1、16.3 圆锥曲线的综合问题【课时作业】A 级1已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 交抛物线于 M， N 两点，且|MF|2| NF|，则直线 l 的斜率为( )A B22 2C D22 24解析： 依题意得 F(1,0)设直线 MN 的方程为 x my1.由Error!消去 x 并整理，得y24 my40.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y1 y24 m， y1y24.因为| MF|2| NF|，所以 y12 y2.联立和，消去 y1， y2，得 m ，所以直线 l 的斜率是2 .故24 2选 B.答案： B2(2018全国卷)已知双曲线 C：
2、 y21， O 为坐标原点， F 为 C 的右焦点，过x23F 的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M， N.若 OMN 为直角三角形，则| MN|( )A. B332C2 D43解析： 由已知得双曲线的两条渐近线方程为 y x.13设两渐近线夹角为 2 ，则有 tan ，所以 30.13 33所以 MON2 60.又 OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设 MN ON，如图所示在 Rt ONF 中，| OF|2，则| ON| .3则在 Rt OMN 中，| MN| ON|tan 2 tan 603.3故选 B.答案： B3(2018益阳市，湘潭市调研试卷)已知圆 C1： x2
3、( y2) 24，抛物线C2： y22 px(p0)， C1与 C2相交于 A， B 两点，| AB| ，则抛物线 C2的方程为855_解析： 由题意，知圆 C1与抛物线 C2的其中一个交点为原点，不妨记为 B，设2A(m， n)| AB| ，855Error! Error!即 A .将 A 的坐标代入抛物线方程得(85， 165)22 p ， p ，抛物线 C2的方程为 y2 x.(165) 85 165 325答案： y2 x3254已知点 A 在椭圆 1 上，点 P 满足 ( 1) ( R)( O 是坐标原点)，x225 y29 AP OA 且 72，则线段 OP 在 x 轴上的投影长度
4、的最大值为_OA OP 解析： 因为 ( 1) ，AP OA 所以 ，即 O， A， P 三点共线，因为 72，OP OA OA OP 所以 | |272，OA OP OA 设 A(x， y)， OA 与 x 轴正方向的夹角为 ，线段 OP 在 x 轴上的投影长度为| |cos OP | |x| 15，72|x|OA |2 72|x|x2 y2721625|x| 9|x|72216925当且仅当| x| 时取等号154答案： 155已知椭圆 C1： 1( ab0)的离心率 e 且与双曲线 C2： 1 有x2a2 y2b2 32 x2b2 y2b2 1共同焦点(1)求椭圆 C1的方程；(2)在椭
5、圆 C1落在第一象限的图象上任取一点作 C1的切线 l，求 l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值解析： (1)由 e ，可得： ，32 ca 32即 ，所以 ， a24 b2，c2a2 34 a2 b2a2 34又因为 c22 b21，即 a2 b22 b21，联立解得： a24， b21，所以椭圆 C1的方程为 y21.x243(2)因为 l 与椭圆 C1相切于第一象限内的一点，所以直线 l 的斜率必存在且为负，设直线 l 的方程为 y kx m(k0，解得 kb0)的离心率为 ，短轴长为x2a2 y2b2 322.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 l： y kx m 与椭圆 C
6、 交于 M， N 两点， O 为坐标原点，若 kOMkON ，求54原点 O 到直线 l 的距离的取值范围解析： (1)由题知 e ，2 b2，又 a2 b2 c2，ca 32 b1， a2，椭圆 C 的标准方程为 y21.x24(2)设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，联立方程，得Error!得(4 k21) x28 kmx4 m240，依题意， (8 km)24(4 k21)(4 m24)0，化简得 m24k21，x1 x2 ， x1x2 ，8km4k2 1 4m2 44k2 15y1y2( kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2，若 kOMkON ，
7、则 ，即 4y1y25 x1x2，54 y1y2x1x2 544 k2x1x24 km(x1 x2)4 m25 x1x2，(4 k25) 4 km 4 m20，4 m2 14k2 1 ( 8km4k2 1)即(4 k25)( m21)8 k2m2 m2(4k21)0，化简得 m2 k2 ，54由得 0 m2 ， k2 ，65 120 54原点 O 到直线 l 的距离 d ，|m|1 k2 d2 1 ，m21 k2 54 k21 k2 94 1 k2又 k2 ，120 540 d2 ，原点 O 到直线 l 的距离的取值范围是 .87 0， 2147 )2已知 F(1,0)，直线 l： x1， P
8、 为平面上的动点，过点 P 作 l 的垂线，垂足为点Q，且 .QP QF FP FQ (1)求动点 P 的轨迹 G 的方程；(2)点 F 关于原点的对称点为 M，过点 F 的直线与 G 交于 A， B 两点，且 AB 不垂直于 x轴，直线 AM 交曲线 G 于点 C，直线 BM 交曲线 G 于点 D.证明直线 AB 与直线 CD 的倾斜角互补；直线 CD 是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由解析： (1)设点 P(x， y)，则 Q(1， y)，由 F(1,0)及 ，得QP QF FP FQ (x1,0)(2， y)( x1， y)(2， y)，化简得 y24 x，所以动点
9、P 的轨迹 G 的方程为 y24 x.(2)由题易知点 F 关于原点的对称点为 M(1,0)，设过点 F 的直线 AB 的方程为 x ny1( n0)，联立方程得Error!消去 x，得 y24 ny40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1y24.设直线 AM 的方程为 x my1，6联立方程得Error!消去 x，得 y24 my40，设 C(x3， y3)，则 y1y34，即 y3 ，4y1易得 A ， C ，同理可得 B ， D .(y214， y1) (4y21， 4y1) (y24， y2) (4y2， 4y2) kAB ， kCD ，y1 y2y214 y24 4y1 y24y1 4y24y21 4y2 y1y2y1 y2 4y1 y2 kAB kCD0，设直线 AB， CD 的倾斜角分别为 ， ，则 tan tan ( )，又 0 ，0 ，且 ， ， 2 ，即 .直线 AB 与直线 CD 的倾斜角互补易知直线 CD 的方程 y ，4y1 y2(x 4y21) 4y1令 y0，得 x 1，y1 y2y1 4y21 y21 y1y2 4y21 y21y21直线 CD 过定点(1,0)
