1、1第一讲 坐标系与参数方程年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系T 22卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义T 222018卷 参数方程与直角坐标方程的互化T 22卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T 22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T 222017卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T 22卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T 23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T 232016卷参数方程、极坐标方程及
2、点到直线的距离、三角函数的最值T 231.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第 67 页悟通方法结论1圆的极坐标方程2若圆心为 M( 0， 0)，半径为 r，则圆的方程为： 22 0 cos( 0) r20.20几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a： 2 acos ；(3)当圆心位于 M
3、 ，半径为 a： 2 asin .(a， 2)2直线的极坐标方程若直线过点 M( 0， 0)，且极轴与此直线所成的角为 ，则它的方程为： sin( ) 0sin( 0 )几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点： 0和 0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴： cos a；(3)直线过 M 且平行于极轴： sin b.(b， 2)全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅
4、有三个公共点，求 C1的方程解析：(1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1， y轴左边的射线为 l2.由于点 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l1所在直线的距离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或
5、k0.43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故|k 2|k2 13k0 或 k .43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.432(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|
6、OP|16，求点 P 的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值(2， 3)解析：(1)设 P 的极坐标为( ， )( 0)， M 的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16 得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)，由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 面积S |OA| Bsin AOB124cos |sin |( 3)2|sin |(2 3) 322
7、 .3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .33(2018长春二模)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 cos 1， M， N 分别为曲线 C 与 x 轴， y 轴的交( 3)点(1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M， N 的极坐标；(2)设 M， N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程4解析：(1) cos 1，( 3) cos cos sin sin 1. 3 3又Error! x y1，12 32即曲线 C 的直角坐标方程为 x y20，3令 y0，则 x2；令 x0，则
8、y .233 M(2,0)， N .(0，233) M 的极坐标为(2,0)， N 的极坐标为 .(233， 2)(2) M， N 连线的中点 P 的直角坐标为 ，(1，33) P 的极角为 ， 6直线 OP 的极坐标方程为 ( R) 6【类题通法】1极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos ， sin ， 2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin( )或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x 转化为 cos ，将 y 换成 sin ，即可得到其极
9、坐标方程2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标参数方程5授课提示：对应学生用书第 68 页悟通方法结论几种常见曲线的参数方程(1)圆以 O( a， b)为圆心， r 为半径的圆的参数方程是Error!其中 是参数当圆心在(0,0)时，方程为Error!其中 是参数(2)椭圆椭圆 1( a b0)的参数方程是Error!其中 是参数x2a2 y2b2椭圆 1( a b0)的参数方程是Error!其中 是参数x2b2 y2a2(3)直线经过点 P0(x0， y0)，倾
10、斜角为 的直线的参数方程是Error!其中 t 是参数全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l 的斜率解析：(1)曲线 C 的直角坐标方程为 1.x24 y216当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1.(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos 2 )t
11、24(2cos sin )t80.因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1， t2，则t1 t20.又由得 t1 t2 ，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜42cos sin 1 3cos2率 ktan 2.2(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数)(1)若 a1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 ，求 a.176解析：(1)曲线 C 的普通方程为 y21.x29当 a1 时，直线 l 的普通方程为
12、 x4 y30.由Error!解得Error! 或Error!从而 C 与 l 的交点坐标为(3,0)， .(2125， 2425)(2)直线 l 的普通方程为 x4 y a40，故 C 上的点(3cos ，sin )到 l 的距离为d .|3cos 4sin a 4|17当 a4 时， d 的最大值为 .a 917由题设得 ，解得 a8；a 917 17当 a4 时， d 的最大值为 . a 117由题设得 ， a 117 17解得 a16.综上， a8 或 a16.3(2018惠州模拟)已知曲线 C 的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面
13、直角坐标系，直线 l 的参数方程是Error!( t为参数)(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，且| AB| ，求直线 l 的倾斜角 的值14解析：(1)由 4cos 得 24 cos . x2 y2 2， x cos ， y sin ，曲线 C 的直角坐标方程为 x2 y24 x0，即( x2) 2 y24.(2)将Error! 代入曲线 C 的方程得( tcos 1) 2( tsin )24，化简得 t22 tcos 30.设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，则Error!.| AB| t1 t2| ，t1 t
14、22 4t1t2 4cos2 12 144cos 2 2，cos ， 或 .22 4 34【类题通法】71.有关参数方程问题的 2 个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义2利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)若 A， B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为 t1， t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0 ；t1 t22(2)|PM| t0|
15、 ；|t1 t22 |(3)|AB| t2 t1|；(4)|PA|PB| t1t2|.极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书第 69 页(2017高考全国卷)(10 分)在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数方程为Error!(t 为参数 )，直线 l2的参数方程为Error!( m 为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k变化时， P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 0 ， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径2规范解答 (1)消去参数 t 得 l1的普通方程
16、 l1： y k(x2)；消去参数 m 得 l2的普通方程 l2： y (x2)1k(2 分)设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k 得 x2 y24( y0)所以 C 的普通方程为 x2 y24( y0) (4 分)(2)C 的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )联立Error! (6 分)8得 cos sin 2(cos sin )故 tan ，13从而 cos2 ，sin 2 . (8 分)910 110代入 2(cos2 sin 2 )4 得 25，所以交点 M 的极径为 . (10 分)5【类题通法】解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数
17、方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件练通即学即用1(2018惠州模拟)已知曲线 C：Error!( 为参数)和定点 A(0， )， F1， F2是此曲3线的左、右焦点，以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 AF2的极坐标方程；(2)经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l 交曲线 C 于 M， N 两点，求| MF1| NF1|的值解析：(1)曲线 C：Error!可化为 1，故曲线
18、 C 为椭圆，x24 y23则焦点 F1(1,0)， F2(1,0)所以经过点 A(0， )和 F2(1,0)的直线 AF2的方程为 x 1，即 x y 0，3y3 3 3所以直线 AF2的极坐标方程为 cos sin .3 3(2)由(1)知，直线 AF2的斜率为 ，因为 l AF2，所以直线 l 的斜率为 ，即倾斜333角为 30，所以直线 l 的参数方程为 Error!(t 为参数)，代入椭圆 C 的方程中，得 13t212 t360.3因为点 M， N 在点 F1的两侧，所以| MF1| NF1| t1 t2| .123132(2018长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线 M 的参数
19、方程为Error!( 为参数)，在极坐标系中，直线 l1的方程为 1 ，直线 l2的方程为 2 . 2(1)写出曲线 M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设 l1与曲线 M 交于 A， C 两点， l2与曲线 M 交于 B， D 两点，求四边形 ABCD 面积的9取值范围解析：(1)由Error!( 为参数)，消去参数 ，得曲线 M 的普通方程为( x1)2( y1) 28，曲线 M 是以(1,1)为圆心，2 为半径的圆2(2)设| OA| 1，| OC| 2， O， A， C 三点共线，则| AC| 1 2| (*)， 1 22 4 1 2将曲线 M 的方程化成极坐标方程，得 22 (
20、sin cos )60，Error! 代入(*)式得| AC| .28 4sin 2用 代替 ，得| BD| ， 2 28 4 sin 2又 l1 l2， S 四边形 ABCD |AC|BD|，12 S 四边形 ABCD 2 ，1228 4sin 2 28 4 sin 2 49 sin22sin 22 0,1， S 四边形 ABCD8 ，14.3授课提示：对应学生用书第 143 页1已知曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin( )，直线 l 的直角坐标方程 3为 y x.33(1)求曲线 C1和直
21、线 l 的极坐标方程；(2)已知直线 l 分别与曲线 C1、曲线 C2相交于异于极点的 A， B 两点，若 A， B 的极径分别为 1， 2，求| 2 1|的值解析：(1)曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，其普通方程为 x2( y1) 21，极坐标方程为 2sin .直线 l 的直角坐标方程为 y x，33故直线 l 的极坐标方程为 ( R) 610(2)曲线 C1的极坐标方程为 2sin ，直线 l 的极坐标方程为 ， 6将 代入 C1的极坐标方程得 11， 6将 代入 C2的极坐标方程得 24， 6| 2 1|3.2(2018开封模拟)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1的参
22、数方程为Error!(t 为参数)，圆 C2：( x2) 2 y24，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程和交点 A 的坐标(非坐标原点)；(2)若直线 C3的极坐标方程为 ( R)，设 C2与 C3的交点为 B(非坐标原点)， 4求 OAB 的最大面积解析：(1)由Error!(t 为参数)得曲线 C1的普通方程为 y xtan ，故曲线 C1的极坐标方程为 ( R)将 x cos ， y sin 代入( x2) 2 y24，得 C2的极坐标方程为 4cos .故交点 A 的坐标为(4cos ， )(2)由题意知， B 的极坐标为(2 ， )
23、2 4 S OAB| 2 4cos sin( )|2 sin(2 )2|，12 2 4 2 4故 OAB 的最大面积是 2 2.23(2018长春模拟)以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P 的直角坐标为(1,2)，点 C 的极坐标为(3， )，若直线 l 过点 P，且倾斜角 2为 ，圆 C 以点 C 为圆心，3 为半径 6(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程；(2)设直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求| PA|PB|.解析：(1)由题意得直线 l 的参数方程为Error!(t 为参数 )，圆 C 的极坐标方程为 6sin .(
24、2)由(1)易知圆 C 的直角坐标方程为 x2( y3) 29，把Error! 代入 x2( y3) 29，得 t2( 1)t70，3设点 A， B 对应的参数分别为 t1，t 2，t 1t27，又| PA|t 1|，| PB|t 2|，| PA|PB|7.4(2018唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同已知圆 C1的极坐标方程为 4(cos sin )， P 是 C111上一动点，点 Q 在射线 OP 上且满足| OQ| |OP|，点 Q 的轨迹为 C2.12(1)求曲线 C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线
25、l 的参数方程为Error!( t 为参数，0 ) ， l 与曲线 C2有且只有一个公共点，求 的值解析：(1)设点 P， Q 的极坐标分别为( 0， )，( ， )，则 0 4(cos sin )2(cos sin )，12 12点 Q 的轨迹 C2的极坐标方程为 2(cos sin )，两边同乘以 ，得 22( cos sin )，C2的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y，即( x1) 2( y1) 22.(2)将 l 的参数方程代入曲线 C2的直角坐标方程，得(tcos 1) 2( tsin 1) 22，即 t22(cos sin )t0， t10， t22(sin cos )，由直线 l 与曲线 C2有且只有一个公共点，得 sin cos 0，因为 0 ，所以 . 4
