1、1考点 43 直线、平面垂直的判定与性质1如图, 在正方体 中, , 过直线 的平面 平面 ,则平面 截该正方体所得截面的面积为（ ）A B C D 【答案】D22已知三棱锥 的四个顶点都在球 的球面上， 平面 ， 是边长为 2 的等边三角形，若球 的体积为 ，则直线 与平面 所成角的正切值为A B C D 【答案】A【解析】取 的中点 ，则 为所求线面角，利用勾股定理求出 即可得出答案33某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为 1 的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A B C D 【答案】A44如图，四棱锥 中， ， / ， ， 为正三角形. 若 ，且 与底面 所成角的
2、正切值为 .（1）证明：平面 平面 ；（2） 是线段 上一点，记 （ ） ，是否存在实数 ，使二面角 的余弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2）565如图，在斜三棱柱 中，底面 是边长为 的正三角形， ， ，.（）求证：平面 平面 ；（）求二面角 的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）7设 为平面 的法向量，则86如图所示：四棱锥 ,底面 为四边形， 平面 平面 ,（1）求证： 平面 ；（2）若四边形 中， 是否在 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角的正弦值为 ，若存在求 的值，若不存在，请说明理由.【答案】 （1）见解析；（2）1【解析】
3、（1）设 ，连接, ， 为 中点又 ，910解 ， 7已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面 A1ACC1与底面 ABC 垂直，ABC=90 0，BC=2，AC= ，且AA1A 1C，AA 1=A1C（）求侧棱 A1A 与底面 ABC 所成角的大小；（）求侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小。111213 ，由图形得侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角为锐角，侧面 A1ABB1与底面 ABC 所成二面角的大小为 60014【点睛】（1）用几何法求空间角时，要体现出“一作、二证、三计算”的步骤，即先作出所求的角，然后通过解三角形得到所求角的大小（或某一三角函数值） （2）
4、用向量法求空间角时，在求得两向量的夹角后，还要注意向量的夹角和所求空间角的关系，即要把向量的夹角转化为所求的空间角8 （题文） （题文）在三棱锥 中， ， ， （1）求证： ；（2）点 为 上一动点，设 为直线 与平面 所形成的角，求 的最大值【答案】(1)见解析；（2） .15则 ， ， ， ，设 ， ， ， ， ， ，即 ，16 ，9如图，在三棱柱 中， ， .(I)求证： ;(II)在棱 上取一点 M, ,若 与平面 所成角的正弦值为 ，求 .17【答案】 （1）见解析（2）181910如图， ABC 和 BCD 所在平面互相垂直，且 AB BC BD2， ABC DBC120， E，
5、F 分别为AC， DC 的中点(1)求证： EF BC；(2)求二面角 E BF C 的正弦值20【答案】 （1）见解析（2）则 cos |cos n1， n2| ，21因此 sin ，即二面角 E BF C 的正弦值为 .11如图，已知四棱锥 的底面为菱形， ，（1）求证： ；（2）若 ， ， ，求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析（2）2212如图，在棱长为 的正方体 中， ， 分别在棱 ， 上，且 .（1）已知 为棱 上一点，且 ，求证： 平面 .（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.【答案】 （1）见解析；（2）【解析】（1）过 作 于点 ，连 ，则 .易证： ，于是 .由231
6、3如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， （1）证明： ；（2）若直线 与平面 所成角为 30，求二面角 的余弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】24 .则 ， 设平面 的法向量为 .25 .则 ， ， 由图可知二面角 的余弦值 .14如图， 、 分别是正三棱柱 的棱 、 的中点，且棱 ， .（1）求证： 平面 ；（2）若二面角 的大小为 ，试求 .【答案】 （1）见解析；（2） .2615如图，已知四棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 ， 为 上任意一点，为菱形 对角线的交点。（1）证明：平面 平面 ；（2）若 ，当四棱锥的体积被平面 分成 3：1 两部分时，若二面
7、角 的大小为 ，求 的值。【答案】 （1）见解析（2）【解析】（1）过点 作 于点 G，由于平面 面 ，所以 面面 ，故 ；同理，过点 作 于 ，则面 ， 面 ,且27解法二：如图建立坐标系，设 则 ，设则面 的法向量为 ，设面面 的法向量为 ，则2816如图，四边形 ABCD 为正方形， PD平面 ABCD， DPC30， AF PC 于点 F， FE CD，交 PD 于点 E.(1)证明： CF平面 ADF；(2)求二面角 DAFE 的余弦值【答案】 （1）见解析（2）【解析】(1)证明： PD平面 ABCD， AD平面 ABCD， PD AD又 CD AD， PD CD D， AD平面 PCD又 PC平面 PCD， AD PC又 AF PC， AD AF A， PC平面 ADF，即 CF平面 ADF.(2)设 AB1，则在 Rt PCD 中， CD1，2917如图， 是 的中点，四边形 是菱形，平面 平面 ， ， ，.30（1）若点 是线段 的中点，证明： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .
