1、1第一章 导数及其应用滚动训练二(1.31.4)一、选择题1函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f( x)的图象如图所示，则函数 f(x)( )A无极大值点，有四个极小值点B有三个极大值点，两个极小值点C有两个极大值点，两个极小值点D有四个极大值点，无极小值点考点 函数极值的应用题点 函数极值在函数图象上的应用答案 C解析 f( x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值， f( x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值，由题图易知有两个极大值点，两个极小值点2若函数 f(x) x3 ax2 x6 在(0,1)内单调递减，则实数 a的取值范围是( )A1，) B a1C(，1 D(0,1)
2、考点 利用导数求函数的单调区间题点 已知函数单调性求参数(或其范围)答案 A解析 f( x)3 x22 ax1，又 f(x)在(0,1)内单调递减，不等式 3x22 ax10 在(0,1)内恒成立， f(0)0，且 f(1)0， a1.3.已知定义在 R上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A f(b)f(c)f(d)B f(b)f(a)f(e)C f(c)f(b)f(a)D f(c)f(e)f(d)2考点 利用导数研究函数的单调性题点 比较函数值的大小答案 C解析 依题意得，当 x(， c)时， f( x)0，因此，函数 f(x)在(， c)上是
3、增函数，由于 af(b)f(a)4函数 f(x) x2cos x在 上取最大值时的 x值为( )0，2A0 B.6C. D.3 2考点 利用导数求函数的最值题点 利用导数求不含参数函数的最值答案 B解析 由 f( x)12sin x0，得 sin x ，12又 x ，所以 x ，0，2 6当 x 时， f( x)0；0，6当 x 时， f( x)0，则函数的导数 f( x)1 ，bx2 x2 bx2由 f( x)0得 x 或 x0，x2 8x 9x4 x 9x 1x4 (x)在(0,1上递增， (x)max (1)6， a6.当 x2,0)时， a ，x2 4x 3x3 a min.x2 4x
4、 3x3 仍设 (x) ， ( x) .x2 4x 3x3 x 9x 1x4当 x2，1)时， ( x)0.当 x1 时， (x)有极小值，即为最小值而 (x)min (1) 2， a2.1 4 3 1综上知6 a2.二、填空题9若函数 f(x) x3 x2 m在区间2,1上的最大值为 ，则 m_.32 92考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数5答案 2解析 f( x)3 x23 x3 x(x1)由 f( x)0，得 x0 或 x1.又 f(0) m， f(1) m ，12f(1) m ， f(2)86 m m2，52当 x2,1时，最大值为 f(1) m ，52 m ， m2.5
5、2 9210.已知函数 f(x)的导函数 f( x)是二次函数，如图是 f( x)的大致图象，若 f(x)的极大值与极小值的和等于 ，则 f(0)的值为_23考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 13解析 其导函数的函数值应在(，2)上为正数，在(2,2)上为负数，在(2，)上为正数，由导函数图象可知，函数在(，2)上为增函数，在(2,2)上为减函数，在(2，)上为增函数，函数在 x2 时取得极大值，在 x2 时取得极小值，且这两个极值点关于点(0， f(0)对称，由 f(x)的极大值与极小值之和为 ，得 f(2) f(2)2 f(0)，23 2 f(0)，则 f(0)的值为
6、.23 1311已知函数 f(x) xex c有两个零点，则 c的取值范围是_考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根6答案 ( ，1e)解析 f( x)e x(x1)，易知 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，且 f(x)min f(1) ce 1 ，由题意得 ce 1 0，得 1 x0)(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)0)，当 x t时， f(x)有最小值 f( t) h(t) t3 t1.(2)令 g(t) h(t)(2 t m) t33 t1 m，由 g( t)3 t230 得 t1 或 t1(舍去)当 t变化时， g( t)， g(t)
7、的变化情况如下表：7t (0,1) 1 (1,2)g( t) 0 g(t) 1 m 当 t(0,2)时， g(t)max g(1)1 m. h(t)1.故实数 m的取值范围是(1，)四、探究与拓展14已知函数 f(x)2ln x (a0)若当 x(0，)时， f(x)2 恒成立，则实数 aax2的取值范围是_考点 利用导数求函数中参数的取值范围题点 利用导数求恒成立问题中参数的取值范围答案 e，)解析 f(x)2 即 a2 x22 x2ln x.令 g(x)2 x22 x2ln x，则 g( x)2 x(12ln x)由 g( x)0 得 x12e或 0(舍去)，当 00；当 x 时， g(
8、x) (nN *)1 112 2 122 3 132 n 1n2考点 利用导数研究函数的单调性题点 构造法的应用(1)解 当 a1 时， f(x)ln( x1) ，xx 18所以 f( x) ，1x 1 x 1 xx 12 x 2x 12所以 f(0)2，又 f(0)0，所以函数 f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y2 x.(2)解 f( x) 1x 1 ax 1 axx 12 (x1)x 1 ax 12令 x1 a0，得 x a1.若 a11，即 a0，则 f( x)0恒成立，此时 f(x)无极值若 a11，即 a a1 时， f( x)0，此时 f(x)在 x a1 处取得极小值，极小值为 ln( a) a1.(3)证明 当 a1 时，由(2)知， f(x)min f(0)0，所以 ln(x1) 0，即 ln(x1) .xx 1 xx 1令 x (nN *)，1n则 ln ，(1n 1)1n1n 1 11 n所以 ln .n 1n 11 n又因为 0，11 n n 1n2 1n2n 1所以 ，11 nn 1n2所以 ln ，n 1n n 1n2所以 ln ln ln ln ，21 32 43 n 1n 1 112 2 122 3 132 n 1n2即 ln(n1) .1 112 2 122 3 132 n 1n2
