1、13.2 解一元一次方程(一)合并同类项与移项情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣复习导入 问题 1：上节课我们学习了利用等式的基本性质解方程，哪位同学能叙述一下等式的基本性质呢？问题 2：上周在我校举办了全市的数学优质课评选，共有 50 名教师听课，已知男教师比女教师的 4 倍少 5 人，请问听课的教师中有多少名男教师，多少名女教师？(要求：只列方程)说明与建议 说明：此环节为本节课新知的学习做好铺垫，体会等式的基本性质在解方程的过程中的作用同时让学生体会到数学来源于生活，激发学生探究新知的兴趣建议：学生叙述等式的基本性质要准确，问题 2 可引导学生发散思维，一题多解置
2、疑导入 通过上节课的学习，同学们知道：可以利用等式的基本性质解方程，比如：5x28.方程两边同时加上 2，得 5x2282.也就是 5x10.方程两边同时除以 5，得 x2.此种解法过程比较繁琐，还有没有更加简便的方法呢？说明与建议 说明：本环节既回顾了上节所学：等式的基本性质及解方程，又引出了新的问题，为下面的学习设置了疑问，激发学生的学习兴趣建议：此方程可由学生独立完成，回顾上节课解题过程，让学生总结此种方法的不便之处，教师适时提出问题，引出新课教材母题教材第 89 页例 3解下列方程：(1)3x7322x；(2)x3 1.32【模型建立】利用合并同类项与移项解一元一次方程，要注意以下几点
3、：(1)移项时，从方程的一边移到另一边的项要变号(2)方程中的项包括它前面的符号(3)不要把移项和加法交换律混淆(4)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含未知数的项放在等号的右边【变式变形】1下列变形符合移项法则的是( C)A由 53x2，得 3x252B由10x52x，得10x2x5C由 7x94x1，得 7x4x19D由 5x29，得 5x922一元一次方程 t3 t 化为 ta 的形式为_t6_123当 k_12_时，方程 5xk3x8 的解是 x2.4如果 5a3bm 与 a3b6m7 是同类项，那么 m 的值为( D )A1 B2C2 D15解方程：(1)9x4x8
4、x37； (2)3x48x； (3)3m19m； (4)0.6x4.13.91.4x.答案：(1)x 2 (2)x3 (3)m4 (4)x4命题角度 1 用合并同类项解一元一次方程用合并同类项法解一元一次方程的步骤：(1)合并同类项；(2)系数化为 1.如素材二变式变形第 5(1)题命题角度 2 用合并同类项与移项解一元一次方程利用合并同类项与移项解一元一次方程，要注意以下几点：(1)移项时，从方程的一边移到另一边的项要变号(2)方程中的项包括它前面的符号(3)不要把移项和加法交换律混淆(4)在解方程时，习惯上把含有未知数的项放在等号的左边，不含未知数的项放在等号的右边如素材二变式变形第 5(
5、2)(3)(4)题命题角度 3 利用一元一次方程解决和差倍分问题解这类题的关键是根据题意找出题目中的和差倍分的等量关系增长量原有量增长率注意：要恰当地设未知数，这样可以简化运算题目中等量关系可能不止一个，有时会有多个，要根据具体情况恰当地选择等量关系解完方程后要检验，避免出现不符合实际的答案例 如果甲、乙、丙三个村合修一条水渠，计划出工 60 人，甲村出工人数是乙村出工人数的 ，丙村出工人数是乙村出工人数的 2 倍，求乙村出工人数13解：设乙村出工人数为 x，则甲村出工人数为 x，丙村出工人数为 2x.13根据题意，得 x x2x60.合并同类项，得 x60.系数化为 1，得 x18.13 1
6、03答：乙村出工的人数为 18.命题角度 4 利用一元一次方程解决盈亏问题盈亏问题的等量关系：(1)“盈”是分配中的多余情况，“亏”是分配中的缺少情况；(2)一般会给出两个条件：什么情况下会“盈”，盈多少？什么情况下会“亏”，亏多少？这两个条件都可以用来列式子，然后利 用相等关系列方程例 某小组计划做一批“中国结”，如果每人做 5 个，那么比计划多做了 9 个；如果每人做 4 个，那么比计划少做了 15 个小组成员共有多少名？解：设小组成员共有 x 名，由题意，得 5x94x15.3移项，得 5x4x159.合并同类项，得 x24.答：小组成员共有 24 名命题角度 5 利用一元一次方程解决比
7、例分配问题甲乙丙abc，设其中一份为 x，由已知部分量在总量中的比例，可得表示各部分份量的式子，相等关系：各部分量之和总量例 已知 abc234，abc27，求 a2b2c 的值解：因为 abc234，所以设 a2m，b3m，c4m.代入 abc27，得 2m3m4m27，即 9m27，所以 m3.所以 a6，b9，c12.所以 a2b2c62921236.命题角度 6 利用一元一次方程解决日历问题日历中的相等关系：(1)日历中同一行中相邻的两数相差 1，同一列中相邻的两数相差 7.(2)用字母表示相邻三个数时，有多种表示方法，一般设中间一个数为 a，利用相反数的性质，能使计算过程简便例 利川
8、校级一模 图 322 是 2014 年 6 月的日历表，在日历表上可以用一个方框圈出 33 个位置相邻的数(如 11，12，13，18，19，20，25，26，27)，若圈出的 9 个数的和为 99，则方框中心的数为( A )图 322A11 B12 C16 D18P88 练习1解下列方程：(1)5x2 x9； (2) 7；x2 3x2(3)3 x0.5 x10；(4)7x4.5 x2.535.答案 (1) x3；(2) x3.5；(3) x4；(4) x1.2某工厂的产值连续增长，去年是前年的 1.5 倍，今年是去年的 2 倍，这三年的总产值为 550 万元前年的产值是多少？解：设前年的产值
9、是 x 万元，根据题意，得x1.5 x1.5 x2550.x1.5 x3 x550.合并同类项得 5.5x550.系数化为 1.得 x100.答：前年的产值是 100 元4P90 练习1解下列方程：(1)6x74 x5； (2) x6 x.12 34答案 (1) x1；(2) x24.2王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘 8 kg，李丽平均每小时采摘 7 kg.采摘结束后王芳从她采摘的樱桃中取出 0.25 kg 给了李丽，这时两人的樱桃一样多她们采摘用了多少时间？解：设她们采摘用了 x 小时，根据题意，得 8x0.257 x0.25.8x7 x0.250.25.x0.5.答：他们采摘用
10、了 0.5 小时P91 习题 3.2复习巩固1解下列方程：(1)2x3 x4 x18；(2)13x15 x x3；(3)2.5y10 y6 y1521.5；(4) b b b 61.12 23 23答案 (1) x2；(2) x3；(3) y1；(4) b3.6.2举例说明解方程时怎样“移项”，你知道这样做的根据吗？答案 例如解方程 5x32 x，把 2x 改变符号后移到方程左边，同时 3 改变符号移到方程右边，即 5x2 x3.移项的根据是等式的基本性质3解下列方程：(1)x3 x16；(2)16y2.5 y7.5 y5；(3)3x54 x1；(4)93 y5 y5.答案 (1) x4；(2
11、) y ；(3) x4；(4) y .56 124用方程解答下列问题：(1)x 的 5 倍与 2 的和等于 x 的 3 倍与 4 的差，求 x；(2)y 与5 的积等于 y 与 5 的和，求 y.答案 (1) x3；(2) y .565小新出生时父亲 28 岁，现在父亲的年龄是小新年龄的 3 倍，求现在小新的年龄解：设小新现在的年龄是 x 岁，根据题意，得3x x28；合并同类项，得 2x28.系数化为 1，得 x14.答：现在小新的年龄是 14 岁6洗衣机厂今年计划生产洗衣机 25 500 台，其中型、型、型三种洗衣机的数量比为 1214，计划生产这三种洗衣机各多少台？答案 型，型 ，型各
12、1500 台，3000 台，21 000 台57用一根长 60 m 的绳子围出一个长方形，使它的长是宽的 1.5 倍，长和宽各应是多少？答案 长 18 m，宽 12 m.综合运用8随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广喷灌和滴灌是比漫灌节水的灌溉方式灌溉三块同样大的实验田，第一块用漫灌方式，第二块用喷灌方式，第三块用滴灌方式后两种方式用水量分别是漫灌的 25%和 15%.(1)设第一块实验田用水 x t，则另两块实验田的用水量各如何表示？(2)如果三块实验田共用水 420 t，每块实验田各用水多少吨？解：(1)设第一块实验田用水 x t，第二块实验田的用水量为 0.25x t，第三块实验
13、田用水 0.15x t；(2)根据题意，得x0.25 x0.15 x420，14 x420， x300.3000.2575(t)，3000.1545(t)答：三块实验田用水各 300 t，75 t，45 t.9某造纸厂为节约木材，大力扩大再生纸的生产它去年 10 月生产再生纸 2050 t，这比它前年 10 月再生纸产量的 2 倍还多 150 t它前年 10 月生产再生纸多少吨？答案 950 吨10把一根长 100 cm 的木棍锯成两段，要使其中一段长比另一段长的 2 倍少 5 cm，应该在木棍的哪个位置锯开？答案 35 cm 处11几个人共同种一批树苗，如果每人种 10 棵，则剩下 6 棵树
14、苗未种；如果每人种 12棵，则缺 6 棵树苗求参与种树的人数答案 6 人拓广探索12在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期数之和能否为 30？如果能，这三个数分别是多少？答案 3，10，17.13一个两位数的个位上的数的 3 倍加 1 是十位上的数，个位上的数与十位上的数的和等于 9，这个两位数是多少？答案 72.当堂检测第 1 课时 用合并同类项解一元一次方程1下面由（1）到（2）的变形是合并同类项的是（ ）A.（1）3x-2=6,（2）3x=8 B.（1）-12x=8 ,（2）x=- 32C.（1）2x4x 3x = 6 ,（2）-5x = 6 D.（1）2(3x+2) =4x,（
15、2）6x+4 =4x2.下面变形正确的是（ ）A. 由 3x- x +4x= 8 得：3+4x=8 6B. 由 2x 4x x = 8+2 得：-3x =10 C. 由 6x-3x = 5 得： -3x = 5 D. 13x +2x -8x = -3 -5 得：7x = -23. 方程 4x-m=3 的解是 x=m,则：m 的值是（ ）Am=-1 Bm=1 Cm=-2 Dm=24. 小悦买书需用 48 元钱，付款时恰好用了 1 元和 5 元的纸币共 12 张设所用的 1 元纸币为 x 张，根据题意，请你能帮小悦列出方程为_（不需要求解）. 5. 用合并同类项解方程：（1）4x7x=4+23;
16、(2)4x -2.5x +5x1.5x=-8-7.参考答案：1. C 2. B 3. B 4. x+5（12-x）=48 ; 5. 解：（1）-3x=10,x= ;310(2)5x=-15,x= -3 .第 2 课时 用移项、合并同类项 解一元一次方程1列变形中属于移项的是（ ）A由 5x7y2，得2=7y5x B由 6x3x4，得 6x34x C由 8xx5，得xx58 D由 x93x1，得 3x1x92. 在解方程 3x+5=-2x-1 的过程中，移项正确的是（ ）CA3x-2x=-1+5 B-3x-2x=5-1 C3x+2x= -1-5 D-3x-2x=-1-53. 请把下列解方程：5x
17、-2=7x+8 的过程补完整解：移项得：5x-7x =_合并同类项得：_=10系数化为一得：x =_4. 练习本比水性笔的单价少 2 元，小刚买了 5 本练习本和 3 支水性笔正好用去 14 元如果设水性笔的单价为 x 元，那么由题意列方程是_ .5. 解方程：（1）3x+3-4=6x+1 ; （2）12x-4-3x+3=12x+17.参考答案：1. C ；2. C ； 73. 8+2 -2x -5 4. 5（x-2）+3x=14 5.（1）x =- 32（2）x = -6 能力培优专题一 利用合并同类项与移项解方程1.解下列方程（1） ； （2） 284x324x2. 已知方程 4x2 m3
18、 x1 和方程 3x2 m6 x1 的解相同，求这个相同的解3.规定新运算符号*的运算过程为 ,则求：ba*（1）求 5*(5)；（2）解方程 2*(2* )1* .4.关于 x 的方程 kx+2=4x+5 有正整数解，求满足条件的 k 的正整数值4k专题二 列方程解和、差、倍分问题5.小明编了这样一道题：我是四月出生的，我的年龄的 2 倍加上 8，正好是我出生那一月的总天数，那么你认为小明是几岁 （ ）A.18 岁 B.11 岁 C.19 岁 D.21 岁6.某会议厅主席台上方有一个长 12.8m 的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上但会议
19、名称不同，字数一般每次都多少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字宽：字距=9：6：2，如图所示根据这个规定，求会议名称的字数为 18 时，边空、字宽、字距各是多少？7.（2012长沙）以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于 2012 年 5 月20 日在湖南长沙圆满落幕，作为 东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共 348 个，其中境外投资合作项目个数的 2 倍比省外境内投资合作项目多 51 个.(1)求湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有多少个？(2)若境外、省外境内投资合作项目平均每个项目引进资金分别为 6 亿
20、元，7.5 亿元，求在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金多少亿元？ 专题三 列方程解盈余不足问题88.（2012铜仁） 铜仁市对城区主干道进行绿化，计划把某一段公路的一侧全部栽上桂花树，要求路的两端各栽一棵，并且每两棵树的间隔相等如果每隔 5 米栽 1 棵，则树苗缺21 棵；如果每隔 6 米栽 1 棵，则树苗正好用完设原有树苗 x 棵，则根据题意列出方程正确的是（ ）A5（ x+211）=6（ x1） B.5（ x+21）=6（ x1）C. 5（ x+211）=6 x D. 5（ x+21）=6 x9.在“读书月”活动中，学校把一些图书分给某班学生阅读，若每个人分 3 本，则剩余 20本
21、；若每个人分 4 本，则还缺少 25 本.这个班有多少名学生？ 10.某学校组织学生春游，如果租用若干辆 45 座的客车，则有 15 个人没有座位，如果租用同数量的 60 座的客车，则多出 1 辆，其余车恰好坐满，已知租用 45 座的客车日租金为每辆车 250 元，60 座的客车日租金为 300 元，问租用哪种客车更合算，租几辆车？专题四 日历中的方程11.如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个长方形圈出 33 个位置相邻的 9 个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）若圈出的 9 个数的和为 144，那么最小的一个数为（ ）A7 B8 C9 D1012 日历表中，任意圈出
22、的同一竖列上相邻的个数的和能否是？如果能，请求出这三个数，如果不能，请说明理由？13.日历表中，小亮圈出同一竖列上相邻的 4 个数的和是 50，这四天分别是几号？知识要点：1.把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.2.移项的目标：将方程中的所有含未知数的项都集中到方程的左边，常数项都集中到方程的右边，便于合并同类项3.移项的理论依据：移项相当于利用等式性质 1，方程两边同时加上或减少同一个数或式4.“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的相等关系，常用来列方程.方法技巧：1.两个方程同解问题解题思路：如果两个方程中只有一个方程含有参数，那么我们先求出不含参数的方程的解，然后将方程
23、的解代入另一个方程得到一个关于参数的方程，从而求出参数的值；如果两个方程都含有参数，那么我们将参数看作已知数，分别 解出这两个方程，然后根据两个解相等，列出一个关于参数的方程，从而求出参数的值2.日历中同一竖列上相邻的两个日期之间相差 7 天；日历中同一横行上相邻的两个日期之间相差 1 天；日历中 22 个数之间交叉相加和相等.3.盈余不足问题常常利用 “表示同一个量的两个不同的式子相等”来列方程.4.新定义运算的题目只要将新定义的符号按照题目指明的运算进行就 ok，其他的运算不变.9答案:1. 解：（1） ,284x移项，得： ,1合并同类项，得： ,12系数化为 1，得： x3.（2） ,
24、34x移项，得： ,23x合并同类项，得： ,15系数化为 1，得： x60.2. 解：4 x2 m3 x1 的解为： x12 m,3x2 m6 x1 的解为： x ,3所以 12 m , 解得 m ,32把 m 代入 x12 m，得 x03. 解析：（1）5*(5) ；15()4235（2）因为 2* ，所以 2*（ ） ，1* .x3x1()4x134x所以 ,解得： .()4x584. 解析：移项，得 kx4 x=5-2,合并同类项，得（ k4） x=3,因为 k-40，所以系数化为 1，得 .3因为 为正整数，所以 k-4=1 或者 k-4=3.解得 . 3 75和5. B 解析：设小
25、明 x 岁，由题意得 2x+8=30, 解得 x=11.6. 解析：设边空、字宽、字距分别为 9x（cm） 、 6x（ cm） 、 2x（cm），则：9x2+6x18+2x（ 181）=1280,解得： x=8答：边空为 72cm，字宽为 48cm，字距为 16cm7. 解析：（1）设湖南省签订的境外投资合作项目有 x个，那么省外境内投资合作项目（ 52）个，由题意得： 348x,解得 13x， 52=215;（2）2157.5+1336=2410.5(亿元).10答：（1）湖南省签订的境外、省外境内的投资合作项目分别有 133 个、215 个.（2）在这次“中博会”中，东道主湖南省共引进资金
26、 2410.5 亿元.8.A 解析：如果每隔 5 米栽 1 棵，则树苗缺 21 棵，故道路长为 5（ x+211）；如果每隔6 米栽 1 棵，则树苗正好用完，故道路长为 6（ x1）.因路长相等，所以 5（ x+211）=6（ x1）.9. 解析：设这个班有 名学生，由题意得 , x3204解得 , 答：这个班有 名学生. 454510. 解析：设租 45 座的客车 x 辆，根据题意得：45x+15=60（x-1）,解得：x=5,所以租 45 座的客车的租金应为：250（5+1）=1500（元）,租 60 座的客车的租金应为：300（5-1）=1200（元）,所以租用 60座的客车更合算，租
27、4 辆11.B 解析：根据图可以得出，圈出的 9 个数中最大数与最小数的差为 16，设最中间一个数为 x，则其他各数为 x1，x7，x8，x6.这 9 个数的和为 9x,由题意得 9x=144,所以x=16,所以最小的数是 168=8.12. 解：设圈出的三个数中中间日期为 x 号，由题意得：（x-7）+x+（x+7）=21.解得 x=7,x-7=7-7=0，x+7=7+7=14.因为日历中最小日期为 0 号，所以不符合题意，不存在这样的情况.答：不可能存在三天日期和为 21 的情况.13. 解：设从前面数第二个日期是 x 号，则另三个日期为（x-7）、（x+7）、（x+14）号，由题意得：（
28、x-7）+x+（x+7）+（x+14）=50,解得 x=9,x-7=9-7=2，x+7=9+7=16，x+14=9+14=23.答：这四天分别是 2 号，9 号，16 号，23 号.解一元一次方程的“八项注意”革命歌曲想必同学们都知道吧,尤其是”八项注意”可以说是耳熟能详了.那么在学习解一元一次方程时,为了避免同学们在解方程时发生错误,特提出以下八个注意点:第一,注意解方程的格式.解方程的每一步都必须是方程,因此同学们在初学时出现的“连等式”或“解原式=”这些解题格式均是错误的。第二，注意移项后变号。移项是依据方程变形 1（即方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变）进行方程同解
29、变形的。因此，移项时必须注意变号。第三，注意去分母时出现的“漏乘”现象。去分母是依据方程变形 2（即方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变）11对方程进行同解变形的。去分母变形就是：方程两边的各项均乘以最简公分母。初学时往往会漏乘不含分母的项（单个的数字或字母）。第四，注意去括号法则。去括号时应按照乘法分配律，将括号前的数连同符号与括号内的每一项相乘，初学时往往会将括号前的系数或符号漏乘括号中的某一项。第五，注意分数线的括号作用。分数线具有两层含义：其一是除号比号；其二可代表括号。因此，在去分 母时必须将分子用括号括起来。第六，注意不要把分子分母化为整数与方程两边同乘以一个不为零的数混为一谈。把分子，分母中的小数化为整数，只需用分数的基本性质而不涉及到 方程的同解变形。因此，切莫将方程的同解变形与分数的基本性质混为一谈。第七，注意不要生搬硬套解方程的一般步骤。学了一元一次方程的解法后，同学们往往囿于方程的解题步骤，其实我们可以根据方程的特点，选择灵活的方法。这样有利于提高我们综合运用各类知识的能力，有利于培养我们的创新意识和能力。第八，注意涉及字母系数的方程的解法。在解含有字母系数的一元一次方程时，要注意字母系数的限制条件，一定要周密思考，使解题完整准确。
