1、1专题研究2 圆锥曲线中的最值与范围问题1(2017绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆 1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则 x24 y23 OP FP 的最大值为( )A. B6214C8 D12答案 B解析 由题意得F(1，0)，设P(x，y)，则 (x，y)(x1，y)x 2xy 2，又点P在椭圆上，故 OP FP x24 y231，所以x 2x3 x2 x2x3 (x2) 22，又2x2，所以当x2时， (x2) 22取得最大值634 14 14 14，即 的最大值为6.OP FP 2(2018四川成都七中模拟)若直线l过抛物线C：y 24x的焦点F交抛物线C于A，B两点，则 的
2、取1|AF| 1|BF|值范围为( )A1 B(0，1C1，) D ，112答案 A解析 由题意知抛物线C：y 24x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x1.设过点F的直线l的斜率k存在，则直线的方程为yk(x1)代入抛物线方程，得k 2(x1) 24x，化简得k 2x2(2k 24)xk 20.设A(x 1，y 1)，B(x2，y 2)，则x 1x21.根据抛物线性质可知，|AF|x 11，|BF|x 21， 1|AF| 1|BF| 1x1 1 1x2 11.当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x1，把x1代入y 24x得y2， 1x1 x2 2x1 x2 2 1|AF| 1|BF|.故
3、选A.3(2018云南曲靖一中月考)已知点P为圆C：x 2y 22x4y10上的动点，点P到某直线l的最大距离为6.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则|AB|的最小值是_答案 2 3解析 由C：x 2y 22x4y10，得(x1) 2(y2) 24，由圆上动点P到某直线l的最大距离为6，可知圆心C(1，2)到直线l的距离为4.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则要使|AB|最小，需ACl，|AB|的最小值是 2 .42 22 324(2018河南百校联盟质检)已知椭圆C： 1(ab0)的四个顶点组成的四x2a2 y2b2边形的面积为2 ，且经过点(1， )222(
4、1)求椭圆C的方程；(2)椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和ONP的面积分别为S 1，S 2.求S 1S2的最大值答案 (1) y 21 (2)x22 22解析 (1)(1， )在椭圆C上， 1，又椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2 ， 2a2b222 1a2 12b2 2 12，ab ，解得a 22，b 21，椭圆C的方程为 y 21.2 2x22(2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则当t0时，直线OM的方程为y x.所以k
5、 AB ，直线AB的方程为y (x1)，即2xty20(t0)t2 2t 2t，由 得(8t 2)x216x82t 20.y 2t（ x 1） ，x2 2y2 2 0， )则(16) 24(8t 2)(82t 2)8(t 44t 2)0，x1x 2 ，x 1x2 .168 t2 8 2t28 t2|AB| .1 kAB28 t2 1 4t2 2 2 t2（ t2 4）8 t2 2 2（ t2 4）8 t2又|OM| ，S 1 |OM|AB| .t2 412 12 t2 4 2 2（ t2 4）8 t2 2（ t2 4） t2 48 t2由 得x N ，S 2 1 .y 2t（ x 1） ，y
6、t2x ) 4t2 4 12 4t2 4 2t2 4S 1S2 b0)的离心率为 ，抛物线C 2：x 2x2a2 y2b2 32ay的准线方程为y .12(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C 1交于不同的两点P，Q，若O在以PQ为直径的圆的外部，求直线l的斜率k的取值范围答案 (1) y 21 (2)k(2， )( ，2)x24 32 32解析 (1)由题意得 ，a2，故抛物线C 2的方程为x 22y.a4 12又e ，c ，b1，从而椭圆C 1的方程为 y 21.32 3 x24(2)显然直线x0不满足条件，故可设直线l：ykx2，P(x 1，y
7、 1)，Q(x 2，y 2)由 得(14k 2)x216kx120.x24 y2 1，y kx 2， )4(16k) 2412(14k 2)0，k(， )( ，)，32 32x1x 2 ，x 1x2 ， 16k1 4k2 121 4k2根据题意，得00， 2 OP OQ x 1x2y 1y2x 1x2(kx 12)(kx 22)(1k 2)x1x22k(x 1x 2)4 2k OP OQ 12（ 1 k2）1 4k2 16k1 4k24 0，16 4k21 4k22b0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为 ，点A在椭x2a2 y2b2 12圆C上，|AF 1|2，F 1AF260，过F
8、 2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于P，Q两点(1)求椭圆C的方程；(2)若P，Q的中点为N，在线段OF 2上是否存在点M(m，0)，使得MNPQ？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由答案 (1) 1 (2)存在 理由略x24 y23解析 (1)由e 得a2c.由|AF 1|2得|AF 2|2a2.12由余弦定理得|AF 1|2|AF 2|22|AF 1|AF2|cosF 1AF2|F 1F2|2，即a 23a3c 2，解得c1，a2，b 2a2c 23.所以椭圆C的方程为 1.x24 y23(2)存在这样的点M符合题意设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，N(x 0，y
9、 0)由F 2(1，0)，设直线PQ的方程为yk(x1)，由 得(4k 23)x 28k 2x4k 2120，x24 y23 1，y k（ x 1） ， )得x 1x 2 ，故x 0 .8k24k2 3 x1 x22 4k24k2 3又点N在直线PQ上，所以y 0 ，所以N( ， ) 3k4k2 3 4k24k2 3 3k4k2 3因为MNPQ，所以k MN ，整理得m (0， )0 3k4k2 3m 4k24k2 3 1k k24k2 314 3k2 145所以在线段OF 2上存在点M(m，0)，使得MNPQ，m的取值范围为(0， )141(2018山西五校联考)设点F为椭圆C： 1(m0)
10、的左焦点，直线yx被椭圆C截得的弦长为 .x24m y23m 4 427(1)求椭圆C的方程；(2)圆P：(x )2(y )2r 2(r0)与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB上任意一点，直线FM交椭圆C于4 37 3 37P，Q两点，AB为圆P的直径，且直线FM的斜率大于1，求|PF|QF|的取值范围答案 (1) 1 (2)( ， x24 y23 94 125解析 (1)由 得x 2y 2 ，故2 2 ，解得m1，故椭圆C的方程为 y x，x24m y23m 1， ) 12m7 x2 y2 24m7 4 427 x241.y23(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x1 x
11、2 8 37 ，y1 y2 6 37. )又 x124 y123 1，x224 y223 1， )所以 0，（ x1 x2） （ x1 x2）4 （ y1 y2） （ y1 y2）3则(x 1x 2)(y 1y 2)0，故k AB 1.y1 y2x1 x2所以直线AB的方程为y x ，即yx ，代入椭圆C的方程并整理得7x 28 x0，则x 10，3 37 4 37 3 3x2 .8 37又F(1，0)，直线FM的斜率大于1，则直线FM的斜率k ，)3设FM：yk(x1)，由 得(34k 2)x28k 2x4k 2120，y k（ x 1） ，x24 y23 1， )设P(x 3，y 3)，Q
12、(x 4，y 4)，则有x 3x 4 ，x 3x4 . 8k23 4k2 4k2 123 4k2又|PF| |x31|，|QF| |x41|，1 k2 1 k2所以|PF|QF|(1k 2)|x3x4(x 3x 4)1|(1k 2)| 1|4k2 123 4k2 8k23 4k26(1k 2) (1 )93 4k2 94 13 4k2因为k ，所以 |F 1F2|2 ，2由椭圆的定义可知，动点P的轨迹G是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程为 1.y24 x22(2)设直线l的方程为y xm，2代入椭圆方程得( xm) 22x 24，2即4x 22 mxm 240.2由8m 216(m 24)
13、8(8m 2)0，得m 2b0)的离心率为 ，且经过点P(1， )过它的两个焦点F 1x2a2 y2b2 12 32，F 2分别作直线l 1与l 2，l 1交椭圆于A，B两点，l 2交椭圆于C，D两点，且l 1l 2.(1)求椭圆的标准方程；7(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围答案 (1) 1 (2) ，6x24 y23 28849解析 (1)由 a2c，所以a 24c 2，b 23c 2，将点P的坐标代入椭圆方程得c 21，故所求椭圆方程为 ca 12 x24 y231.(2)若l 1与l 2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积S6.若l 1与l 2的斜率
14、都存在，设l 1的斜率为k，则l 2的斜率为 ，1k则直线l 1的方程为yk(x1)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立得方程组 y k（ x 1） ，x24 y23 1， )消去y并整理，得(4k 23)x 28k 2x4k 2120.x 1x 2 ，x 1x2 ，8k24k2 3 4k2 124k2 3|x 1x 2| ，|AB| |x1x 2| .12 k2 14k2 3 1 k2 12（ k2 1）4k2 3注意到方程的结构特征和图形的对称性，可以用 代替中的k，得|CD| ，1k 12（ k2 1）3k2 4S |AB|CD| ，令k 2t(0，)，12 72（ 1 k
15、2） 2（ 4k2 3） （ 3k2 4）S 72（ 1 t） 2（ 4t 3） （ 3t 4） 6（ 12t2 25t 12） 6t12t2 25t 126 6 ，612t 12t 25 649 28849S ，628849综上可知，四边形ABCD的面积S ，6288494(2017衡水中学调研)已知椭圆C： 1(ab0)过点A( ， )，离心率为 ，点F 1，F 2分别x2a2 y2b2 22 32 22为其左、右焦点(1)求椭圆C的标准方程；(2)若y 24x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足M，N，F 2三点共线，P，Q，F 2三点共线，且PQMN，求四边形PMQN面积的最小
16、值答案 (1) y 21 (2)4x22 2解析 8(1)由题意得 ，得bc. 1(ab0)，c1，a 22，椭圆C的标准方程ca 22 （ 22） 2a2 （ 32） 2b2为 y 21.x22(2)当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，易得|MN|4，|PQ|2 ，S 四边形PMQN 4 .2 2当直线MN斜率存在时，设直线方程为yk(x1)(k0)，与y 24x联立得k 2x2(2k 24)xk 20.令M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，则x 1x 2 2，x 1x21，4k2|MN| 4.1 k2 （ x1 x2） 2 4x1x24k2PQMN，直线PQ的方程为y (x
17、1)1k将直线与椭圆联立，得(k 22)x 24x22k 20.令P(x 3，y 3)，Q(x 4，y 4)，则x 3x 4 ，x 3x4 ，4k2 2 2 2k2k2 2|PQ| .1 1k2 （ x3 x4） 2 4x3x4 2 2（ 1 k2）k2 2四边形PMQN的面积S ，4 2（ 1 k2） 2k2（ k2 2）令1k 2t(t1)，则S 4 (1 )4 ，4 2t2（ t 1） （ t 1） 4 2t2t2 1 2 1t2 1 2S4 ，其最小值为4 .2 25(2015浙江文)已知抛物线C的顶点为O(0，0)，焦点为F(0，1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线
18、C于A，B两点，若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求|MN|的最小值答案 (1)x 24y (2)85 2解析 (1)由题意可设抛物线C的方程为x 22py(p0)，则 1，所以抛物线C的方程为x 24y.p2(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线AB的方程为ykx1.由 消去y，整理，得x 24kx40.y kx 1，x2 4y， )所以x 1x 24k，x 1x24.从而|x 1x 2|4 .k2 1由 解得点M的横坐标为x M .y y1x1x，y x 2， ) 2x1x1 y12x1x1 x124 84 x19同理，点N的横坐标x N .84 x2所以
19、|MN| |xMx N| | |2 284 x1 84 x28 | | .2x1 x2x1x2 4（ x1 x2） 16 8 2 k2 1|4k 3|令4k3t，t0，则k .t 34当t0时，|MN|2 2 ；225t2 6t 1 2当tb0)的左焦点为F(c，0)，离心率为 ，点M在椭圆上且位于第一x2a2 y2b2 33象限，直线FM被圆x 2y 2 截得的线段长为c，|FM| .b24 4 33(1)求直线FM的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 ，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围2解析 (1)由已知有 ，又由a 2b 2c 2，可得a 23c
20、 2，b 22c 2.c2a2 13设直线FM的斜率为k(k0)，则直线FM的方程为yk(xc)由已知，有 ，解得k(kck2 1)2 (c2)2 (b2)2 .33(2)由(1)得椭圆方程为 1，直线FM的方程为y (xc)，两个方程联立，消去y，整理得3x 22cx23c2 y22c2 33x5c 20，解得x c，或xc.因为点M在第一象限，可得M的坐标为 .53 (c， 2 33c)由|FM| ，解得c1，所以椭圆的方程为 1.（ c c） 2 (2 33c 0)2 4 33 x23 y22(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t ，即yt(x1)(x1)，与椭圆方程联立yx 1消去y，整理得2x 23t 2(x1) 26.y t（ x 1） ，x23 y22 1， )又由已知，得t ，解得 0.于是m ，得m .(32， 1) 2x2 23 ( 23， 2 33)当x(1，0)时，有yt(x1)0，因此m0.于是m ，得m .2x2 23 ( ， 2 33)综上，直线OP的斜率的取值范围是 .( ， 2 33) ( 23， 2 33)
