1、- 1 -2018-2019 学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若 ，则下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】A ，则当 a=0 或者 b=0 时，结论就不成立了，故选项不对。B当 a=0 或者 b=0 时，结论不成立了；或者当两者都不为 0 时 ，不等号不同向，不能直接相加，故不一定有 ，故选项不对。C当 ， ，故结果不对。D由重要不等式得到 在 R 上成立选项正确。故答案为 D。2.在等比数列 中， ， ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，
2、设等比数列 an的公比为 q，结合等比数列的通项公式可得 q 3，进而可得a1与 a2的值，相加即可得答案【详解】根据题意，设等比数列 an的公比为 q，又由 a36， a418，则 q 3，则 a1 ， a2 ，则 a1+a22 ；故选： B- 2 -【点睛】本题考查等比数列的通项公式，关键是求出 q 的值，属于基础题3.不等式 的解集是（ ）A. （，2 2，+） B. 2，2C. 2，+） D. （，2【答案】B【解析】【分析】根据题意，4 x20 x24，解可得 x 的取值范围，即可得答案【详解】根据题意，4 x20 x242 x2，即不等式 4 x20 的解集2，2；故选： B【点睛
3、】本题考查一元二次不等式的解法，关键是掌握一元二次不等式的解法，属于基础题4.设变量 x， y 满足 ，则点 P（ x， y）所在区域的面积为（ ）A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，求出点的坐标，然后求解区域的面积即可【详解】变量 x， y 满足 表示的可行域如图：则点 P（ x， y）表示的区域的面积为： - 3 -故选： C【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ 型） 、斜率型（ 型）和距离型（ 型） (3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可
4、行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。5.等比数列 an的各项均为正数，且 a1007a1012+a1008a101118，则+ + （ ）A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020【答案】B【解析】 = ， =2 =18 = =2018log33=2018故选：B6.在 ABC 中，角 A， B， C 的边长分别为 a， b， c，角 A， B， C 成等差数列， a6， ，则此三角形解的情况是（ ）A. 一解 B. 两解 C. 无解 D. 不能确定【答案】B【解析】角 A，B，C 成等差数列，- 4 -A+C=2B，又 A+B+C=，B
5、= ，点 C 到 AB 的距离 d=asinB=3b=4 ，dba，三角形有两解故选 B7.已知数列 满足要求 ， ，则 （ ）A. 15 B. 16 C. 31 D. 32【答案】C【解析】【分析】由数列 an满足 a11， an+12 an+1，分别令 n1，2，3，4，能够依次求出a2， a3， a4， a5【详解】数列 an满足 a11， an+12 an+1， a221+13，a323+17，a427+115，a5215+131故选： C【点睛】本题考查数列的递推公式的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意递推公式的合理运用8.在 ABC 中， ，则 A 的值是（ ）A
6、. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出 cosA，确定 A 的度数- 5 -【详解】已知等式利用正弦定理化简得：a 2=b2+c2bc，即 b2+c2a 2=bc，由余弦定理得：cosA= = ，A 为三角形的内角，A=60，故答案为：B【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键9.已知 ， 且 ，则 的最小值为（ ）A. 8 B. 4 C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】将 代入 x+y，展开后应用基本不等式即可【详解】 x0， y0 且 ， x+y（ x+y）（ ）2+ 4（当且仅当 x y2 时取“） 故选
7、： B【点睛】本题考查基本不等式，着重考查基本不等式的应用，属于基础题在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.某观察站 C 与两灯塔 A、 B 的距离分别为 300 米和 500 米，测得灯塔 A 在观察站 C 北偏东30，灯塔 B 在观察站 C 正西方向，则两灯塔 A、 B 间的距离为（ ）A. 500 米 B. 600 米 C. 700 米 D. 800 米【答案】C【解析】在 中，由余弦定理得 AB2=5002+30
8、022500300cos120=“490“ 000所以AB=700（米） 故选 C- 6 -11.设变量 x， y 满足约束条件 目标函数 仅在（1，0）处取得最小值，则 a 的取值范围为（ ）A. （1，2） B. （2，4） C. （4，0 D. （4，2）【答案】D【解析】试题分析：满足 的平面区域是图中的三角形（阴影部分） ，又目标函数 仅在点 处取得最小值， ， ，即 ， ，解得 .考点：考查线性规划.数形结合思想.点评： 本题的关键是比较直线 的斜率与直线 与 得斜率的大小.12.等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则数列 中（ ）A. 首项最大 B. 第 9 项最大C. 第
9、10 项最大 D. 第 11 项最大- 7 -【答案】C【解析】【分析】利用等差数列前 10 项和定义推导出 a100， a110，由此能求出数列 Sn中第 10 项最大【详解】等差数列 an的前 n 项和为 Sn， S200， S210， a100， a110，数列 Sn中第 10 项最大故选： C【点睛】本题考查等差数列前 n 项和取最大值时项数的求法，考查等差数列的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题二、填空题（把正确答案填在答题卷中的横线上）13.已知数列 的前 n 项和 ，那么 等于_【答案】5【解析】【分析】根据题意，由数列的前 n 项公式可得 a3 S3 S2，代
10、入数据计算可得答案【详解】根据题意，数列 an的前 n 项和 Sn n21，则 a3 S3 S2（3 21）（2 21）5；故答案为：5【点睛】本题考查数列的前 n 项和公式的应用，注意 an sn sn1 的应用，属于基础题14.点（3，1）和（4，6）在直线 的两侧，则实数 a 的取值范围是_【答案】【解析】试题分析：因为点 和点 在直线 的两侧，所以 ，解得 .考点：本小题主要考查直线与点的位置关系的数列关系的体现，考查学生对点与直线的位置关系的理解和应用.- 8 -点评：本小题也可以分两点分别在直线的两侧讨论，但是不如直接让乘积小于零简单，做题时要考虑一题多解，考试时才可以游刃有余.1
11、5.已知 ABC 中，角 A， B， C 对边分别为 a， b， c， ，则 _【答案】1【解析】【分析】由已知与余弦定理得 cosC0，结合平方关系得 sin2C1，又 A 是三角形内角，得sinC1【详解】 ccosA b， a2+b2 c20，cos C 0，由平方关系得 sin2C1， A 是三角形内角，sin C1故答案为：1【点睛】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题
12、设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答。16.寒假期间，某校家长委员会准备租赁 A， B 两种型号的客车安排 900 名学生到重点高校进行研学旅行， A， B 两种客车的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1200 元/辆和 1800/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为_元【答案】27600【解析】- 9 -设分别租用 两种型号的客车 辆， 辆，所用的总租金为 元，则 ，其中满足不等式组 ，即 ，由 ，得 ，作出不等式组对应的平面区域平移 ，
13、由图象知当直线经过点 时，直线的截距最小，此时 最小，由 得 ，即当时，此时的总租金 元，达到最小值，故答案为 .三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列 满足 ，求数列的前 n 项和 Sn【答案】【解析】【分析】运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简计算可得所求和【详解】，两式相减得：- 10 -.【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法，考查等比数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属于基础题18.解关于 x 的不等式 【答案】见解析【解析】【分析】根据题意，分 2 种情况讨论 a 的取值范围，求出不等式的解集，综合即可得答案【详解】根
14、据题意，分 3 种情况讨论：当 时，不等式即 ，即 .此时不等式的解集为 ；当 时，方程 有 2 根，分别为 0 和 .当 时， ，此时不等式的解集为 ；当 时， ，此时不等式的解集为 ；综合可得：当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解集为 .【点睛】本题考查含有参数的不等式的解法，注意讨论 a 的取值范围，属于基础题19.已知 a， b， c 分别是 ABC 三个内角 A， B， C 的对边，且 （1）求角 C 的大小；（2）若 c2， ABC 的周长为 6，求该三角形的面积【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用
15、可得 2sinAcosCsin A，结合 sinA0，可求 cosC ，根据范围 0 C，可求 C 的值；（2）由已知可求 a+b4，由余弦定理可求 ab 的值，根据三角形面积公式即可计算得解- 11 -【详解】由正弦定理得： ，即 ，即 ，由于 ，故 ， 又 ，所以 ，由于 ，三角形的周长为 6，故 ，由余弦定理有 ，即 ，故 ， 所以三角形的面积 .【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题20.围建一个面积为 360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其它三面
16、围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m，设利用的旧墙的长度为 x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为 y(单位：元)(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用【答案】 （1） ；（2）当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元.【解析】- 12 -试题分析：（1）设矩形的另一边长为 am，则根据围建的矩形场地的面积为 360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元
17、/m，我们即可得到修建围墙的总费用 y 表示成 x 的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的 x 值试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为 a m则 45x+180（x-2）+1802a=225x+360a-360由已知 xa=360,得 a= ,所以 y=225x+（2）当且仅当 225x= 时，等号成立即当 x=24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是 10440 元考点：函数模型的选择与应用【此处有视频，请去附件查看】21.设 是等差数列 的前 n 项和，已知 ， （ ） （）求 ；（）若数列 ，求数
18、列 的前 n 项和 【答案】 （）18；（） .【解析】试题分析：（1）根据等差数列 满足 ， ，列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，根据等差数列的求和公式可得 递的值；（2）由（1）知，从而可得 ，利用裂项相消法求解即- 13 -可.试题解析：（I）设数列 的公差为 ，则即 ， 解得 ， 所以 . （也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I）知 ， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)
19、 ；（2） ； （3） ；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22.如图，某学校拟建一块五边形区域的“读书角” ，三角形区域 ABE 为书籍摆放区，沿着AB、 AE 处摆放折线形书架（书架宽度不计） ，四边形区域为 BCDE 为阅读区，若 BAE60， BCD CDE120， DE3 BC3 CD m- 14 -（1）求两区域边界 BE 的长度；（2）若区域 ABE 为锐角三角形，求书架总长度 AB+AE 的取值范围【答案】 （1） （2）【解析】【分析】（1）连接 BD，由余弦定理可得 BD，由已知可求 CDB CBD30， CDE120，可
20、得 BDE90，利用勾股定理即可得解 BE 的值；（2）设 ABE，由正弦定理，可得AB4 sin（120） ， AE4 sin，利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE12sin（+30） ，结合范围 60+30120，利用正弦函数的性质可求AB+AE 的最大值，从而得解【详解】连接 BD，在BDC 中， ，BCD=120，由余弦定理 ,得 ，得又 BC=CD，BCD=120， .ABE 中，BD=3， ，由勾股定理 .故 .设 ，则 ,在ABE 中，由正弦定理 .， ， 故=， ABE 为锐角三角形，故 ， ，- 15 -，所以暑假的总长度 AB+AE 的取值范围是 ，【点睛】本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题此类函数的实际应用题，我们要经过析题建模解模还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量 x 取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一- 16 -
