1、11.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题知识点 二项式定理及其相关概念思考 1 我们在初中学习了( a b)2 a22 ab b2，试用多项式的乘法推导( a b)3，( a b)4的展开式答案 ( a b)3 a33 a2b3 ab2 b3，( a b)4 a44 a3b6 a2b24 ab3 b4.思考 2 能用类比方法写出( a b)n(nN *)的展开式吗？答案 能，( a b)nC anC an1 bC an kbkC bn (nN *)0n 1n kn n梳理二项式定理
2、 公式( a b)nC anC an1 bC an kbkC bn，称为二项式定理0n 1n kn n二项式系数 C (k0,1， n)kn通项 Tk1 C an kbkkn二项式定理的特例(1 x)nC C xC x2C xkC xn0n 1n 2n kn n1( a b)n展开式中共有 n 项( )2在公式中，交换 a， b 的顺序对各项没有影响( )3C an kbk是( a b)n展开式中的第 k 项( )kn4( a b)n与( a b)n的二项式展开式的二项式系数相同( )类型一 二项式定理的正用、逆用例 1 (1)求 4的展开式(3x 1x)考点 二项式定理题点 运用二项式定理求
3、展开式2解 方法一 4(3 )4C (3 )3 C (3 )2 2C (3 )(3x 1x) x 14 x (1x) 24 x (1x) 34 x3C 4 81x2108 x 54 .(1x) 4(1x) 12x 1x2方法二 4 4 (13 x)4 1C 3xC (3x)2C (3x)3C (3x)4(3x 1x) (3x 1x ) 1x2 1x2 14 24 34 4 (112 x54 x2108 x381 x4) 54108 x81 x2.1x2 1x2 12x(2)化简：C (x1) nC (x1) n1 C (x1) n2 (1) kC (x1) n k(1) nC .0n 1n 2
4、n kn n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式C (x1) nC (x1) n1 (1)C (x1) n2 (1) 2C (x1) n k(1)0n 1n 2n knkC (1) n( x1)(1) n xn.n引申探究若(1 )4 a b (a， b 为有理数)，则 a b_.3 3答案 44解析 (1 )41C ( )1C ( )2C ( )3C ( )3 14 3 24 3 34 3 4 3414 1812 92816 ， a28， b16， a b281644.3 3 3反思与感悟 (1)( a b)n的二项展开式有 n1 项，是和的形式，各项的幂指数规律是：各项的
5、次数和等于 n；字母 a 按降幂排列，从第一项起，次数由 n 逐项减 1 直到 0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0 逐项加 1 直到 n.(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪训练 1 化简：(2 x1) 55(2 x1) 410(2 x1) 310(2 x1) 25(2 x1)1.考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简解 原式C (2x1) 5C (2x1) 4C (2x1) 3C (2x1) 2C (2x1)C (2x1)05 15 25 35 45 50(2 x1)1 5(2 x)532 x5.类型二
6、二项展开式通项的应用命 题 角 度 1 二 项 式 系 数 与 项 的 系 数例 2 已知二项式 10.(3x23x)(1)求展开式第 4 项的二项式系数；(2)求展开式第 4 项的系数；(3)求第 4 项3考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 10的展开式的通项是(3x23x)Tk1 C (3 )10 k k C 310 k k1032kx(k0,1,2，10)k10 x (23x) k10 ( 23)(1)展开式的第 4 项( k3)的二项式系数为 C 120.310(2)展开式的第 4 项的系数为 C 37 377 760.310 (23)(3)展开式的第 4
7、项为 T4 T31 77 760 .x反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 C (k0,1,2， n)，它与二项展开式中某一kn项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念(2)第 k1 项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为 C .例如，在kn(12 x)7的展开式中，第四项是 T4C 173 (2x)3，其二项式系数是 C 35，而第四项的系37 37数是 C 23280.37跟踪训练 2 已知 n展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.(x2x)(1)求 n 的值；(2)求展开式中含 x3的项，并指出该项的二项式系数考点 二项
8、展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)因为 T3C ( )n2 24C62nx，2n x (2x) 2nT2C ( )n1 2C3，1n x (2x) 1n依题意得 4C 2C 162，所以 2C C 81，2n 1n 2n 1n所以 n281， nN *，故 n9.(2)设第 k1 项含 x3项，则 Tk1 C ( )9 k k(2) kC932kx，所以k9 x (2x) k93， k1，9 3k2所以第二项为含 x3的项为 T22C x318 x3.19二项式系数为 C 9.19命 题 角 度 2 展 开 式 中 的 特 定 项例 3 已知在 n的展开式中，第 6
9、项为常数项(3x 33x)4(1)求 n；(2)求含 x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项解 通项公式为Tk1 C 3nkx(3) k 3C (3) k23nx.kn kn(1)第 6 项为常数项，当 k5 时，有 0，即 n10.n 2k3(2)令 2，得 k (106)2，10 2k3 12所求的系数为 C (3) 2405.210(3)由题意得，Error!令 t(tZ)，10 2k3则 102 k3 t，即 k5 t. kN，32 t 应为偶数令 t2,0，2，即 k2,5,8.第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，
10、它们分别为 405x2，61 236,295 245 x2 .反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型求第 k 项， TkC an k1 bk1 ；求含 xk的项(或 xpyq的项)；求常数项；求有理k 1n项(2)求二项展开式的特定项的常用方法对于常数项，隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项)；对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪训练 3 (1)若 9的展开式中
11、x3的系数是84，则 a_.(xax)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 15解析 展开式的通项为 Tk1 C x9 k( a)k kk9 (1x)C ( a)kx92 k(0 k9， kN)k9当 92 k3 时，解得 k3，代入得 x3的系数，根据题意得 C ( a)384，解得 a1.39(2)已知 n 为等差数列4，2,0，的第六项，则 n的二项展开式的常数项是(x2x)_考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 160解析 由题意得 n6， Tk1 2 kC x62 k，k6令 62 k0 得 k3，常数项为 C 23160.36
12、1( x2) n的展开式共有 11 项，则 n 等于( )A9 B10 C11 D8考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 因为( a b)n的展开式共有 n1 项，而( x2) n的展开式共有 11 项，所以 n10，故选 B.212C 4C 8C (2) nC 等于( )1n 2n 3n nA1 B1 C(1) n D3 n考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 C解析 逆用二项式定理，将 1 看成公式中的 a，2 看成公式中的 b，可得原式(12)n(1) n.3. n的展开式中，常数项为 15，则 n 的值为( )(x21x)A3 B4
13、 C5 D6考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数6答案 D解析 展开式的通项为 Tk1 C (x2)n k(1) k k(1) kC x2n3 k.令 2n3 k0，得kn (1x) knn k(n， kN *)，若 k2，则 n3 不符合题意，若 k4，则 n6，此时(1)324C 15，所以 n6.464在 24的展开式中， x 的幂指数是整数的项共有( )(x 13x)A3 项 B4 项 C5 项 D6 项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 C解析 24的展开式的通项为 Tk1 C ( )24 k kC5126kx，故当(x 13x
14、) k24 x (13x) k24k0,6,12,18,24 时，幂指数为整数，共 5 项5求二项式( )9展开式中的有理项x 3x考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项解 Tk1 C912kx13kx(1) kC 276kx，令 Z(0 k9)，得 k3 或k9 k927 k6k9，所以当 k3 时， 4， T4(1) 3C x484 x4，27 k6 39当 k9 时， 3， T10(1) 9C x3 x3.27 k6 9综上，展开式中的有理项为84 x4与 x3.1注意区分项的二项式系数与系数的概念2要牢记 C an kbk是展开式的第 k1 项，不要误认为是第 k
15、项kn3求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值一、选择题1 S( x1) 44( x1) 36( x1) 24 x3，则 S 等于( )A x4 B x417C( x2) 4 D x44考点 二项式定理题点 逆用二项式定理求和、化简答案 A解析 S( x1) 44( x1) 36( x1) 24( x1)1C (x1) 4C (x1) 3C (x1)04 14 242C (x1)C ( x1)1 4 x4，故选 A.34 42设 i 为虚数单位，则(1i) 6展开式中的第 3 项为( )A20i B15iC20 D15考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项
16、展开式中的特定项答案 D解析 (1i) 6展开式中的第 3 项为 C i215.263( x y)10的展开式中 x6y4的系数是( )2A840 B840C210 D210考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 B解析 在通项公式 Tk1 C ( y)kx10 k中，令 k4，即得( x y)10的展开式中 x6y4的k10 2 2系数为 C ( )4840.410 24在 n的展开式中，若常数项为 60，则 n 等于( )(x2x)A3 B6C9 D12考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 Tk1 C ( )n k k 2k
17、C3nkx.kn x (2x) kn令 0，得 n3 k.n 3k2根据题意有 2kC 60，验证知 k2，故 n6.k35若(13 x)n(nN *)的展开式中，第三项的二项式系数为 6，则第四项的系数为( )A4 B278C36 D108考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数答案 D解析 Tk1 C (3x)k，由 C 6，得 n4，从而 T4C (3x)3，故第四项的系数为kn 2n 34C 33108.346在二项式124nx的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( )A5 B4C3 D2考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的
18、特定项答案 C解析 二项展开式的前三项的系数分别为 1，C ，C 2，由其成等差数列，可得1n12 2n (12)2C 1C 2n1 ，所以 n8( n1 舍去 )所以展开式的通项 Tk1 C1n12 2n (12) nn 18 k8k34x.若为有理项，则有 4 Z，所以 k 可取 0,4,8，所以展开式中有理项的项数为(12) 3k43.7设函数 f(x)Error!则当 x0 时， f(f(x)表达式的展开式中常数项为( )A4 B6C8 D10考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 B解析 依据分段函数的解析式，得 f(f(x) f( ) 4，x (1x x) T
19、k1 C (1) kxk2 .k4令 k20，则 k2，故常数项为 C (1) 26.24二、填空题8. 7的展开式中倒数第三项为_(2x1x2)9考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 84x8解析 由于 n7，可知展开式中共有 8 项，倒数第三项即为第六项， T6C (2x)2 5C 22 .57 (1x2) 57 1x8 84x89若( x1) n xn ax3 bx2 nx1( nN *)，且 a b31，那么 n_.考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 11解析 aC ， bC . a b31，n 3n n 2n ，即 3，Cn
20、3nCn 2n C3nC2n 31 nn 1n 226nn 1解得 n11.10已知正实数 m，若 x10 a0 a1(m x) a2(m x)2 a10(m x)10，其中 a8180，则m 的值为_考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 2解析 由 x10 m( m x)10， m( m x)10的二项展开式的第 9 项为 C m2(1) 8(m x)8108， a8C m2(1) 8180，810则 m2.又 m0， m2.11使 n(nN *)的展开式中含有常数项的最小的 n 为_(3x 1xx)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求
21、参数答案 5解析 展开式的通项公式 Tk1 C (3x)n k k，kn (1xx) Tk1 3 n kC52x， k0,1,2， n.kn令 n k0， n k，52 5210故最小正整数 n5.三、解答题12若二项式 6(a0)的展开式中 x3的系数为 A，常数项为 B，且 B4 A，求 a 的值(x ax)考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数解 Tk1 C x6 k k ( a)kC362kx，k6 ( ax) k6令 6 3，则 k2，得 AC a215 a2；3k2 26令 6 0，则 k4，得 BC a415 a4.3k2 46由 B4 A 可得 a24
22、，又 a0， a2.13已知在 n的展开式中，第 9 项为常数项，求：(12x2 1x)(1)n 的值；(2)展开式中 x5的系数；(3)含 x 的整数次幂的项的个数考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项解 已知二项展开式的通项为 Tk1 C n k k(1) k n kC52kx.kn(12x2) ( 1x) (12) kn(1)因为第 9 项为常数项，即当 k8 时，2 n k0，52解得 n10.(2)令 210 k5，得 k (205)6.52 25所以 x5的系数为(1) 6 4C .(12) 610 1058(3)要使 2n k，即 为整数，只需 k 为偶数，由
23、于 k0,1,2,3，9,10，故符合要52 40 5k2求的有 6 项，分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项四、探究与拓展14设 a0， n 是大于 1 的自然数， n的展开式为 a0 a1x a2x2 anxn.若点(1xa)Ai(i， ai) (i0,1,2)的位置如图所示，则 a_.11考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析 由题意知 A0(0,1)， A1(1,3)， A2(2,4)即 a01， a13， a24.由 n的展开式的通项公式知 Tk1 C k(k0,1,2， n)(1xa) kn(xa)故 3， 4，解得 a3.C1na
24、C2na215设 f(x)(1 x)m(1 x)n的展开式中含 x 项的系数是 19(m， nN *)(1)求 f(x)的展开式中含 x2项的系数的最小值；(2)当 f(x)的展开式中含 x2项的系数取最小值时，求 f(x)的展开式中含 x7项的系数考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知 m n19，所以 m19 n，含 x2项的系数为 C C C C2m 2n 219 n 2n 19 n18 n2 nn 12 n219 n171 2 .(n192) 3234因为 nN *，所以当 n9 或 n10 时， x2项的系数的最小值为 2 81.(12) 3234(2)当 n9， m10 或 n10， m9 时， x2项的系数取最小值，此时 x7项的系数为C C C C 156.710 79 310 29
