1、1课时作业 16 圆锥曲线的综合问题12018全国卷设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过 F且斜率为 k(k0)的直线 l与 C交于 A， B两点，| AB|8.(1)求 l的方程；(2)求过点 A， B且与 C的准线相切的圆的方程解析：(1)解：由题意得 F(1,0)， l的方程为y k(x1)( k0)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20.16 k2160，故 x1 x2 .2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)或 k1.4k2 4k2因此
2、l的方程为 y x1.(2)解：由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216 或( x11) 2( y6) 2144.22018天津卷设椭圆 1( ab0)的右顶点为 A，上顶点为 B，已知椭圆的x2a2 y2b2离心率为 ，| AB| .53 13(1)求椭圆的方程(2)设直线 l： y kx(k0)与椭圆交于 P， Q两点， l与直线 AB交于点 M，且点 P， M均在第四象限若 BPM的面积是 BP
3、Q面积的 2倍，求 k的值解析：(1)解：设椭圆的焦距为 2c，由已知有 ，又由 a2 b2 c2，可得 2a3 b.c2a2 59又| AB| ，从而 a3， b2.a2 b2 13所以，椭圆的方程为 1.x29 y24(2)解：设点 P的坐标为( x1， y1)，点 M的坐标为( x2， y2)，由题意知， x2x10，点2Q的坐标为( x1， y1)由 BPM的面积是 BPQ面积的 2倍，可得| PM|2| PQ|，从而 x2 x12 x1( x1)，即 x25 x1.易知直线 AB的方程为 2x3 y6，由方程组Error!消去 y，可得 x2 .63k 2由方程组Error!消去 y
4、，可得 x1 .69k2 4由 x25 x1，可得 5(3 k2)，两边平方，整理得 18k225 k80，解得9k2 4k ，或 k .89 12当 k 时， x290， x20.由Error! 得 ky22 y4 k0，可知 y1 y2 ， y1y24.2k直线 BM， BN的斜率之和为 kBM kBN .y1x1 2 y2x2 2 x2y1 x1y2 2 y1 y2 x1 2 x2 2将 x1 2， x2 2 及 y1 y2， y1y2的表达式代入式分子，可得y1k y2k3x2y1 x1y22( y1 y2) 0.2y1y2 4k y1 y2k 8 8k所以 kBM kBN0，可知 B
5、M， BN的倾斜角互补，所以 ABM ABN.综上， ABM ABN.42018北京卷已知椭圆 M： 1( a b0)的离心率为 ，焦距为 2 .斜率x2a2 y2b2 63 2为 k的直线 l与椭圆 M有两个不同的交点 A， B.(1)求椭圆 M的方程；(2)若 k1，求| AB|的最大值；(3)设 P(2,0)，直线 PA与椭圆 M的另一个交点为 C，直线 PB与椭圆 M的另一个交点为 D，若 C， D和点 Q 共线，求 k.(74， 14)解析：(1)解：由题意得Error!解得 a ， b1.3所以椭圆 M的方程为 y21.x23(2)解：设直线 l的方程为 y x m， A(x1，
6、y1)， B(x2， y2)由Error! 得 4x26 mx3 m230，所以 x1 x2 ， x1x2 .3m2 3m2 34所以| AB| x2 x1 2 y2 y1 2 2 x2 x1 2 2 x1 x2 2 4x1x2 .12 3m22当 m0，即直线 l过原点时，| AB|最大，最大值为 .6(3)解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由题意得 x 13 y 13， x 23 y 23.2 2 2 2直线 PA的方程为 y (x2)y1x1 2由Error! 得(x12) 23 y 1x212 y 1x12 y 13( x12) 20.2 2 2设 C(xC， yC)，
7、所以 xC x1 . 12y2 1 x1 2 2 3y2 1 4x2 1 124x1 7所以 xC x1 .4x2 1 124x1 7 12 7x14x1 74所以 yC (xC2) .y1x1 2 y14x1 7设 D(xD， yD)，同理得 xD ， yD . 12 7x24x2 7 y24x2 7记直线 CQ， DQ的斜率分别为 kCQ， kDQ，则 kCQ kDQ y14x1 7 14 12 7x14x1 7 74y24x2 7 14 12 7x24x2 7 744( y1 y2 x1 x2)因为 C， D， Q三点共线，所以 kCQ kDQ0.故 y1 y2 x1 x2.所以直线 l
8、的斜率 k 1.y1 y2x1 x252018太原市高三年级模拟试题(一)已知椭圆 C： 1( a b0)的左、右x2a2 y2b2顶点分别为 A1， A2，右焦点为 F2(1,0)，点 B 在椭圆 C上(1，32)(1)求椭圆 C的方程；(2)若直线 l： y k(x4)( k0)与椭圆 C由左至右依次交于 M， N两点，已知直线A1M与 A2N相交于点 G，证明：点 G在定直线上，并求出定直线的方程解析：(1)由 F2(1,0)，知 c1，由题意得Error!所以 a2， b ，所以椭圆 C的方3程为 1.x24 y23(2)因为 y k(x4)，所以直线 l过定点(4,0)，由椭圆的对称
9、性知点 G在直线 x x0上当直线 l过椭圆 C的上顶点时， M(0， )，3所以直线 l的斜率 k ，由Error! 得Error!或Error!所以 N ，34 (85， 335)由(1)知 A1(2,0)， A2(2,0)，所以直线 lA1M的方程为 y (x2)，直线 lA2N的方程为 y (x2)，所以 G32 332，所以 G在直线 x 1上(1，332)当直线 l不过椭圆 C的上顶点时，设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，由Error!得 (34 k2)x232 k2x64 k2120，5所以 (32 k2)24(34 k2)(64k212)0，得 k ，12 12x1
10、 x2 ， x1x2 ，32k23 4k2 64k2 123 4k2易得直线 lA1M的方程为 y (x2)，直线 lA2N的方程为 y (x2)，当y1x1 2 y2x2 2x1 时， 得 2x1x25( x1 x2)80，3y1x1 2 y2x2 2所以 0 显然成立，所以 G在直线2 64k2 123 4k2 532k23 4k2 8 3 4k23 4k2x1 上62018南昌市 NCS0607项目第二次模拟已知平面直角坐标系内两定点A(2 ，0)， B(2 ，0)及动点 C(x， y)， ABC的两边 AC， BC所在直线的斜率之积为 .2 234(1)求动点 C的轨迹 E的方程；(2
11、)设 P是 y轴上的一点，若(1)中轨迹 E上存在两点 M， N使得 2 ，求以 AP为直MP PN 径的圆的面积的取值范围解析：(1)由已知， kACkBC ，即 ，34 yx 22 yx 22 34所以 3x24 y224，又三点构成三角形，所以 y0，所以点 C的轨迹 E的方程为 1( y0)x28 y26(2)设点 P的坐标为(0， t)当直线 MN的斜率不存在时，可得 M， N分别是短轴的两端点，得到 t .63当直线 MN的斜率存在时，设直线 MN的方程为 y kx t(k0)，M(x1， y1)， N(x2， y2)，则由 2 得 x12 x2. MP PN 联立得Error! 得(34 k2)x28 ktx4 t2240，当 0 得 64k2t24(34 k2)(4t224)0，整理得 t28 k26.所以 x1 x2 ， x1x2 ， 8kt3 4k2 4t2 243 4k2由，消去 x1， x2得 k2 . t2 612t2 8则Error! 解得 t26.236不妨取 M(2 ，0)，可求得 N ，此时 t ，由(1)知 y0，故2 (2， 322) 2t22.综上， t22 或 2 t26.23又以 AP为直径的圆的面积 S ，8 t24所以 S的取值范围是 .136， 52) (52， 72)
