1、1考点 39 数学归纳法1用数学归纳法证明： （ ）能被 整除从假设 成立 到 成立时，被整除式应为( )A B C D 【答案】C【解析】由于当 n=k+1 时，x 2n-1+y2n-1 =x2k+1 +y2k+1，故选： C2等式 2222113574nn （ ）A *nN时都成立 B 当 ,3时成立C 当 4时成立， 时不成立 D 仅当 时不成立【答案】B3利用数学归纳法证明“ ， ”时，从“ ”变到“ ”时，左边应增乘的因式是（ ）A B C D 【答案】C【解析由题意，n=“k“ 时，左边为（k+1） （k+2）（k+k） ；n=k+1 时，左边为（k+2）（k+3）（k+1+k+1
2、） ；从而增加两项为（2k+1） （2k+2） ，且减少一项为（k+1） ，故选 C4用数学归纳法证明“ ”时，由 到 时，不等试左边应添加的项是( )2A B C D 【答案】C5如果命题 对于 成立，同时，如果 成立，那么对于 也成立。这样，下述结论中正确的是 （ ）A 对于所有的自然数 成立 B 对于所有的正奇数 成立C 对于所有的正偶数 成立 D 对于所有大于 3 的自然数 成立【答案】B【解析】由于若命题 对 成立，则它对 也成立 又已知命题 成立，可推出 均成立，即 对所有正奇数 都成立故选：B6已知正项数列 中， 用数学归纳法证明： .【答案】见解析.37设 MN，正项数列 na
3、的前 项的积为 nT，且 kM，当 nk 时， nknkT都成立.（1）若 1， 3， 2，求数列 a的前 项和；（2）若 ,4， 1，求数列 n的通项公式.【答案】(1) 32nA (2) 12nA【解析】（1）当 n2 时，因为 M=1，所以 1Tn=TnT1，可得 an+1=ana1，故 an=a1=3（n2） 又 a1= 3，a 2=3 ，则a n是公比为 3 的等比数列，故a n的前 n 项和为 31= 23n （2）当 nk 时，因为 Tk=TnTk，所以 1kTn=Tn+1Tk，4所以 a2，a 3，a 4是公比为 q14的等比数列，所以a n（n2）是公比为 q14的等比数列因
4、为当 n=4，k=3 时，T 7T1=T42T32；当 n=5，k=4 时，T 9T1=T52T42，所以（14q） 7=2a24，且（ q） 10=2a26，所以14q=2，a 2=2 又 a1= ，所以a n（nN*）是公比为 的等比数列故数列a n的通项公式是 an=2n1 58已知数列 na满足1230nnnC *2nCN，（1）求 1， 2， 3的值；（2）猜想数列 na的通项公式，并证明【答案】(1) 12,4, 38, (2)见解析6121+103-+12 2kkkkkkCCC ，于是 11ka所以 2k， 故 nk时结论也成立7由得， =2na *N， 9用数学归纳法证明：对于
5、任意的 ， .【答案】见解析10 （1）已知 ，比较 和 的大小并给出解答过程；（2）证明：对任意的 ，不等式 成立.【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】 811已知数列 是等差数列， . (1)求数列 的通项公式 ；(2)设数列 的通项 (其中 且 )记 是数列 的前 项和，试比较 与的大小，并证明你的结论.【答案】 （1） ；（2）当 时， ,当 时， ，证明见解析.910,即当 n=k+1 时，( *)式成立由知，( *)式对任意正整数 n 都成立 于是，当 a1 时， Sn logabn+1 ,当 0 a1 时，Sn logabn+1 .12已知数列 满足 ， .（1）计算
6、， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.由题意得 ，当 时猜想也成立；11由和，可知猜想成立，即 .13已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， .（1）计算 ， ， ，根据计算结果，猜想 的表达式；（2）用数学归纳法证明你猜想的结论.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.12 ， ，当 时猜想也成立，由和，可知猜想成立，即 .14已知数列 满足 且 .（1）计算 、 、 的值，由此猜想数列 的通项公式；（2）用数学归纳法对你的结论进行证明【答案】 （1） ， ；（2）证明见解析.15是否存在常数 ,abc，使得
7、等式222421nnanbc对一切正整数 n都成立？若存在，求出abc， ，的值；若不存在，说明理由【答案】见解析.【解析】假设存在 abc， ， ，使得所给等式成立1316是否存在正整数 ，使得对任意正整数 都能被 36 整除？若存在，求出 的最小值，并用数学归纳法证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】见解析1417已知正项数列 中， 且（1）分别计算出 的值，然后猜想数列 的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】 （1） ； ；（2）见解析.【解析】（1） 令 得 化简得 ，解得 或 . 1518数列 中， ，前 项的和记为 （1）求 的值，并猜想 的表达式；（2）请用数
8、学归纳法证明你的猜想【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】（1） ， ， ， 猜想（2）证明：当 时， ，猜想成立；16假设当 时，猜想成立，即： ；当 时， 时猜想成立由、得猜想 得证19(1)证明： ；(2)证明： ( )；(3)证明： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.17所以（3）由题意得 ，1820设 ,对于 ，有 .（1）证明：（2）令 ,证明 ：（I）当 时，（II）当 时，【答案】 （1）见解析;（2） （I）见解析;（II）见解析.192021用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)2 n13(2n1)(nN *)时，从“nk 到nk1”时，左边应
9、增加的代数式为_【答案】2(2k1)【解析】首先写出当 nk 时和 nk1 时等式左边的式子21当 nk 时，左边等于(k1)(k2)(kk)(k1)(k2)(2k)，当 nk1 时，左边等于(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，从 nk 到 nk1 的证明，左边需增加的代数式是由两式相除得到2(2k1)22用数学归纳法证明“ ”从 到 左端需增乘的代数式为_【答案】23设 ，那么 _【答案】【解析】 ，故答案为 .24用数学归纳法证明等式 时，第一步验证 时，左边应取的项是_.【答案】22【解析】在等式 中，当 时， ，而等式左边起始为 的连续的正整数的和，故 时，等式左边的项为 ，故答案为 .25用数学归纳法证明 ，则当 时左端应在 的基础上加上的项为_
