1、1专题突破练 22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018 山东烟台二模,理 20)已知圆 C:(x+1)2+y2=16,点 F(1,0),P 是圆上一动点,点 E 在线段 FP 上,点Q 在半径 CP 上,且满足 =2=0.(1)当 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹 的方程;(2)设过点 A(2,0)的直线 l 与轨迹 交于点 B(B 不在 x 轴上),垂直于 l 的直线交 l 于点 M,与 y 轴交于点 H,若 =0,求点 M 横坐标的取值范围 .22.(2018 河南六市联考一,理 20)已知抛物线 C:x2=2py(p0)的焦点为 F,过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点
2、A,B,当直线 l 的倾斜角是 45时, AB 的中垂线交 y 轴于点 Q(0,5).(1)求 p 的值;(2)以 AB 为直径的圆交 x 轴于点 M,N,记劣弧 MN 的长度为 S,当直线 l 绕 F 点旋转时,求的最大值 .33.已知椭圆 C:=1(a0)的焦点在 x 轴上,且椭圆 C 的焦距为 2.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)过点 R(4,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,过 P 作 PN x 轴且与椭圆 C 交于另一点 N,F 为椭圆 C 的右焦点,求证: N,F,Q 三点在同一条直线上 .4.(2018 全国卷 3,理 20)已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆
3、C:=1 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为M(1,m)(m0).(1)证明: k0)的直线交 E 于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA NA.(1)当 t=4,|AM|=|AN|时,求 AMN 的面积;(2)当 2|AM|=|AN|时,求 k 的取值范围 .566.(2018 山东潍坊一模,理 20)如图,椭圆 C:=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,左右顶点分别为 A,B,P为椭圆 C 上任一点(不与 A,B 重合) .已知 PF1F2的内切圆半径的最大值为 2-,椭圆 C 的离心率为 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)直线 l 过点 B 且垂直于 x 轴,延长 AP
4、 交 l 于点 N,以 BN 为直径的圆交 BP 于点 M,求证: O,M,N 三点共线 .7参考答案专题突破练 22 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.解 (1)由题意知,直线 EQ 为线段 FP 的垂直平分线,所以 |CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QF|=4|CF|=2.所以点 Q 的轨迹是以点 C,F 为焦点,焦距为 4,长轴为 4 的椭圆,所以 a=2,c=1,b=,故点 Q 的轨迹 的方程为 =1.(2)由题意直线 l 的斜率存在,设为 k,于是直线 l 的方程为 y=k(x-2)(k0),设 B(x1,y1),联立得(3 +4k2)x2-16k2x+16k2-12=0.
5、因为 A(x1,y1),由根与系数的关系得 2x1=,x 1=,y1=,8设 M 的横坐标为 x0,则 M(x0,k(x0-2),MH 所在直线方程为 y-k(x0-2)=-(x-x0),令 x=0,得 yH= k+ x0-2k,于是 =(1-x1,-y1)(1,-yH)=0,即 1-x1+y1yH=1- k+ x0-2k =0,整理得 x0=,k 20,(0,1),0)的焦点在 x 轴上, a 27-a2,即 a2, 椭圆 C 的焦距为 2,且 a2-b2=c2,a 2-(7-a2)=1,解得 a2=4, 椭圆 C 的标准方程为 =1.(2)证明 由题知直线 l 的斜率存在,设 l 的方程为
6、 y=k(x-4),点 P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x1,-y1),则得3x2+4k2(x-4)2=12,9即(3 +4k2)x2-32k2x+64k2-12=0, 0,x1+x2=,x1x2=,由题可得直线 QN 方程为 y+y1=(x-x1),y 1=k(x1-4),y2=k(x2-4), 直线 QN 方程为 y+k(x1-4)=(x-x1),令 y=0,整理得x=+x1=1,即直线 QN 过点(1,0),又椭圆 C 的右焦点坐标为 F(1,0),N ,F,Q 三点在同一条直线上 .4.解 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 =1,=1.两式相减,并由 =k 得
7、k=0.由题设知 =1,=m,于是 k=-由题设得 00.当 t=4 时, E 的方程为 =1,A(-2,0).由已知及椭圆的对称性知,直线 AM 的倾斜角为因此直线 AM 的方程为 y=x+2.将 x=y-2 代入 =1 得 7y2-12y=0.解得 y=0 或 y=,所以 y1=因此 AMN 的面积 S AMN=(2)由题意 t3,k0,A(-,0).将直线 AM 的方程 y=k(x+)代入 =1 得(3 +tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.由 x1(-)=得 x1=,故 |AM|=|x1+由题设,直线 AN 的方程为 y=-(x+),故同理可得 |AN|=由 2|AM|=|A
8、N|得,即( k3-2)t=3k(2k-1).当 k=时上式不成立,因此 t=t3 等价于=0,即 0.由此得解得 k2.因此 k 的取值范围是(,2) .116.解 (1)由题意知:,c=a ,又 b2=a2-c2,b=a ,设 PF1F2的内切圆半径为 r,则(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)r=(2a+2c)r=(a+c)r,故当 PF1F2面积最大时, r 最大,即 P 点位于椭圆短轴顶点时, r=2-, (a+c)(2-)=bc,把 c=a,b=a 代入,解得 a=2,b=, 椭圆方程为 =1.(2)由题意知,直线 AP 的斜率存在,设为 k,则所在直线方程为 y=k(x+2),联立消去 y,得(2 k2+1)x2+8k2x+8k2-4=0,则有 xP(-2)=,x P=,yP=k(xP+2)=,得 = ,又 N(2,4k),=(2,4k),则 =0,ON BP.而 M 在以 BN 为直径的圆上, MN BP,O ,M,N 三点共线 .
