1、11.5.3 反证法和放缩法1.理解反证法和放缩法的概念.2.会用反证法和放缩法证明较简单的不等式.自学导引1.反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理，已有的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而原来的结论正确.2.放缩法：将所需证明的不等式的值适当放大(或缩小)使它由繁化简，达到证明目的.如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，反之，把分母缩小，则分式的值放大.基础自测1.设 M ，则( )1210 1210 1 1210 2 1211 1A.M1 B.M1 D.M
2、 与 1 大小关系不定解析 M 是 210项求和，M 1210 1210 1 1210 2 1211 1lg(a b)C.acos2b sin2 a bD.acos2 bsin2 a b解析 cos 2 lg asin 2 lg bcos 2 lg a(1cos 2 )lg bcos 2 lg lg b0， ab bc ca0， abc0.求证： a0， b0， c0.证明 假设 a、 b、 c 不全是正数，即至少有一个小于或等于 0.又 abc0，不妨假设 a a0， a(b c)0. a(b c)0 矛盾.假设不成立.故 a0， b0， c0 成立.反思感悟：用反证法证明不等式，其实质是从
3、否定结论出发，通过逻辑推理，导出与已知条件或公理相矛盾的结论，从而肯定原命题成立.1.设 a0， b0，且 a b .证明：1a 1b(1)a b2；(2)a2 a2 与 b2 b2 不可能同时成立.证明 由 a b ， a0， b0，得 ab1.1a 1b a bab(1)由基本不等式及 ab1，有 a b2 2，即 a b2.ab(2)假设 a2 a2 与 b2 b2 同时成立，则由 a2 a2 及 a0，得 0 a1；同理，0 b1，从而 ab1，这与 ab1 矛盾.故 a2 a2 与 b2 b2 不可能同时成立.知识点 2 放缩法证明不等式【例 2】 设 Sn ，12 23 n（ n
4、1）求证：不等式 12 22 n212 n .n（ n 1）23且 Snc，求证： .a1 a b1 b c1 c证明 a bc， a b c0，由真分数的性质：.a1 a b1 b c1 c反思感悟：函数的单调性和“真分数的分子、分母同加上一正数，所得新分数的值变大”的性质都是放缩的重要依据.3.求证： 0，12 2n 32n 1 2n 32n 2n 32n S0”是“ P、 Q、 R 同时大于零”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分又不必要条件解析 必要性是显然成立的当 PQR0 时，若 P， Q， R 不同时大于零，则其中两个为负，一个为正
5、不妨设P0， Q0 矛盾，即充分性也成立.答案 C2.已知 a， b， c， d 都是正数， S ，则 S 的取值范aa b d bb c a cc d a dd a c围是_.答案 (1，2)3.用反证法证明：如果 a， b 为正数，则 a3 b3 a2b ab2.证明 假设 a3 b32)，则( )1a 2A.pq B. p0，1a 2 p224，而 q2( a2) 22，根据 a2，可得 qq.答案 A2.不等式 ab 与 能同时成立的充要条件是( )1a1bA.ab0 B.a0bC. 01b1a 1a1b解析 充分性显然.下面用反证法说明必要性.若 a， b 同号且 ab，则有 b
6、与 同时成立，1a1b a， b 只能异号，即 a0b.答案 B3.若 f(x) ， a， b 都为正数， A f ， G f( )， H f ，则( )(12)x (a b2 ) ab (2aba b)A.A G H B.A H GC.G H A D.H G A解析 a， b 为正数，6 ，a b2 ab abab aba b2 2aba b又 f(x) 为单调减函数，(12)x f f( ) f ，(a b2 ) ab (2aba b) A G H.答案 A4.设 x0， y0， A ， B ，则 A 与 B 的大小关系为_.x y1 x y x1 x y1 y解析 A (x0， y0)m
7、 时，求证： m| a|，|x|m| b|，| x|m1，| x|2m2| b|1| b| |ax bx2| |ax| |bx2| 0， ab bc ca0， abc0，则 a， b， c 三数( )A.全为正数B.至多有两个为正数C.至多有一个为正数D.全为负数解析 假设 a， b， c 不全为正数，7 abc0，有两个负数一个正数，不妨设 a， b 为负数， c 为正数， a b c0， c( a b)0，又 ab bc ca0， ab( bc ca) c(a b)( a b)2，这与( a b)24 ab 矛盾，故假设错误， a， b， c 全为正数.选 A.答案 A8.若实数 mn，正
8、数 ab， A( an bn)m， B( am bm)n，则( )A.ABB.Ab0，0n， ，ba (ba)n (ba)m amn amn ，1 (ba)n m 1 (ba)m n 即 AB，故选 A.答案 A9.若| a|0， a， b， c 都为正，或者 a， b， c 中有一正二负.又 a b c0，8 a， b， c 中只能是一正二负.不妨设 a0， b ，343278 32 a， b， c 中至少有一个大于 .3212.已知数列 an满足 a11， an1 3 an1.(1)证明 an 是等比数列，并求 an的通项公式；12(2)证明 .1a1 1a2 1an32证明 (1)由 an1 3 an1得 an1 3 .12 (an 12)又 a1 ，所以 是首项为 ，公比为 3 的等比数列.12 32 an 12 32an ，12 3n2因此 an的通项公式为 an .3n 12(2)由(1)知 .1an 23n 1因为当 n1 时，3 n123 n1 ，所以 .13n 1 123n 1于是 1 .1a1 1a2 1an 13 13n 1 32(1 13n)32所以 .1a1 1a2 1an32
