1、1计算题押题练(四)1.如图所示，相距为 L 的两条足够长的光滑平行金属导轨 MN、 PQ 与水平面的夹角为 ， N、Q 两点间接有阻值为 R 的电阻。整个装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。将质量为m、阻值也为 R 的金属杆 cd 垂直放在导轨上，杆 cd 由静止释放，下滑距离 x 时达到最大速度。重力加速度为 g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。求：(1)杆 cd 下滑的最大加速度和最大速度；(2)上述过程中，杆 cd 上产生的热量。解析：(1)设杆 cd 下滑到某位置时速度为 v，则杆产生的感应电动势 E BLv，回路中的感应电流 IER R杆所受的安培力
2、F BIL根据牛顿第二定律有 mgsin maB2L2v2R当速度 v0 时，杆的加速度最大，最大加速度 am gsin ，方向沿导轨平面向下当杆的加速度 a0 时，速度最大，最大速度vm ，方向沿导轨平面向下。2mgRsin B2L2(2)杆 cd 从开始运动到达到最大速度过程中，根据能量守恒定律得mgxsin Q 总 mvm212又 Q 杆 Q 总12所以 Q 杆 mgxsin 。12 m3g2R2sin2B4L4答案：(1) gsin 2mgRsin B2L2(2) mgxsin 12 m3g2R2sin2B4L42.如图所示，在某竖直平面内，光滑曲面 AB 与水平面 BC 平滑连接于
3、B 点， BC 的距离为 1 m， BC 右端连接内壁光滑、半径 r0.4 m 的四分之一细圆管 CD，管口 D 端正下方直立一根劲度系数为k100 N/m 的轻弹簧，弹簧一端固定，另一端恰好与管口 D 端平齐，一个质量为 1 kg 的小球放在曲面 AB 上，现从距 BC 的高度为 h0.6 m 处静止释放小球，小球进入管口 C 端时，它对上管壁有 FN5 N 的作用力，通过 CD 后，在压缩弹簧过程中小球速度最大时弹簧的弹性势能为 Ep0.5 J。取重力加速度 g10 m/s 2。求：2(1)小球在 C 处受到的向心力大小；(2)BC 间的动摩擦因数；(3)若改变高度 h 且 BC 段光滑，
4、试通过计算探究小球压缩弹簧过程中的最大动能 Ekm与高度 h 的关系，并在坐标系中粗略做出 Ekmh 的图像，并标出纵轴的截距。解析：(1) 小球进入管口 C 端时，它与圆管上管壁有大小为 FN5 N 的相互作用力，故小球受到的向心力为 F 向 FN mg5 N10 N15 N。(2)在 C 点，由 F 向 m ，代入数据得 vC m/svC2r 6小球从 A 点运动到 C 点过程，由动能定理得mgh mgs mvC2，解得 0.3。12(3)在压缩弹簧过程中速度最大时，合力为零。设此时小球离 D 端的距离为 x0，则有 kx0 mg，解得 x0 0.1 mmgk由机械能守恒定律有 mg(r
5、x0 h) Ekm Ep得 Ekm mg(r x0 h) Ep，代入数据得 Ekm10 h4.5，图像如图所示。答案：(1)15 N (2)0.3 (3)见解析3如图甲所示，在 0 x d 的区域内有垂直纸面的磁场，在 x0 的区域内有沿 y 轴正方向的匀强电场(图中未画出)。一质子从点 P 处以速度 v0沿 x 轴正方向运动，( 3d， d2)t0 时，恰从坐标原点 O 进入匀强磁场。磁场按图乙所示规律变化，以垂直于纸面向外为正方向。已知质子的质量为 m，电荷量为 e，重力不计。(1)求质子刚进入磁场时的速度大小和方向；(2)若质子在 0 时间内从 y 轴飞出磁场，求磁感应强度 B 的最小值
6、；T2(3)若质子从点 M(d,0)处离开磁场，且离开磁场时的速度方向与进入磁场时相同，求磁感应强度 B0的大小及磁场变化周期 T。解析：(1)质子在电场中作类平抛运动，时间为 t，刚进磁场时速度方向与 x 正半轴的3夹角为 ，有 x v0t d， y t ，tan ，又 v ，3vy2 d2 vyv0 v0cos 解得 v v0， 30 。233(2)质子在磁场中运动轨迹与磁场右边界相切时半径最大， B 最小由几何关系知 R1 R1cos 60 d，解得 R1 d23根据牛顿第二定律，有 evB mv2R1解得 B 。3mv0ed(3)分析可知，要想满足题目要求，则质子在磁场变化的半个周期内的偏转角为 60，在此过程中质子沿 x 轴方向上的位移恰好等于它在磁场中做圆周的半径 R。欲使质子从 M点离开磁场，且速度符合要求，必有： n2R d质子做圆周运动的轨道半径： R mveB0 23mv03eB0解得 B0 (n1,2,3，)43nmv03ed设质子在磁场做圆周运动的周期为 T0，则有 T0 ， 2 Rv 2 meB0 T06 T2解得 T (n1,2,3，)。3 d6nv0答案：(1) v0 沿 x 轴正方向斜向上与 x 轴夹角为 30 (2) 233 3mv0ed(3) (n1,2,3，) (n1,2,3，)43nmv03ed 3 d6nv04
