1、11.2.1 研究平抛运动的规律(一)运动的合成与分解学习目标 1.理解运动的独立性、合运动与分运动.2.掌握运动的合成与分解的方法平行四边形定则.3.会用平行四边形定则分析速度、位移的合成与分解问题.4.掌握“小船过河” “绳联物体”问题模型的解决方法一、运动的合成与分解1合运动与分运动把物体的实际运动叫做合运动，把组成合运动的两个或几个运动叫做分运动2运动的合成和分解由分运动求合运动叫运动的合成，由合运动求分运动叫运动的分解3运动的合成与分解就是对运动的位移、速度和加速度等物理量的合成和分解，遵循平行四边形定则即学即用1判断下列说法的正误(1)合运动与分运动是同时进行的，时间相等()(2)
2、合运动一定是实际发生的运动()(3)合运动的速度一定比分运动的速度大()(4)两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定也是匀速直线运动()2竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个蜡块能在水中以 0.1 m/s 的速度匀速上浮在蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管沿水平方向匀速向右运动，测得蜡块实际运动方向与水平方向成 30角，如图 1 所示若玻璃管的长度为 1.0 m，在蜡块从2底端上升到顶端的过程中，玻璃管水平方向的移动速度和水平运动的距离约为( )图 1A0.1 m/s,1.73 m B0.173 m/s,1.0 mC0.173 m/s,1.73 m D0.1 m/s,1.0
3、 m答案 C解析 设蜡块沿玻璃管匀速上升的速度为 v1，位移为 y，蜡块随玻璃管水平向右移动的速度为 v2，位移为 x，如图所示， v2 m/s0.173 m/s.蜡块沿玻璃管匀速上升v1tan 300.133的时间 t s10 s由于合运动与分运动具有等时性，故玻璃管水平移动的时间yv1 1.00.1为 10 s.水平运动的距离 x v2t0.17310 m1.73 m，故选项 C 正确.一、运动的合成与分解导学探究 蜡块能沿玻璃管匀速上升(如图 2 甲所示)，如果在蜡块上升的同时，将玻璃管沿水平方向向右匀速移动(如图乙所示)，则：图 2(1)蜡块在竖直方向做什么运动？在水平方向做什么运动？
4、(2)蜡块实际运动的性质是什么？(3)求 t 时间内蜡块的位移和速度答案 (1)蜡块参与了两个运动：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀速直线运动(2)蜡块实际上做匀速直线运动3(3)经过时间 t，蜡块水平方向的位移 x vxt，竖直方向的位移 y vyt，蜡块的合位移为s t，设位移与水平方向的夹角为 ，则 tan ，蜡块的合x2 y2 vx2 vy2yx vyvx速度 v ，合速度方向与 vx方向的夹角 的正切值为 tan .vx2 vy2vyvx知识深化1合运动与分运动(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动(2)物体实际运动的位移、速
5、度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度2合运动与分运动的四个特性等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响3.运动的合成与分解(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)定则(2)对速度 v 进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解4合运动性质的判断分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形
6、定则，求出合运动的合初速度 v 和合加速度 a，然后进行判断(1)是否为匀变速判断：加速度或合外力Error!(2)曲、直判断：加速度或合外力与速度方向Error!例 1 雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )风速越大，雨滴下落时间越长 风速越大，雨滴着地时速度越大 雨滴下落时间与风速无关 雨滴着地速度与风速无关A BC D答案 B解析 将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖4直高度有关，与水平方向的风速无关，故错误，正确风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故正确，错误，故选 B.1两分运动独立进行，互不影响2
7、合运动与分运动具有等时性例 2 (多选)质量为 2 kg 的质点在 xOy 平面内做曲线运动，在 x 方向的速度时间图像和y 方向的位移时间图像如图 3 所示，下列说法正确的是( )图 3A质点的初速度为 5 m/sB质点所受的合外力为 3 N，做匀变速曲线运动C2 s 末质点速度大小为 6 m/sD2 s 内质点的位移大小约为 12 m答案 ABD解析 由题图 x 方向的速度时间图像可知，在 x 方向的加速度为 1.5 m/s2， x 方向受力Fx3 N，由题图 y 方向的位移时间图像可知在 y 方向做匀速直线运动，速度大小为 vy4 m/s， y 方向受力 Fy0.因此质点的初速度为 5
8、m/s，A 正确；受到的合外力恒为 3 N，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B 正确；2 s 末质点速度大小应该为 v m/s2 m/s，C 错误；2 s 内， x vx0t at29 m， y8 62 42 1312m，合位移 s m12 m，D 正确x2 y2 145在解决运动的合成问题时，先确定各分运动的性质，再求解各分运动的相关物理量，最后进行各量的合成运算二、小船过河模型分析导学探究 如图 4 所示：河宽为 d，河水流速为 v 水 ，船在静水中的速度为 v 船 ，船 M 从A 点开始渡河到对岸图 45(1)小船渡河时同时参与了几个分运动？(2)怎样渡河
9、时间最短？(3)当 v 水 v 水 时2要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即 v 船 与水流方向垂直3要 区 别 船 速 v 船 及 船 的 合 运 动 速 度 v 合 ， 前 者 是 发 动 机 或 划 行 产 生 的 分 速 度 ， 后 者 是 合速 度 针对训练 1 (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中 v 的箭头所示，虚线为小船从河岸 M 驶向对岸 N 的实际航线则其中可能正确的是( )答案 AB解析 小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动虚线为小船从河岸 M 驶向对岸 N 的实际航线，即合速度的方向，小船合速度的方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航
10、线可能正确的是 A、B.三、 “绳联物体”的速度分解问题“绳联物体”的速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一7说成“绳”)：(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等(3)常见的速度分解模型(如图 5)图 5例 4 如图 6 所示，用船 A 拖着车 B 前进时，若船匀速前进，速度为 vA，当 OA 绳与水平方向夹角为 时，则：(与 B 相连的绳水平且定滑轮的质量及摩擦不计)图 6(1)车 B 运动的速度 vB为多大？(2)车 B 是否做匀速运动？答案 (1) vAc
11、os (2)不做匀速运动解析 (1)把 vA分解为一个沿绳方向的分速度 v1和一个垂直于绳的分速度 v2，如图所示，所以车前进的速度 vB大小应等于 vA的分速度 v1，即 vB v1 vAcos .(2)当船匀速向前运动时， 角逐渐减小，车速 vB将逐渐增大，因此，车 B 不做匀速运动“关联”速度的分解规律1分解依据：8(1)物体的实际运动就是合运动(2)由于绳、杆不可伸长，所以绳、杆两端所连物体的速度沿着绳、杆方向的分速度大小相同2分解方法：将物体的实际运动速度分解为垂直于绳、杆和沿绳、杆的两个分量针对训练 2 如图 7 所示， A 物块以速度 v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑轻质定滑
12、轮拉动物体 B 在水平方向上运动(与 B 相连的绳水平)当细绳与水平面夹角为 时，求物体B 运动的速度 vB的大小图 7答案 vsin 解析 物块 A 沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点(即物块 A)的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示其中物体 B 的速度 vB的大小等于沿绳子方向的分速度 v .则有 vB v vsin .1(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( )A物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动B若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线
13、运动C合运动与分运动具有等时性D速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则答案 BCD2(两分运动的合成)(多选)一质量为 2 kg 的质点在如图 8 甲所示的 xOy 平面内运动，在 x方向的速度时间( v t)图像和 y 方向的位移时间( y t)图像分别如图乙、丙所示，由此可知( )9图 8A t0 时，质点的速度大小为 12 m/sB质点做加速度恒定的曲线运动C前 2 s，质点所受的合力大小为 10 ND t1 s 时，质点的速度大小为 7 m/s答案 BC解析 由 v t 图像可知，质点在 x 方向上做匀减速运动，初速度大小为 12 m/s，而在 y 方向上，质点做速度大小为 5
14、m/s 的匀速运动，故在前 2 s 内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小： v0 m/s13 m/s，122 52故 A 错 误 ， B 正 确 ； 由 v t 图 像 可 知 ， 前 2 s， 质 点 的 加 速 度 大 小 为 ： a 5 m/s2， v t根 据 牛 顿 第 二 定 律 ， 前 2 s 质 点 所 受 合 外 力 大 小 为 F ma 25 N 10 N， 故 C 正 确 ；t 1 s 时 ， x 方 向 的 速 度 大 小 为 7 m/s， 而 y 方 向 速 度 大 小 为 5 m/s， 因 此 质 点 的 速 度 大小
15、为 m/s m/s，故 D 错误72 52 743(关联速度问题)(多选)如图 9 所示，一人以恒定速度 v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成 45角，则此时( )图 9A小车运动的速度为 v012B小车运动的速度为 v02C小车在水平面上做加速运动D小车在水平面上做减速运动答案 BC解析 将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，10人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系 vcos 45 v0，则 v v0， B 正 确 ， A 错 误 随 着 小 车 向 左 运 动 ， 小 车 与 水 平 方
16、 向 的 夹v0cos 452角 越 来 越 大 ， 设 夹 角 为 ， 由 v 知 v 越 来 越 大 ， 则 小 车 在 水 平 面 上 做 加 速 运 动 ，v0cos C 正 确 ， D 错 误 4( 小 船 渡 河 问 题 )小 船 在 200 m 宽 的 河 中 横 渡 ， 水 流 速 度 是 2 m/s， 小 船 在 静 水 中 的 航 速是 4 m/s.求：(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为 50 s(2)船头偏向上游，与河岸成 60角，最短航程为 200
17、m解析 (1)如 图 甲 所 示 ， 船 头 始 终 正 对 河 岸 航 行 时 耗 时 最 少 ， 即 最 短 时 间 tmin dv船 2004s 50 s.(2)如图乙所示，航程最短为河宽 d，即最短航程为 200 m，应使 v 合 的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成 角，有 cos ，解得 60.v水v船 12一、选择题考点一 运动的合成与分解1关于合运动、分运动的说法，正确的是( )A合运动的位移为分运动位移的矢量和B合运动的位移一定比其中的一个分位移大C合运动的速度一定比其中的一个分速度大D合运动的时间一定比分运动的时间长11答案 A解析 位移是矢量，其运算遵循平行四边形
18、定则，A 正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B 错误；同理可知 C 错误；合运动和分运动具有等时性，D 错误2如图 1 所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为 H m、沿水平直线飞行的直升飞机 A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员 B，在直升飞机 A 和伤员 B 以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起设经 t s 时间后， A、 B 之间的距离为 l m，且l H t2，则在这段时间内关于伤员 B 的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图( )图 1答案 A解析 根据 l H t2，可知伤员 B 在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即
19、表示拉力 F 的线段要比表示重力 G 的线段长，伤员在水平方向匀速运动，所以 F、 G 都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有 A 符合，所以在这段时间内关于伤员 B 的受力情况和运动轨迹正确的是 A.3(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为 a 的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度 v0水平匀速移动，经过时间 t，猴子沿杆向上移动的高度为 h，人顶杆沿水平地面移动的距离为 x，如图 2 所示关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )图 2A相对地面的运动轨迹为直线B相对地面做匀变速曲线运动C t 时刻猴子相对地面的速度大小为 v0 atD t 时间内猴子相对地
20、面的位移大小为 x2 h212答案 BD解析 猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子相对地面的运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动； t 时刻猴子对地的速度大小为 v ； t 时间内猴子对v02 at2地的位移大小为 s .x2 h24物体在直角坐标系 xOy 所在平面内由 O 点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图 3 所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )图 3A物体在 03 s 做匀变速直线运动B物体在 03 s 做匀变速曲线运动C物体在 34 s 做变加速直线运动D物
21、体在 34 s 做匀变速曲线运动答案 B解析 物体在 03 s 内， x 方向做 vx4 m/s 的匀速直线运动， y 方向做初速度为 0、加速度 ay1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度 v0 vx4 m/s，合加速度 a ay1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A 错误，B 正确物体在 34 s 内， x 方向做初速度 vx4 m/s、加速度 ax4 m/s2的匀减速直线运动， y方向做初速度 vy3 m/s、加速度 ay3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小 v5 m/s，合加速度大小 a5 m/s 2， v、 a 方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线
22、运动，如图乙所示，C、D 错误考点二 小船渡河问题5小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )A水速小时，位移小，时间也小B水速大时，位移大，时间也大C水速大时，位移大，但时间不变D位移、时间大小与水速大小无关13答案 C解析 小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小6一只小船渡河，运动轨迹如图 4 所示水流速度各处相同且恒定不
23、变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变由此可以确定( )图 4A船沿 AD 轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动B船沿三条不同路径渡河的时间相同C船沿 AB 轨迹渡河所用的时间最短D船沿 AC 轨迹到达对岸前瞬间的速度最大答案 D解析 因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直河岸方向运动性质不 同 ， 沿 水 流 方 向 运 动 相 同 ， 河 的 宽 度 相 同 ， 所 以 渡 河 时 间 不 等 ， B 错 误 ； 加 速 度 的 方 向指 向 轨 迹 的
24、凹 侧 ， 依 题 意 可 知 ， AC 径 迹 是 船 相 对 于 静 水 做 匀 加 速 运 动 ， AB 径 迹 是 船 相 对于 静 水 做 匀 速 运 动 ， AD 径 迹 是 船 相 对 于 静 水 做 匀 减 速 运 动 ， 从 而 知 道 AC 径 迹 渡 河 时 间 最短 ， A、 C 错 误 ； 沿 AC 轨 迹 在 垂 直 河 岸 方 向 是 匀 加 速 运 动 ， 故 船 到 达 对 岸 前 瞬 间 的 速 度 最大 ， D 正 确 7(多选)一快艇从离岸边 100 m 远的河流中央向岸边行驶已知快艇在静水中的速度时间图像如图 5 甲所示；河中各处水流速度相同，且速度时
25、间图像如图乙所示则( )图 5A快艇的运动轨迹一定为直线B快艇的运动轨迹一定为曲线C快艇最快到达岸边，所用的时间为 20 s14D快艇最快到达岸边，经过的位移为 100 m答案 BC解析 两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故 A 错误，B 正确当快艇船头垂直于河岸运动时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度 a0.5 m/s2，由 d at2，得 t20 s，12而位移大于 100 m，选项 C 正确，D 错误考点三 绳关联速度问题8(多选)如图 6 所示，人在岸上用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉船，不计空气阻力，与人
26、相连的绳水平，已知船的质量为 m，水的阻力恒为 Ff，当轻绳与水面的夹角为 时，船的速度为 v，人的拉力大小为 F，则此时( )图 6A人拉绳行走的速度为 vcos B人拉绳行走的速度为vcos C船的加速度为 D船的加速度为Fcos Ffm F Ffm答案 AC解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度 v 人 v vcos ，选项 A 正确，B 错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为 F，与水平方向成 角，因此Fcos Ff ma，解得 a ，选项 C 正确，D 错误Fcos Ffm9.人
27、用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体 A， A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度 v0匀速地拉绳使物体 A 到达如图 7 所示位置时，绳与竖直杆的夹角为 ，则物体 A 实际运动的速度是( )图 715A v0sin B.v0sin C v0cos D.v0cos 答案 D解析 由运动的合成与分解可知，物体 A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动而物体 A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体 A 的合运动，它们之间的关系如图所示由几何关系可得v ，所以 D 正确v0cos 10如图 8 所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道
28、上有两个物体 A 和 B，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮 O 的不可伸长的轻绳相连接，物体 A 以速率 vA10 m/s 匀速运动，在绳与轨道成 30角时，物体 B 的速度大小 vB为( )图 8A5 m/s B. m/s533C20 m/s D. m/s2033答案 D解析 物体 B 的运动可分解为沿绳 BO 方向靠近定滑轮 O 使绳 BO 段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳 BO 垂直)的运动，故可把物体 B 的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB vBcos ，由于绳不可伸长，有 vB vA，故 vA vBcos ，所以 vB vAcos 2033m/s，选项 D 正确二、非选择题
29、11(运动的合成与分解)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的 x 方向和 y 方向上的16两个分运动的速度时间图像如图 9 所示图 9(1)计算物体的初速度大小；(2)计算物体在前 3 s 内的位移大小答案 (1)50 m/s (2)30 m13解析 (1)由题图可看出，物体沿 x 方向的分运动为匀速直线运动，沿 y 方向的分运动为匀变速直线运动 x 方向的初速度 vx030 m/s， y 方向的初速度 vy040 m/s，则物体的初速度大小为 v0 50 m/s.vx02 vy02(2)在前 3 s 内， x 方向的分位移大小 x3 vxt303 m90 my 方向的分位移大小 y3 t
30、 3 m60 m，|vy0|2 402故 s m30 m.x32 y32 902 602 1312(关联速度问题)一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为 m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是 H.车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间 t 绳子与水平方向的夹角为 ，如图 10 所示试求：图 10(1)车向左运动的加速度的大小；(2)重物 m 在 t 时刻速度的大小答案 (1) (2)2Ht2tan 2Hcos ttan 解析 (1)车在时间 t 内向左运动的位移： x ，Htan 由车做匀加速直线运动，得： x at2，12解得： a .2xt2 2Ht2tan 17(2)t 时刻车的速度： v 车 at ，2Httan 由运动的分解知识可知，车的速度 v 车 沿绳的分速度大小与重物 m 的速度大小相等，即： v物 v 车 cos ，解得： v 物 .2Hcos ttan
