1、1习题课 二项式定理学习目标 1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题1二项式定理及其相关概念二项式定理公式( a b)nC anC an1 bC an kbkC bn，0n 1n kn n称为二项式定理二项式系数 C (k0,1， n)kn通项 Tk1 C an kbk(k0,1， n)kn二项式定理的特例 (1 x)nC C xC x2C xkC xn0n 1n 2n kn n2二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)(1)对称性：C C ；mn n mn(2)性质：C C C ；kn 1 k 1n kn(3)二项式系数的最大值：当 n 是偶
2、数时，中间的一项取得最大值，即 2Cn最大；当 n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即12Cn最大；(4)二项式系数之和：C C C C C 2 n，所用方法是赋值法0n 1n 2n kn n2类型一 二项式定理的灵活应用命 题 角 度 1 两 个 二 项 式 积 的 问 题例 1 (1)(1 )6(1 )4的展开式中 x 的系数是( )x xA4 B3 C3 D4(2)已知(1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a_.考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 (1)B (2)1解析 (1)方法一 (1 )6的展开式的通项为 C ( )m
3、C (1) m 2x，(1 )4的展x m6 x m6 x开式的通项为 C ( )nC 2，其中 m0,1,2，6， n0,1,2,3,4.n4 x n4令 1，得 m n2，于是(1 )6(1 )4的展开式中 x 的系数等于 C (1)m2 n2 x x 060C C (1) 1C C (1) 2C 3.24 16 14 26 04方法二 (1 )6(1 )4(1 )(1 )4(1 )2(1 x)4(12 x)，于是(1x x x x x x)6(1 )4的展开式中 x 的系数为 C 1C (1) 113.x x 04 14(2)(1 ax)(1 x)5(1 x)5 ax(1 x)5. x2
4、的系数为 C aC ，25 15则 105 a5，解得 a1.反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得跟踪训练 1 (1) 5的展开式中各项系数的和为 2，则该展开式的常数项为( )(xax)(2x 1x)A40 B20 C20 D40(2)在(1 x)6(1 y)4的展开式中，记 xmyn项的系数为 f(m， n)，则 f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)_.考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 (1)D (2)12
5、0解析 (1)令 x1，得(1 a)(21) 52， a1，故 5的展开式中常数项即为 5的展开式中 与 x 的系数之和(x1x)(2x 1x) (2x 1x) 1x35的展开式的通项为 Tk1 (1) kC 25 kx52 k，(2x1x) k5令 52 k1，得 k2，展开式中 x 的系数为 C 252 (1) 280，25令 52 k1，得 k3，展开式中 的系数为 C 253 (1) 340，1x 35 5的展开式中常数项为 804040.(x1x)(2x 1x)(2)f(3,0) f(2,1) f(1,2) f(0,3)C C C C C C C C 120.3604 2614 16
6、24 0634命 题 角 度 2 三 项 展 开 式 问 题例 2 5的展开式中的常数项是 _(x2 1x 2)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 6322解析 方法一 原式 5，(x2 1x) 2展开式的通项为 1kT 15Ck11kk(k10,1,2 ，5)当 k15 时， T6( )54 ，2 2当 0 k10，则(1 x)10 10的展开式中的常数项为( )(11x)A1 B(C )2107CC DC120 102考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 D解析 (1 x)10 10 10 10 20.设其展开式的通项为(11x) 1
7、x(1 1x) (x 1x 2) (x 1x)Tk1 ，则 Tk1 C x10 k，当 k10 时，为常数项故选 D.k204当 n 为正奇数时，7 nC 7n1 C 7n2 C 7 被 9 除所得的余数是( )1n 2n n 1nA0 B2 C7 D8考点 二项式定理的综合应用题点 整除和余数问题答案 C解析 原式(71) nC 8 n1(91)nn19 nC 9n1 C 9n2 C 9(1) n1 (1) n1.因为 n 为正奇数，所以1n 2n n 1n(1) n1297，所以余数为 7.5设(2 1) n的展开式的各项系数之和为 M，二项式系数之和为 N，若 M,8， N 三数成等3x
8、比数列，则展开式中第四项为_考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 160 x解析 当 x1 时，可得 M1，二项式系数之和 N2 n，由题意，得 MN64，2 n64， n6.第四项 T4C (2 )3(1) 3160 x.36 3x1两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点(2)找到构成展开式中特定项的组成部分(3)分别求解再相乘，求和即得2三项或三项以上的展开问题应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性3用
9、二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了4求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入85确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质一、选择题1二项式 12的展开式中的常数项是 ( )(x 2x)A第 7 项 B第 8 项C第 9 项 D第 10 项考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 C解析 二项展开式中的通项公式为 Tk1 C x12 k kC 2k312kx，令k12 (2x) k1212 k0，得 k8.32常数项为第 9 项2(1 x)8(1 y)4的
10、展开式中 x2y2的系数是( )A56 B84 C112 D168考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数答案 D解析 因为(1 x)8的通项为 C xk，(1 y)4的通项为 C yt，故(1 x)8(1 y)4的通项为 C Ck8 t4 k8xkyt.t4令 k2， t2，得 x2y2的系数为 C C 168.28243若( x3 y)n的展开式中所有项的系数的和等于(7 a b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为( )A15 B10 C8 D5考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 D解析 由于(7 a b)10的展开式中二项式系数的和
11、为 C C 2 10，令( x3 y)n中01 10x y1，则由题设知，4 n2 10，即 22n2 10，解得 n5.4若二项式 7的展开式中 的系数是 84，则实数 a 等于( )(2xax) 1x39A2 B. C1 D.424考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 C解析 二项式 7的展开式的通项公式为 Tk1 C (2x)7 k kC 27 kakx72 k，(2xax) k7 (ax) k7令 72 k3，得 k5.故展开式中 的系数是 C 22a5，即 C 22a584，解得 a1.1x3 57 575设 m 为正整数，( x y)2m展开式的二项
12、式系数的最大值为 a，( x y)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a7 b，则 m 等于( )A5 B6 C7 D8考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项答案 B解析 ( x y)2m展开式中二项式系数的最大值为 C ， aC .同理， bC .m2 m2 m 1213 a7 b，13C 7C ，m2 m 1213 7 ， m6.2m！m！ m！ 2m 1！m 1！ m！6二项式 6的展开式中不含 x3项的系数之和为( )(x21x)A20 B24 C30 D36考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 A解析 由二项
13、式的展开式的通项公式 Tk1 C (1) kx123 k，令 123 k3，解得 k3，k6故展开式中 x3项的系数为 C (1) 320，而所有系数和为 0，不含 x3项的系数之和为3620.7在(1 x)n(n 为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为 A，偶数项的和为 B，则(1 x2)n的值为( )A0 B ABC A2 B2 D A2 B2考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题10答案 C解析 (1 x)n A B，(1 x)n A B，(1 x2)n(1 x)n(1 x)n( A B)(A B) A2 B2.891 92被 100 除所得的余数为( )A1 B81
14、C81 D9 92考点 二项式定理的综合应用题点 整除和余数问题答案 B解析 利用 9192(1009) 92的展开式，或利用(901) 92的展开式方法一 (1009) 92C 10092C 100919C 1009092C 100991C 992.092 192 29 912 92展开式中前 92 项均能被 100 整除，只需求最后一项除以 100 的余数由 992(101) 92C 1092C 102C 101.092 902 912前 91 项均能被 100 整除，后两项和为919，因原式为正，可从前面的数中分离出 1 000，结果为 1 00091981，91 92被 100 除可得
15、余数为 81.方法二 (901) 92C 9092C 9091C 902C 90C .092 192 902 912 92前 91 项均能被 100 整除，剩下两项为 929018 281，显然 8 281 除以 100 所得余数为81.二、填空题9若 6的二项展开式中，常数项为 ，则二项式系数最大的项为_(x21ax) 1516考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项答案 x3或 x352 52解析 6二项展开式的通项为 Tk1 C (x2)6 k kC a kx123 k，令(x21ax) k6 (1ax) k6123 k0，得 k4，C a4 ，解得 a2，
16、461516当 a2 时，二项式系数最大的项为 C (x2)3 336 (12x) x3.52当 a2 时，二项式系数最大的项为 C (x2)3 3 x3.36 (12x) 521110. 3的展开式中常数项为_(x21x2 2)考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中的特定项答案 20解析 3 6展开式的通项公式为 Tk1 C (1) kx62 k.令 62 k0，解得(x21x2 2) (x 1x) k6k3.故展开式中的常数项为C 20.3611(1.05) 6的计算结果精确到 0.01 的近似值是_考点 二项式定理的综合应用题点 整除和余数问题答案 1.34解析 (1.05)
17、 6(10.05) 6C C 0.05C 0.052C 0.05310.30.037 06 16 26 3650.002 51.34.12已知 n的展开式中含 x 的项为第 6 项，设(1 x2 x2)(x21x)n a0 a1x a2x2 a2nx2n，则 a1 a2 a2n_.考点 展开式中系数的和问题题点 二项展开式中系数的和问题答案 255解析 因为 n的展开式的通项是 C (1) kx2n3 k(k0,1,2， n)，因为含 x 的项(x21x) kn为第 6 项，所以当 k5 时，2 n3 k1，即 n8.令 x1，得a0 a1 a2 a2n2 8256.又 a01，所以 a1 a
18、2 a2n255.三、解答题13在二项式 n的展开式中，前三项的系数成等差数列(x 12x)(1)求展开式中的常数项；(2)求展开式中系数最大的项考点 展开式中系数最大(小)的项问题题点 求展开式中系数最大(小)的项解 (1)二项式 n的展开式中，前三项的系数分别为 1， .(x 12x) n2 nn 18根据前三项的系数成等差数列，可得 n1 ，求得 n8 或 n1(舍去)nn 1812故二项式 n的展开式的通项为 Tk1 C 2 kx4 k.令 4 k0，求得 k4，可得(x 12x) k8展开式中的常数项为 T5C 4 .48 (12) 358(2)设第 k1 项的系数最大，则由Erro
19、r!求得 2 k3.因为 kZ，所以 k2 或 k3，故系数最大的项为 T37 x2或 T47 x.四、探究与拓展14若( x2 m)9 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a9(x1) 9，且( a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)23 9，则实数 m_.考点 展开式中系数的和问题题点 多项展开式中系数的和问题答案 3 或 1解析 在( x2 m)9 a0 a1(x1) a2(x1) 2 a9(x1) 9中，令 x2，可得 a0 a1 a2 a3 a8 a9 m9，即( a0 a2 a8)( a1 a3 a9) m9，令 x0，可得( a0 a2 a8)( a1 a3 a9)(2 m
20、)9.( a0 a2 a8)2( a1 a3 a9)23 9，( a0 a2 a8)( a1 a3 a9)(a0 a2 a8)( a1 a3 a9)3 9，(2 m)9m9(2 m m2)93 9，可得 2m m23，解得 m1 或3.15已知(1 m )n(m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为 256，展开式中含有 x 项的系x数为 112.(1)求 m， n 的值；(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；(3)求(1 m )n(1 x)的展开式中含 x2项的系数x考点 二项展开式中的特定项问题题点 求多项展开式中特定项的系数解 (1)由题意可得 2n256，解得 n8，展开式的通项为 Tk1 C mk 2x，k8含 x 项的系数为 C m2112，28解得 m2 或 m2(舍去)故 m， n 的值分别为 2,8.(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为 C C C C 2 81 128.18 38 58 78(3)(12 )8(1 x)(12 )8 x(12 )8，x x x13含 x2项的系数为 C 24C 221 008.48 28
