1、1专题对点练 23 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1.(2018全国 ,文 20)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0),B(-2,0),过点 A的直线 l与 C交于 M,N两点 .(1)当 l与 x轴垂直时,求直线 BM的方程;(2)证明: ABM= ABN.2.已知椭圆 C的两个顶点分别为 A(-2,0),B(2,0),焦点在 x轴上,离心率为 .32(1)求椭圆 C的方程;(2)点 D为 x轴上一点,过 D作 x轴的垂线交椭圆 C于不同的两点 M,N,过 D作 AM的垂线交 BN于点E.求证: BDE与 BDN的面积之比为 4 5.3.已知抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,
2、直线 x=4与 x轴的交点为 P,与抛物线的交点为 Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线的方程;(2)如图所示,过 F的直线 l与抛物线相交于 A,D两点,与圆 x2+(y-1)2=1相交于 B,C两点( A,B两点相邻),过 A,D两点分别作抛物线的切线,两条切线相交于点 M,求 ABM与 CDM的面积之积的最小值 .24.已知椭圆 C: =1(ab0)的左、右交点分别为 F1,F2,且 |F1F2|=4 ,A 是椭圆上22+223 ( 3,- 132)一点 .(1)求椭圆 C的标准方程和离心率 e的值;(2)若 T为椭圆 C上异于顶点的任意一点, M,N分别为椭圆的右顶点和上顶点,直线
3、 TM与 y轴交于点P,直线 TN与 x轴交于点 Q,求证: |PN|QM|为定值 .5.已知圆 O:x2+y2=r2,直线 x+2 y+2=0与圆 O相切,且直线 l:y=kx+m与椭圆 C: +y2=1相交于 P,Q222两点, O为坐标原点 .(1)若直线 l过椭圆 C的左焦点,且与圆 O交于 A,B两点,且 AOB=60,求直线 l的方程;(2)如图,若 POQ的重心恰好在圆上,求 m的取值范围 .6.已知椭圆 C与双曲线 y2-x2=1有共同焦点,且离心率为 .63(1)求椭圆 C的标准方程;(2)若 A为椭圆 C的下顶点, M,N为椭圆 C上异于 A的两点,直线 AM与 AN的斜率
4、之积为 1. 求证:直线 MN恒过定点,并求出该定点坐标; 若 O为坐标原点,求 的取值范围 .7.已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A为 C上位于第一象限的任意一点,过点 A的直线 l交 C于另一点 B,交 x轴的正半轴于点 D.(1)若当点 A的横坐标为 3,且 ADF为等边三角形时,求 C的方程;(2)对于(1)中求出的抛物线 C,若点 D(x0,0) ,记点 B关于 x轴的对称点为 E,AE交 x轴于点(012)P,且 AP BP,求证:点 P的坐标为( -x0,0),并求点 P到直线 AB的距离 d的取值范围 .3专题对点练 23答案1.(1)解 当 l与 x轴垂直时
5、, l的方程为 x=2,可得 M的坐标为(2,2)或(2, -2).所以直线 BM的方程为 y=x+1或 y=-x-1.(2)证明 当 l与 x轴垂直时, AB为 MN的垂直平分线,所以 ABM= ABN.当 l与 x轴不垂直时,设 l的方程为 y=k(x-2)(k0), M(x1,y1),N(x2,y2),则 x10,x20.由 得 ky2-2y-4k=0,可知 y1+y2=,y1y2=-4.=(-2),2=2 直线 BM,BN的斜率之和为 kBM+kBN= .11+2+22+2=21+12+2(1+2)(1+2)(2+2)将 x1= +2,x2= +2及 y1+y2,y1y2的表达式代入
6、式分子 ,可得 x2y1+x1y2+2(y1+y2)=1 2=0.212+4(1+2) =-8+8所以 kBM+kBN=0,可知 BM,BN的倾斜角互补,所以 ABM= ABN.综上, ABM= ABN.2.(1)解 设椭圆 C的方程为 =1(ab0).22+22由题意得 解得 c= .=2,=32, 3所以 b2=a2-c2=1.所以椭圆 C的方程为 +y2=1.24(2)证明 设 M(m,n),则 D(m,0),N(m,-n).由题设知 m 2,且 n0 .直线 AM的斜率 kAM= ,+2故直线 DE的斜率 kDE=- .+2所以直线 DE的方程为 y=- (x-m),直线 BN的方程为
7、 y= (x-2).+2 2-联立=-+2 (-),= 2-(-2),解得点 E的纵坐标 yE=- .(4-2)4-2+2由点 M在椭圆 C上,得 4-m2=4n2.所以 yE=-n.又 S BDE=|BD|yE|=|BD|n|,S BDN=|BD|n|,所以 BDE与 BDN的面积之比为 4 5.3.解 (1)由题意可知 P(4,0),Q ,|QF|= ,(4,8) 8+2由 |QF|=|PQ|,则 ,解得 p=2,8+2=548 抛物线的方程为 x2=4y.4(2)设 l:y=kx+1,A(x1,y1),D(x2,y2),联立 整理得 x2-4kx-4=0,则 x1x2=-4,=+1,2=
8、4,由 y=x2,求导 y=,直线 MA:y- (x-x1),214=12即 y= x- ,12 214同理求得 MD:y= x- ,22 224联立 解得 则 M(2k,-1),=12 -214,=22 -224, =2,=-1,M 到 l的距离 d= =2 ,22+21+21+2 ABM与 CDM的面积之积 S ABMS CDM=|AB|CD|d2= (|AF|-1)(|DF|-1)d2=y1y2d2= d2=1+k21,14212216当且仅当 k=0时取等号,当 k=0时, ABM与 CDM的面积之积取最小值 1.4.(1)解 由已知得 c=2 ,F1(-2 ,0),F2(2 ,0),
9、 2a=|AF1|+|AF2|3 3 3= +(3+23)2+(- 132)2=8.(3-23)2+(- 132)2a= 4,b 2=a2-c2=4,e= .=12 椭圆 C的标准方程为 =1,e=.216+24(2)证明 T(x0,y0)(x00, y00),则 =1.2016+204M(4,0),N(0,2), 直线 TN的方程为 y-2= x,令 y=0,得 Q ,0-20 (-200-2,0)直线 TM的方程为 y= (x-4),00-4令 x=0,得 P .(0,-400-4)则 |MQ|= ,则 |PN|= .|4+ 200-2|=|20+40-80-2 | |2+ 400-4|=
10、|20+40-80-4 |5|QM|PN|= =16,|4(0+20-4)2(0-2)(0-4)|=|16(00-20-40+8)00-20-40+8 |PN|QM| 为定值 16.5.解 (1) 直线 x+2 y+2=0与圆 O:x2+y2=r2相切,2r= ,|0+0+2|12+(22)2=23x 2+y2=. 左焦点坐标为 F(-1,0),设直线 l的方程为 y=k(x+1),由 AOB=60,得圆心 O到直线 l的距离 d= .33又 d= , ,|2+1 |2+1=13解得 k= ,22 直线 l的方程为 y= (x+1).22(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得(1
11、 +2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.22+2=1,=+由 0,得 2k2+1m2,()且 x1+x2=- .41+22由 POQ重心 恰好在圆 x2+y2= 上,得( x1+x2)2+(y1+y2)2=4,(1+23 ,1+23 ) 49即( x1+x2)2+k(x1+x2)+2m2=4,即(1 +k2)(x1+x2)2+4km(x1+x2)+4m2=4. +4m2=4,16(1+2)22(1+22)2 16221+22化简得 m2= ,代入()得 k0 .又 m2= =1+ =1+ .(1+22)242+1 (1+22)242+1 4442+1 442+14由 k0,得 0, 0,m
12、 21,得 m的取值范围为 m1.12 42+146.解 (1)设椭圆 C的标准方程为 =1(ab0),22+22由题意可得 a2-b2=2,e= ,c= ,解得 a= ,b=1,=63 2 3即有椭圆的标准方程为 +x2=1;23(2) 证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 A(0,- ),直线 AM与 AN的斜率之积为 1,可得 =1,31+31 2+32即有 x1x2=y1y2+ (y1+y2)+3,3由题意可知直线 MN的斜率存在且不为 0,设直线 MN:y=kx+t,代入椭圆方程,可得(3 +k2)x2+2ktx+t2-3=0,6可得 x1x2= ,x1+x2=- ,2-
13、33+2 23+2y1+y2=k(x1+x2)+2t=2t- ,223+2= 63+2y1y2=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k2 +kt +t2= ,2-33+2 (- 23+2) 32-323+2则 +3,2-33+2=32-323+2 +3( 63+2)化为 t2+3 t+6=0,3解得 t=-2 (- 舍去),3 3则直线 MN的方程为 y=kx-2 ,3即直线 MN恒过定点,该定点坐标为(0, -2 );3 由 可得 =x1x2+y1y2=2-33+2+32-323+2 =42-3-323+2= ,45-323+2由(3 +k2)x2+2ktx+t2-3=0,可得 =4k2
14、t2-4(t2-3)(3+k2)=48k2-36(3+k2)0,解得 k29.令 3+k2=m,则 m12,且 k2=m-3,即有 -3,45-323+2 =45-3(-3) =54由 m12,可得 -30,y1+y2=4m,y1y2=-4x0,设2=4,=+0P的坐标为( xP,0),则 =(x2-xP,-y2), =(x1-xP,y1), 由题知 ,所以( x2-xP)y1+y2(x1-xP)=0,即 x2y1+y2x1=(y1+y2)xP= ,221+2124 =12(1+2)4显然 y1+y2=4m0,所以 xP= =-x0,即证 xP(-x0,0).124由题知 EPB为等腰直角三角形,所以 kAP=1,即 =1,也即 =1,所以 y1-y2=4, (y1+y2)2-4y1y2=16,1+21-21+214(21-22)即 16m2+16x0=16,m2=1-x0,x01,7又因为 x0,所以 x01,d= ,令 =t ,x0=2-t2,d=|-0-0|1+2 =201+2=202-0 2-0 (1,62-2t,易知 f(t)= -2t在 上是减函数,所以 d .2(2-2) =4 (1,62 63,2)
