 10 -(2)计算出等比数列的首项和公比,代入求和公式计算.试题解析:(1)设 an的公差为 d，由已知得解得 a11， d ，故 an的通项公式 an1 ，即 an .(2)由(1)得 b11， b4 a15 8.设 bn的公比为 q，则 q3 8，从而 q2，故 bn的前 n 项和 Tn 2 n1.点睛:本题考查等差数列的
14、基本量运算求通项公式以及等比数列的前 n 项和,属于基础题. 在数列求和中，最常见最基本的求和就是等差数列、等比数列中的求和，这时除了熟练掌握求和公式外还要熟记一些常见的求和结论，再就是分清数列的项数，比如题中给出的 ,以免在套用公式时出错19.已知向量 , ，| （1）求 的值；（2）若 ， ，且 ，求 的值【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1） ，同理 利用数量积运算性质 ，可得，展开即可得出；（2）由 ， ，且 sin ，可得再利用 sin=sin（-）+展开即可得出【详解】 （1） ，- 11 - ， 即 （2） ， ， ， 【点睛】本题考查了数量积运算及其性质、同角三角函数基
15、本关系式、两角和差的正弦余弦公式，考查了推理能力和技能数列，属于中档题.20.如图,在等腰直角三角形 中, ,点 在线段 上. (1)若 ,求 的长；(2)若点 在线段 上,且 ,求 的面积.【答案】 （1） 或 ； （2） .【解析】【分析】（1）在 中，由题设条件及余弦定理得，OM 2=OP2+MP2-2OPMPcos45，解得 MP 即可；（2）在OMP 中，由正弦定理求出 OM，同理求出 ON，即可求出三角形的面积.- 12 -【详解】(1)在 中, , , ,由余弦定理得, , 得 , 解得 或(2)在 中,由正弦定理,得 , 所以 , 同理 . 故 =【点睛】本题考查正弦定理以及余
16、弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力21.已知向量 ，且 ，求：（1） 及 ；（2）若 的最小值为 ，求实数 的值【答案】 （1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）由向量数量积的定义得， =由向量的模长计算公式得 = ， ， =2cosx（2）由（1）可得 ,即 易得然后对 进行讨论，此时问题转化为二次函数求最值且为定义域的区间确定对称轴不确定类型题。以下分三种情况讨论：当 时， ,此时矛盾无解；当时，解得 ；当 时，无解。试题解析：解：（1）因为- 13 -所以 = 2 分= ，3 分 ， 4 分 =2cosx 5 分（2）由（）得 6 分即 7 分 ， 0cosx1 8 分时，
17、当且仅当 取得最小值1，这与已知矛盾 9 分时，当且仅当 取最小值由已知得 ，解得 10 分当 1 时，当且仅当 cosx=1 时，f（x）取得最小值 14由已知得 14= ，解得 = ，这与 相矛盾 11 分综上所述 = 12 分考点：向量数量积德定义及模长计算公式含参数的二次函数求最值问题即分类讨论22.已知函数 ， .（1）若曲线 在 处的切线方程为 ，求实数 的值；（2）设 ，若对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，求实数- 14 -的取值范围；（3）若在 上存在一点 ，使得 成立，求实数 的取值范围.【答案】(1) (2) (3) 【解析】试题分析：（1）求出函数 y 的导数，可得切
18、线的斜率，由切线方程可得 a 的方程，解得 a即可；（2）由题意可得即为 ，令 m（x）=h（x）2x，可得 m（x）在（0，+）递增，求出导数，令导数大于等于 0，分离参数 a，由二次函数的最值，即可得到 a 的范围；（3）原不等式等价于 ，整理得 ，设 ，求得它的导数 m（x） ，然后分 a0、0ae1 和 ae1 三种情况加以讨论，分别解关于 a 的不等式得到 a 的取值，最后综上所述可得实数 a 的取值范围试题解析：（1）由 ，得 .由题意， ，所以 .（2） .因为对任意两个不等的正数 ，都有 恒成立，设 ，则 即 恒成立.问题等价于函数 ，即 在 上为增函数，所以 在 上恒成立.即 在 上恒成立.所以 ，即实数 的取值范围是 .（3）不等式 等价于 ，整理得 .- 15 -设 ，由题意知，在 上存在一点 ，使得 .因为 ，所以 ，令 ，得 .当 ，即 时， 在 上单调递增.只需 ，解得 .当 即 时， 在 处取最小值.令 即 ，可得 .令 ，即 ，不等式 可化为 .因为 ，所以不等式左端大于 1，右端小于等于 1，所以不等式不能成立 .当 ，即 时， 在 上单调递减，只需 ，解得.综上所述，实数 的取值范围是 .- 16 -
