1、12.3.1 离散型随机变量的均值学习目标 1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值.2.理解离散型随机变量均值的性质.3.掌握两点分布、二项分布的均值.4.会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题知识点一 离散型随机变量的均值设有 12 个西瓜，其中 4 个重 5 kg,3 个重 6 kg,5 个重 7 kg.思考 1 任取 1 个西瓜，用 X 表示这个西瓜的重量，试问 X 可以取哪些值？答案 X5,6,7.思考 2 X 取上述值时，对应的概率分别是多少？答案 P(X5) ， P(X6) ， P(X7) .412 13 3
2、12 14 512思考 3 如何求每个西瓜的平均重量？答案 5 6 7 .54 63 7512 13 14 512 7312梳理 (1)离散型随机变量的均值若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn则称 E(X) x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)均值的性质若 Y aX b，其中 a， b 为常数， X 是随机变量， Y 也是随机变量； E(aX b) aE(X) b.知识点二 两点分布、二项分布的均值1两点分布：若 X 服从两点分布，则 E(X) p.2二项分布：若 X
3、B(n， p)，则 E(X) np.1随机变量 X 的均值 E(X)是个变量，其随 X 的变化而变化( )22随机变量的均值与样本的平均值相同( )3若随机变量 X 的均值 E(X)2，则 E(2X)4.( )类型一 离散型随机变量的均值命 题 角 度 1 利 用 定 义 求 随 机 变 量 的 均 值例 1 袋中有 4 个红球，3 个白球，从袋中随机取出 4 个球设取出一个红球得 2 分，取出一个白球得 1 分，试求得分 X 的均值考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算解 X 的所有可能取值为 5,6,7,8.X5 时，表示取出 1 个红球 3 个白球，此时 P
4、(X5) ；C14C3C47 435X6 时，表示取出 2 个红球 2 个白球，此时 P(X6) ；C24C23C47 1835X7 时，表示取出 3 个红球 1 个白球，此时 P(X7) ；C34C13C47 1235X8 时，表示取出 4 个红球，此时 P(X8) .C4C47 135所以 X 的分布列为X 5 6 7 8P 435 1835 1235 135所以 E(X)5 6 7 8 .435 1835 1235 135 447反思与感悟 求随机变量 X 的均值的方法和步骤(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 所有可能的取值(2)求出 X 取每个值的概率 P(X k)(3)写出 X
5、 的分布列(4)利用均值的定义求 E(X)跟踪训练 1 现有一个项目，对该项目每投资 10 万元，一年后利润是 1.2 万元，1.18 万元，1.17 万元的概率分别为 ，随机变量 X 表示对此项目投资 10 万元一年后的利润，则 X1612133的均值为( )A1.18 B3.55C1.23 D2.38考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 因为 X 的所有可能取值为 1.2,1.18,1.17，P(X1.2) ， P(X1.18) ， P(X1.17) ，16 12 13所以 X 的分布列为X 1.2 1.18 1.17P 16 12 13所以 E
6、(X)1.2 1.18 1.17 1.18.16 12 13命 题 角 度 2 两 点 分 布 、 二 项 分 布 的 均 值例 2 (1)设 X B(40， p)，且 E(X)16，则 p 等于( )A0.1 B0.2C0.3 D0.4(2)一次单元测试由 20 个选择题组成，每个选择题有 4 个选项，其中仅有 1 个选项正确，每题选对得 5 分，不选或选错不得分一学生选对任意一题的概率为 0.9，则该学生在这次测试中成绩的均值为_考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 (1)D (2)90解析 (1) E(X)16，40 p16， p0.4.故选 D.(2)设该学生在这次测
7、试中选对的题数为 X，该学生在这次测试中成绩为 Y，则 X B(20,0.9)，Y5 X.由二项分布的均值公式得 E(X)200.918.由随机变量均值的性质得 E(Y) E(5X)51890.反思与感悟 (1)常见的两种分布的均值设 p 为一次试验中成功的概率，则4两点分布 E(X) p；二项分布 E(X) np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度(2)两点分布与二项分布辨析相同点：一次试验中要么发生要么不发生不同点：a随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为 0,1，二项分布中随机变量的取值X0,1,2， n.b试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行 n
8、次试验跟踪训练 2 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.3，设各车主购买保险相互独立(1)求该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率；(2)X 表示该地的 100 位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求 X 的均值考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值解 设该车主购买乙种保险的概率为 p，由题意知 p(10.5)0.3，解得 p0.6.(1)设所求概率为 P1，则 P11(10.5)(10.6)0.8.故该地 1 位车主至少购买甲、乙两种保险中的 1 种的概率为 0.8.(2)每位车主甲、乙两种保险
9、都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2. X B(100,0.2)， E(X)1000.220. X 的均值是 20.类型二 离散型随机变量均值的性质例 3 已知随机变量 X 的分布列为：X 2 1 0 1 2P 14 13 15 m 120若 Y2 X，则 E(Y)_.考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 1715解析 由随机变量分布列的性质，得5 m 1，解得 m ，14 13 15 120 16 E(X)(2) (1) 0 1 2 .14 13 15 16 120 1730由 Y2 X，得 E(Y)2 E(X)，即 E(Y)2 .(1730)
10、1715引申探究本例条件不变，若 aX3，且 E( ) ，求 a 的值112解 E( ) E(aX3) aE(X)3 a3 ，1730 112所以 a15.反思与感悟 若给出的随机变量 与 X 的关系为 aX b， a， b 为常数一般思路是先求出 E(X)，再利用公式 E(aX b) aE(X) b 求 E( )也可以利用 X 的分布列得到 的分布列，关键由 X 的取值计算 的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 E( )跟踪训练 3 已知随机变量 和 ，其中 12 7，且 E( )34，若 的分布列如下表，则 m 的值为( ) 1 2 3 4P 14 m n 112A. B. C. D.1
11、3 14 16 18考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 A解析 因为 12 7，则 E( )12 E( )7，即 E( )12 734.(114 2m 3n 4112)所以 2m3 n ，53又 m n 1，14 112所以 m n ，236由可解得 m .131已知离散型随机变量 X 的分布列为X 1 2 3P 35 310 110则 X 的均值 E(X)等于( )A. B232C. D352考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 E(X)1 2 3 .35 310 110 322抛掷一枚硬币，规定正面向上得 1
12、 分，反面向上得1 分，则得分 X 的均值为( )A0 B. C1 D112考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 因为 P(X1) ， P(X1) ，12 12所以由均值的定义得 E(X)1 (1) 0.12 123若 p 为非负实数，随机变量 的分布列为 0 1 2P p12p12则 E( )的最大值为( )7A1 B. C. D232 23考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 B解析 由 p0， p0，得 0 p ，则 E( ) p1 .故选 B.12 12 324若随机变量 B(n,0.6)，且 E( )3，
13、则 P( 1)的值是( )A20.4 4 B20.4 5C30.4 4 D30.6 4考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 C解析 因为 B(n,0.6)，所以 E( ) n0.6，故有 0.6n3，解得 n5.则 P( 1)C 0.60.4430.4 4.155袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n(n1,2,3,4)个现从袋中任取一球， 表示所取球的标号(1)求 的分布列、均值；(2)若 a 4， E( )1，求 a 的值考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量均值与其他知识点的综合解 (1) 的分布列为 0 1 2
14、 3 4P 12 120 110 320 15 的均值 E( )0 1 2 3 4 .12 120 110 320 15 32(2)E( ) aE( )41，又 E( ) ，32则 a 41， a2.321求离散型随机变量均值的步骤：(1)确定离散型随机变量 X 的取值；8(2)写出分布列，并检查分布列的正确与否；(3)根据公式写出均值2若 X， Y 是两个随机变量，且 Y aX b，则 E(Y) aE(X) b；如果一个随机变量服从两点分布或二项分布，可直接利用公式计算均值一、选择题1设 15 000 件产品中有 1 000 件废品，从中抽取 150 件进行检查，则查得废品数 X 的均值为(
15、 )A20 B10 C5 D15考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 B解析 废品率为 ，所以 E(X)150 10.115 1152随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数 的均值是( )A0.6 B1 C3.5 D2考点 题点 答案 C解析 抛掷骰子所得点数 的分布列为 1 2 3 4 5 6P 16 16 16 16 16 16 E( )1 2 3 4 5 6 3.5.16 16 16 16 16 163离散型随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4， P(X k) ak b(k1,2,3,4)， E(X)3，则a b 等于( )A10 B5C. D.15
16、110考点 离散型随机变量的均值的性质9题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 D解析 易知 E(X)1( a b)2(2 a b)3(3 a b)4(4 a b)3，即 30a10 b3.又( a b)(2 a b)(3 a b)(4 a b)1，即 10a4 b1，由，得 a ， b0.1104设 的分布列为 1 2 3 4P 16 16 13 13又设 2 5，则 E( )等于( )A. B. C. D.76 176 173 323考点 离散型随机变量的均值的性质题点 离散型随机变量的均值性质的应用答案 D解析 E( )1 2 3 4 ，16 16 13 13 176E( ) E(2
17、5)2 E( )52 5 .176 3235一个课外兴趣小组共有 5 名成员，其中 3 名女性成员，2 名男性成员，现从中随机选取2 名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为 X，则 X 的均值是( )A. B.65 310C. D.45 15考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 A解析 由题意得， P(X0) ，C2C25 110P(X1) ， P(X2) .C12C13C25 610 35 C23C25 310 E(X)0 1 2 ，故 A 正确110 35 310 65106同时抛掷 5 枚均匀的硬币 80 次，设 5 枚硬币正好出现 2 枚正面向上
18、，3 枚反面向上的次数为 X，则 X 的均值是( )A20 B30 C25 D40考点 离散型随机变量均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 C解析 抛掷一次正好出现 3 枚反面向上，2 枚正面向上的概率为 ，所以C2525 516X B ，故 E(X)80 25.(80，516) 5167今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为 X，则 E(X)等于( )A0.765 B1.75C1.765 D0.22考点 离散型随机变量的均值的概念与计算题点 离散型随机变量均值的计算答案 B解析 P(X0)(10.9)(10.
19、85)0.10.150.015，P(X1)0.9(10.85)0.85(10.9)0.22，P(X2)0.90.850.765. E(X)00.01510.2220.7651.75.8在某校篮球队的首轮选拔测试中，参加测试的 5 名同学的投篮命中率分别为 ，3512233413每人均有 10 次投篮机会，至少投中 6 次才能晋级下一轮测试假设每人每次投篮相互独立，则晋级下一轮的大约有( )A1 人 B2 人C3 人 D4 人考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 C解析 5 名同学投篮各 10 次，相当于各做了 10 次独立重复试验，他们投中的次数服从二项分布，则他们投中的均值分别为 10 6,10 6,10 6,10 E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值较大
