1、1第二章 随机变量及其分布滚动训练四(2.12.4)一、选择题110 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是( )A取到产品的件数B取到正品的概率C取到次品的件数D取到次品的概率考点 随机变量及离散型随机变量的概念题点 随机变量的概念答案 C解析 A 中取到产品的件数是一个常量而不是变量，B，D 中的量也是一个定值，而 C 中取到次品的件数可能是 0,1,2，是随机变量2设随机变量 服从正态分布 N(3,16)，若 P( c2) P( c2) P( 0， a 与 b 同号，b2a ba 的取值为 0,1,2， P( 0) ， P( 1) ， P( 2) ，632 32 1
2、3 818 49 418 29 的分布列为 0 1 2P 13 49 29 E( )0 1 2 .13 49 29 89二、填空题9在一次三人象棋对抗赛中，甲胜乙的概率为 0.4，乙胜丙的概率为 0.5，丙胜甲的概率为0.6，比赛顺序如下：第一局，甲对乙；第二局，第一局胜者对丙；第三局，第二局胜者对5第一局败者；第四局，第三局胜者对第二局败者则乙连胜四局的概率为_考点 相互独立事件的性质及应用题点 独立事件与互斥事件的综合应用答案 0.09解析 乙连胜四局，即乙先胜甲，然后胜丙，接着再胜甲，最后再胜丙，所求概率为P(10.4)0.5(10.4)0.50.09.10一道数学难题，在半小时内，甲能
3、解决的概率是 ，乙能解决的概率是 ，两人试图独立12 13地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率是_，问题得到解决的概率是_考点 相互独立事件同时发生的概率计算题点 求两个相互独立事件同时发生的概率答案 13 23解析 设“甲解决这道难题”为事件 A， “乙解决这道难题”为事件 B，则 A， B 相互独立所以两人都未解决的概率为 P( ) .AB (112) (1 13) 13问题得到解决的概率为 P(A ) P( B) P(AB)1 P( )1 .B A AB13 2311某人参加驾照考试，共考 6 个科目，假设他通过各科考试的事件是相互独立的，并且概率都是 p.若此人未能通过的科目数 的
4、均值是 2，则 p_.考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 23解析 因为通过各科考试的概率为 p，所以不能通过考试的概率为 1 p，易知 B(6,1 p)，又 E( )6(1 p)2，解得 p .23三、解答题12篮球运动员比赛投篮，命中得 1 分，不中得 0 分，已知甲运动员投篮命中的概率为 p，且各次投篮互不影响(1)若投篮 1 次的得分记为 X，求方差 D(X)的最大值；(2)当(1)中 D(X)取最大值时，求甲运动员投篮 5 次得 4 分的概率考点 三种常用分布的方差题点 二项分布的方差解 (1)依题意，得 X 的分布列为6X 0 1P 1 p p E(X)0(1
5、p)1 p p，D(X)(0 p)2(1 p)(1 p)2p 2 ，(p12) 14当 p 时， D(X)取得最大值，且最大值为 .12 14(2)由(1)可知 p .记投篮 5 次的得分为 Y，则 Y B ，那么 P(Y4)C 4 12 (5， 12) 45 (12) 12，532则甲运动员投篮 5 次得 4 分的概率为 .53213某产品有 4 件正品和 2 件次品混在了一起，现要把这 2 件次品找出来，为此每次随机抽取 1 件进行测试，测试后不放回，直至次品全部被找出为止(1)求“第 1 次和第 2 次都抽到次品”的概率；(2)设所要测试的次数为随机变量 X，求 X 的分布列和均值考点
6、常见的几种均值题点 与排列、组合有关的随机变量的均值解 (1)设“第 1 次和第 2 次都抽到次品”为事件 A，则 P(A) .A2A26 115(2)X 的所有可能取值为 2,3,4,5.P(X2) ， P(X3) ， P(X4) ， P(X5) 115 C12C14A2A36 215 A4A46 C12C24A3A46 415 C12C34A4A56 .C34C12A4A56 815X 的分布列为X 2 3 4 5P 115 215 415 815因此， E(X)2 3 4 5 .115 215 415 815 6415四、探究与拓展14如图所示，用 A， B， C， D 表示四类不同的元
7、件连接成系统 M.当元件 A， B 至少有一个正常工作且元件 C， D 至少有一个正常工作时，系统 M 正常工作已知元件 A， B， C， D 正常7工作的概率依次为 0.5,0.6,0.7,0.8.则元件连接成的系统 M 正常工作的概率 P(M)等于( )A0.752 B0.988C0.168 D0.832考点 相互独立事件的性质及应用题点 相互独立事件性质的应用答案 A解析 P(M)1 P( )1 P( )0.752.AB CD15一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20
8、 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立12(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比分数没有增加反而减少了请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因考点 离散型随机变量的均值的性质题点 均值在实际中的应用解 (1) X 可能的取值为 10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C 1 2 ，13 (12) (1 12) 38P(X20)C 2 1 ，23 (12
9、) (1 12) 38P(X100)C 3 0 ，3 (12) (1 12) 18P(X200)C 0 3 .03 (12) (1 12) 18所以 X 的分布列为X 10 20 100 200P 38 38 18 188(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1) P(A2) P(A3) P(X200) .18所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1 P(A1A2A3)1 31 .(18) 1512 511512因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 .511512(3)X 的均值为E(X)10 20 100 200 .38 38 18 18 54这表明，获得分数 X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大
