冲刺2019高考数学二轮复习核心考点特色突破专题17圆锥曲线的综合应用(含解析).doc

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1、1专题 17 圆锥曲线的综合应用【自主热身,归纳总结】1、已知双曲线 y 21 的左焦点与抛物线 y212x 的焦点重合,则双曲线的右准线方程为_x2a2【答案】:x83【解析】: 因为抛物线的焦点为(3,0),即为双曲线的左焦点,所 以 a2918,所以双曲线的右准线方程为 x .832、若双曲线 x2my 21 过点( ,2),则该双曲线的虚轴长为_2【答案】 4 【解析】:将点( ,2)代入可得 24 m1,即 m ,故双曲线的标准方程为 1,即虚轴长214 x21 y24为 4.本题易错在两个地方:一是忘记了虚轴的概念;二是没有把双曲线方程化成标准式双曲线的易 错 警 示实轴长为 2a

2、,虚轴长为 2b,需要记住双曲线的几何性质的研究都需要借助于标准方程才能进行,所以拿到双曲线方程要先化为标准式3、在平面直角坐标系 xOy中,已知双曲线的焦点到渐近线的距离为 2,则该双曲线的离心率为 【答案】2【解析】焦点在 x轴,不妨取焦点坐标为 (,0)c,渐近线方程为 byxa,即0y,所以焦点到渐近线距离为,则所以离线率为423.【解题反思】双曲线的焦点到渐近线的距离为短半轴长 b,这一点要熟记.4、 在平面直角坐标系 xOy中,抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F,双曲线 1( a0, b0)的两条渐近x2a2 y2b2线分别与抛物线交于 A, B两点( A, B异于坐标原点

3、O)若直线 AB恰好过点 F,则双曲线的渐近线方程是_【答案】: y2 x 【解析】:由题意得 A , B ,双曲线 1( a0, b0)的渐近线方程为 y x,不妨设(p2, p) (p2, p) x2a2 y2b2 ba2OMNF2F1yx点 A 在渐近线 y x上,则 p ,所以 2,于是该双曲线的渐近线方程是 y2 x.(p2, p) ba ba p2 ba5、若双曲线 的两条渐近线与抛物线 24yx交于 ,OPQ三点,且直线 P经过抛物线的焦点,则该双曲线的离心率为 解法 2 由题意可得 A(2,0),设 P(a,a2),则 AP的中点 M ,AP ,故以 AP(a 22, a 22

4、 ) 2( a 2) 2为直径的圆 M的方程为 .由题意得圆 C与圆 M相切(内切和外切),故(xa 22 )2 (y a 22 )2 (|a 2|2 )2 ,解得 a 或 a5.故点 P的横坐标的取值集合为 .(a 22 2)2 (a 22 )2 | 2|a 2|2 | 13 13, 5在解决与圆相关的综 合问题时,需要充分利用圆的几何性质及一些简单的轨迹方程的知识将问解 后 反 思题转化为直线与圆或圆与圆的问题去处理,另外本题的难点还在于方程的处理【问题探究,变式训练】例 1、如图,椭圆2143xy的左,右焦点分别为 1F, 2, M, N是椭圆右准线上的两个动点,且(1)求 MN的最小值

5、;(2)以 为直径的圆 C是否过定点?请证明你的结论解 (1)设 1(4)y, , 2()y, 则 5,F, 23,N, ,12y,又 ,当且仅当 15y=时,等号成立, 所以 MN的最小值为 2(2)圆心 C的坐标为12(4)y, ,半径21yr圆 的方程为,整理得: 3125y, 令 0,得 , 所以圆 C过定点 (4150),【变式 1】 、 如图,已知圆 24xy,直线 :4lx,圆 O与 x轴交 A, B两点, M是圆 O上异于 A, B的任意一点,直线 AM交直线 l于点 P,直线 BM交直线 l于点 Q求证:以 PQ为直径的圆 C过定点,并求出定点坐标解 设 ()Mst, ,则直

6、线 A方程为 ,则6(4)2tPs, 同理: 24Q, 所以以 P为直径的圆的方程是:又 24st,所以 令 0y, 23x所以以 PQ为直径的圆 C过定点为 (4230),【变式 2】 、在平面直角坐标系 xOy中,椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,椭圆上动点 P到一个焦x2a2 y2b2 22点的距离的最小值为 3( 1)2(1) 求椭圆 C的标准方程;(2) 已知过点 M(0,1)的动直线 l与椭圆 C交于 A,B 两点,试判断以线段 AB为直径的圆是否恒过定点,4并说明理由(2) 当直线 l的斜率不存在时,以 AB为直径的圆的方程为 x2y 29;(7 分)当直线 l的斜率为零时,

7、以 AB为直径的圆的方程为 x2(y1) 216.(8 分)这两圆仅有唯一公共点,也是椭圆的上顶点 D(0,3)猜想以 AB为直径的圆恒过定点 D(0,3)(9 分)证明如下:证法 1(向量法) 设直线 l的方程为 ykx1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)只要证 x 1x2(y 13)DA DB (y23)x 1x2(kx 14)(kx 24)0 即可即要证 (1k 2)x1x24k(x 1x 2)160.(11 分)DA DB 由 消去 y,得(12k 2)x24kx160,16k 264(12k 2)0,此方程总有两个不等实y kx 1,x2 2y2 18, )根 x1,x 2

8、.x1,2 ,所以 x1x 2 ,x 1x2 .(14分)2k29k2 41 2k2 4k1 2k2 161 2k2所以 (1k 2)x1x24k(x 1x 2)16 160.DA DB 16( 1 k2)1 2k2 16k21 2k2所以 DADB,所以以 AB为直径的圆恒过定点 D(0,3)(16 分)证法 2(斜率法) 若设 DA,DB 的斜率分别为 k1,k 2,只要证 k1k21 即可设直线 l的斜率为 ,则 .yA 1xA由点 A在椭圆 x22y 218 上,得 x 2y 18,变形得 ,即 k1 .2A 2AyA 3xA yA 3xA 12 yA 3xA 125设 yA3m(y

9、A3)n(y A1),可得 m ,n ,得 k1.12 32 yA 3xA 32 12从而 k1(3k 1)1,即 k 3k 110.21同理 k 3k 210,所以 k1,k 2是关于 k的方程 k23k10 的两实根2由根与系数关系,得 k1k21.所以 DADB,所以以 AB为直径的圆恒过定点 D(0,3)【关联 1】 、如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 E: 1(ab0)的离心率为 ,左焦点x2a2 y2b2 22F(2,0),直线 l:yt 与椭圆交于 A,B 两点,M 为椭圆 E上异于 A,B 的点(1) 求椭圆 E的方程;(2) 若 M( ,1),以 AB为直径的圆 P

10、过点 M,求圆 P的标准方程;6(3) 设直线 MA,MB 与 y轴分别相交于点 C,D,证明:OCOD 为定值第(2)问要求圆 P的方程,就是要求得 t的值,为此,由圆 P过点 M,可得 MAMB,可用向量思 路 分 析或斜率关系转化为坐标表示,通过解方程,可得 t的值;第(3)问的本质就是求点 C,D 的纵坐标,由于点C,D 随着点 M的变化而变化,因此以点 M的坐标为参数,通过设出点 M的坐标,进而表示出点 C,D 的纵坐标,通过计算得 OCOD为定值【解析】: (1) 因为 e ,且 c2,所以 a2 ,b2.(2 分)ca 22 2所以椭圆方程为 1.(4 分)x28 y24(2)设

11、 A(s,t),则 B(s,t),且 s22t 28 .因为以 AB为直径的圆 P过点 M,所以 MAMB,所以 0,(5 分)MA MB 又 (s ,t1), (s ,t1),所以 6s 2(t1) 20 .(6 分)MA 6 MB 6由解得 t ,或 t1(舍,因为 M( ,1),所以 t0),所以 s2 .(7分)13 6 709又圆 P的圆心为 AB的中点(0,t),半径为 |s|,(8 分)AB2所以圆 P的标准方程为 x2 .(9分)(y13)2 709(3)设 M(x0,y 0),则 lMA的方程为 yy 0 (xx 0),若 k不存在,显然不符合条件t y0s x06令 x0

12、得 yC ;同理 yD ,(11 分) tx0 sy0s x0 tx0 sy0 s x0所以 OCOD|y CyD| | .(13分) tx0 sy0s x0 tx0 sy0 s x0因为 s22t 28,x 2y 8,所以 4 为定值(16 分)20 20【关联 2】 、如图,椭圆 的离心率为 2,焦点到相应准线的距离为 1,点 A,B, C分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点 C的直线 l交椭圆于点 D,交 x轴于点 (0)Mx, ,直线 A与直线 D交于点 2()Nxy, (1)求椭圆的标准方程;(2)若 ,求直线 l的方程;(3)求证: 12x为定值 (3)设 D坐标为( x3,

13、y3),由 (0,1)C, M(x1,0)可得直线 C的方程 1yx, 联立椭圆方程得: 解得 1324x,213y. 12 分由 (2,0)B,得直线 BD的方程: , 直线 AC方程为 21yx, 联立得 21, 15 分从而 1x=2为定值. 16 分7解法 2:设 D坐标为( x3, y3) ,由 C,M,D三点共线得 ,所以 31xy, 10 分由 B,D,N三点共线得 ,将 代入可得, 12 分和相乘得, . 16 分【关联 3】 、已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,且过点 P(2,1)x2a2 y2b2 32(1) 求椭圆 C的方程; (1) 在 yx3 中,令 x0,得

14、 y3,从而 b3.(2 分) 由 得 1.x2a2 y29 1,y x 3 ) x2a2 ( x 3) 29所以 x0 .(4分) 6a29 a2因为 PB1 |x0|,所以 4 ,解得 a218.2 2 26a29 a2所以椭圆的标准方程为 1.(6 分) x218 y29(2) 证法 1(设点法) 直线 PB1的斜率为 kPB1 ,y0 3x0由 QB1PB 1,所以直线 QB1的斜率为 kQB1 .x0y0 3于是直线 QB1的方程为 y x3.x0y0 3同理,QB 2的方程为 y x3.(8 分) x0y0 3联立两直线方程,消去 y,得 x1 .(10分) 因为 P(x0,y 0

15、)在椭圆 1 上,所以 1,从而 y 9 .所以 x1 .(12分) x218 y29 20 x02所以 2.(14 分) S PB1B2S QB1B2 |x0x1|8证法 2(设线法) 设直线 PB1,PB 2的斜率分别为 k,k,则直线 PB1的方程为 ykx3.由 QB1PB 1,直线 QB1的方程为 y x3.1k将 ykx3 代入 1,得(2k 21)x 212kx0.x218 y29因为 P是椭圆上异于点 B1,B 2的点,所以 x00,从而 x0 .(8分) 12k2k2 1因为 P(x0,y 0)在椭圆 1 上,所以 1,从而 y 9 .x218 y29 20所以 kk ,y0

16、 3x0 y0 3x0 12得 k .(10分) 12k由 QB2PB 2,所以直线 QB2的方程为 y2kx3.联立 则 x ,即 x1 .(12分) y 1kx 3,y 2kx 3, ) 6k2k2 1 6k2k2 1所以 2.(14 分) S PB1B2S QB1B2 |x0x1| | 12k2k2 16k2k2 1|本题的第(2)问是圆锥曲线中常见的定值问题,属于难题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有解 后 反 思两种:从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变量无关;直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值此处采用的是方法.【关联 2】 、如 图,在平

17、面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C: 1( a b0)的离心率为 ,且右焦点x2a2 y2b2 22F到左准线的距离为 6 .2(1) 求椭圆 C的标准方程;(2) 设 A为椭圆 C的左顶点, P为椭圆 C上位于 x轴上方的点,直线 PA交 y轴于点 M,过点 F作 MF的垂线,交 y轴于点 N.当直线 PA的斜率为 时,求 FMN的外接圆的方程;12设直线 AN交椭圆 C于另一点 Q,求 APQ的面积的最大值9解答 (1) 由题意,得Error!解得Error!则 b2 ,2所以椭圆 C的标准方程为 1.(4 分)x216 y28(2) 由题可设直线 PA的方程为 yk(x4),k0,则

18、M(0,4k),所以直线 FN的方程为 y (x2 ),224k 2则 N . (0, 2k)当直线 PA的斜率为 ,即 k 时,M(0,2),N(0,4),F(2 ,0)12 12 2因为 MFFN,所以圆心为(0,1),半径为 3,所以FMN 的外接圆的方程为 x2(y1) 29.(8 分)联立Error! 消去 y并整理得,(12k 2)x216k 2x32k 2160,解得 x14 或 x2 ,4 8k21 2k2所以 P ,(10 分)(4 8k21 2k2, 8k1 2k2)直线 AN的方程为 y (x4),同理可得,Q ,12k (8k2 41 2k2, 8k1 2k2)所以 P

19、,Q 关于原点对称,即 PQ过原点所以 APQ 的面积 S OA(yPy Q)2 8 ,(14 分)12 16k1 2k2 322k 1k 2当且仅当 2k ,即 k 时,取“” 1k 22所以APQ 的面积的最大值为 8 .(16分)2【关联 3】 、如图,在平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆 C: 1( a b0)的离心率为 ,点(2,1)x2a2 y2b2 22在椭圆 C上(1) 求椭圆 C的方程;(2) 设直线 l与圆 O: x2 y22 相切,与椭圆 C相交于 P, Q两点. 若直线 l过椭圆 C的右焦点 F,求 OPQ的面积;求证: OP OQ.10(2) 解法 1 椭圆 C的右焦

20、点 F( ,0)3设切线方程为 y k(x ),即 kx y k0,3 3所以 ,解得 k ,所以切线方程为 y (x )当 k 时,(4 分)| 3k|k2 1 2 2 2 3 2由方程组Error!解得Error! 或Error!所以点 P, Q的坐标分别为 , , , ,43 325 6 65 43 325 6 65所以 PQ .(6分)665因为 O到直线 PQ的距离为 ,所以 OPQ的面积为 . 2635因为椭圆的对称性,当切线方程为 y (x )时, OPQ的面积也为 .2 3635综上所述, OPQ的面积为 .(8分)635解法 2 椭圆 C的右焦点 F( ,0)3设切线方程为

21、y k(x ),即 kx y k0,3 3所以 ,解得 k ,所以切线方程为 y (x )当 k 时,(4 分)| 3k|k2 1 2 2 2 3 2把切线方程 y (x )代入椭圆 C的方程,消去 y得 5x28 x60.2 3 3设 P(x1, y1), Q(x2, y2),则有 x1 x2 .83511由椭圆定义可得, PQ PF FQ2 a e(x1 x2)2 .(6分)622 835 665因为 O到直线 PQ的距离为 ,所以 OPQ的面积为 . 2635因为椭圆的对称性,当切线方程为 y (x )时, OPQ的面积为 .2 3635综上所述, OPQ的面积为 .(8分)635解法

22、1 (i)若直线 PQ的斜率不存在,则直线 PQ的方程为 x 或 x .2 2当 x 时, P ( , ), Q( , )2 2 2 2 2因为 0,所以 OP OQ.OP OQ 当 x 时,同理可得 OP OQ.(10分)2(ii)若直线 PQ的斜率存在,设直线 PQ的方程为 y kx m,即 kx y m0.因为直线与圆相切,所以 ,即 m22 k22.|m|1 k2 2将直线 PQ方程代入椭圆方程,得(12 k2) x24 kmx2 m260.设 P(x1, y1) , Q(x2, y2),则有 x1 x2 , x1x2 .(12分)4km1 2k2 2m2 61 2k2因为 x1x2

23、y1y2 x1x2( kx1 m)(kx2 m)(1 k2)x1x2 km(x1 x2) m2(1 k2)OP OQ km m2.2m2 61 2k2 ( 4km1 2k2)将 m22 k22 代入上式可得 0,所以 OP OQ.OP OQ 综上所述, OP OQ.(14分)解法 2 设切点 T(x0, y0),则其切线方程为 x0x y0y20,且 x y 2.20 20(i)当 y00 时,则直线 PQ的直线方程为 x 或 x .2 2当 x 时, P ( , ), Q( , )2 2 2 2 2因为 0,所以 OP OQ.OP OQ 当 x 时,同理可得 OP OQ.(10分)2(ii)当 y00 时,由方程组Error!消去 y得(2 x y )x28 x0x86 y 0.20 20 20设 P(x1, y1) , Q(x2, y2),则有 x1 x2 , x1x2 .(12分)8x02x20 y20 8 6y202x20 y20所以 x1x2 y1y2 x1x2 .OP OQ 2 x0x1 2 x0x2y20 6 x20 y20 122x20 y2012因为 x y 2,代入上式可得 0,所以 OP OQ.20 20 OP OQ 综上所述, OP OQ.(14分)用斜截式设直线方程时,不要遗漏斜率不存在的情况!解 后 反 思

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