1、1培优点十六 圆锥曲线的几何性质1椭圆的几何性质例 1：如图，椭圆 2+10xyab的上顶点、左顶点、左焦点分别为 B、 A、 F，中心为 O，其离心率为 32，则 :ABFOS （ ）A 23:B 23:C 23:D 23:【答案】B【解析】由 ABFOBFSS ，得: :ABFOOabc 而 32ca，所以 :23:ABFS ，故选 B2抛物线的几何性质例 2：已知抛物线 2:0Cypx的焦点为 F，准线 :1lx，点 M在抛物线 C上，点M在直线 :1lx上的射影为 A，且直线 的斜率为 3，则 AF 的面积为（ ）A 3B 23C 4D 83【答案】C【解析】2设准线 l与 x轴交于点
2、 N，所以 2F，因为直线 AF的斜率为 3，所以 60AFN，所以 4AF，由抛物线定义知， MAF，且 60AFN，所以 MAF 是以 4 为边长的正三角形，其面积为 234故选 C3双曲线的几何性质例 3：已知点 P是双曲线21364xy的右支上一点， M， N分别是圆 2104xy和210xy上的点，则 PMN的最大值为_ 【答案】15【解析】在双曲线21364xy中， 6a， 8b， 10c，10,F， 2,0， 12PF，1MP， N， 1215PMNFPNF对点增分集训一、单选题1抛物线 20ypx上的动点 Q到其焦点的距离的最小值为 1，则 p（ ）A B1 C2 D4【答案】
3、C【解析】抛物线 20ypx上的动点 Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： 12p， 2本题选择 C 选项2设点 1F， 2是双曲线213yx的两个焦点，点 P是双曲线上一点，若 1234PF，则 P 的面积等于（ ）3A 53B 315C 45D 210【答案】B【解析】据题意， 1243PF，且 12PF，解得 18PF， 26又 124F，在 12 中由余弦定理，得211227cos 8从而 12125sincos8PFP，所以 125683PFS ，故选 B3经过椭圆 xy的一个焦点作倾斜角为 4的直线 l，交椭圆于 M， N两点，设
4、O为坐标原点，则 OMN等于（ ）A 3B 13C 13D 12【答案】C【解析】椭圆方程为21xy， 2a， 1b， c，取一个焦点 1,0F，则直线方程为 1yx，代入椭圆方程得 2340x， ,1M， 4,3N，所以 13OMN，故选 C4过抛物线 2ym的焦点作直线交抛物线于 P， Q两点，若线段 P中点的横坐标为 3， 54PQ，则 （ ）A4 B6 C8 D10【答案】B【解析】设 P的坐标分别为 1,xy， 2,，线段 PQ中点的横坐标为 3，则 123x，12564mQxp，由此解得 6m故选 B5已知双曲线 210,yab的右焦点为 F，点 A在双曲线的渐近线上，OAF是边长
5、为 2 的等边三角形（ O为原点） ，则双曲线的方程为（ ）A213xyB213yx4C214xyD214xy【答案】B【解析】双曲线 210,xyab的右焦点为 F，点 A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为 2 的等边三角形（ 为原点） ，可得 2c， 3ba，即2，23ca，解得 1a，3b，双曲线的焦点坐标在 x轴，所得双曲线的方程为213yx，故选 B6如图所示， “嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点 P变轨进入以月球球心 F为一个焦点的椭圆轨道 I绕月飞行，之后卫星在 P点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道 绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 F为圆心
6、的圆形轨道 绕月飞行已知椭圆轨道 I和 的中心与 F 在同一直线上，设椭圆轨道 I和 的长半轴长分别为 1a， 2，半焦距分别为 1c， 2，则有（ ）A 12caB 12acC 12caD 12ac【答案】C【解析】设圆形轨道 的半径为 R， 12cR， 11cRa，221caR，由 12知 1c，故选 C7已知双曲线2:14xy，双曲线 2:10xyab的左、右焦点分别为 1F，52F， M是双曲线 2C的一条渐近线上的点，且 2OMF， 为坐标原点，若 216OMFS ，且双曲线 1， 的离心率相同，则双曲线 2C的实轴长是（ ）A32 B4 C8 D16【答案】D【解析】双曲线21:4
7、xCy的离心率为 52，设 2,0Fc，双曲线 2C一条渐近线方程为byxa，可得 22cFMb，即有 2OMcba，由 216OMFS ，可得 162ab，即 32，又 2abc，且 52a，解得 8a， 4， 5c，即有双曲线的实轴长为 16故选 D8已知 是抛物线 2:Cyx的焦点， N是 x轴上一点，线段 FN与抛物线 C相交于点 M，若 2FMN，则 F（ ）A1 B 12C 52D 58【答案】D【解析】由题意得点 F的坐标为 10,8，设点 M的坐标 0,xy，点 N的坐标 ,0a，所以向量： 0,Mxy， 0,Naxy，由向量线性关系可得： 03， 00124y，解得： 012
8、，代入抛物线方程可得： 6x，则 6a，由两点之间的距离公式可得： 58FN故选 D9已知椭圆 211: 0xyCab与双曲线 22:10,xyCabb有相同的焦6点 1F， 2，点 P是曲线 1C与 2的一个公共点， 1e， 2分别是 1C和 2的离心率，若，则 214e的最小值为（ ）A 92B4 C 52D9【答案】A【解析】由题意设焦距为 2c，椭圆长轴长为 1a，双曲线实轴为 2a，令 P在双曲线的右支上，由双曲线的定义 2PF，由椭圆定义 121FPa，又 ， 24c，2 ，得 2112a，将代入，得 221ac，22 11214559ace，故选 A10已知 F为抛物线 2:4C
9、yx的焦点， A， B， C为抛物线 上三点，当AB0时，称 为“和谐三角形” ，则“和谐三角形”有（ ）A0 个 B1 个 C3 个 D无数个【答案】D【解析】抛物线方程为 24yx， A， B， 为曲线 上三点，当 FABC0时， F为 C 的重心，用如下办法构造 ，连接 并延长至 D，使 12FA，当 D在抛物线内部时，设 0,Dxy，若存在以 为中点的弦 BC，设 1,Bmn， 2,C，则 20x， 10ny， 12BCnkm，7则214nm，两式相减化为 124nm，120BCky，所以总存在以 D为中点的弦 BC，所以这样的三角形有无数个，故选D11已知双曲线 21:0,xyab的
10、左右焦点分别为 1F， 2，椭圆2:34xy的离心率为 e，直线 MN过点 2F与双曲线交于 M， N两点，若112coscosFMN，且 1，则双曲线 1的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）A 30， 15B 45， 13C 60， 12D 15， 6【答案】C【解析】由题 112coscosFMN， 112FMN， 12Fc，由双曲线的定义可得| |ac，椭圆2:134xy的离心率为： 4312e， 12eFN ， 14Fc，2NFca，在 12M 中，由余弦定理的 22144coscacaFM，8在 12NF 中，由余弦定理可得： 22214164coscacacFN， 1212M， 121
11、2ss0M，即20ca，整理得 ，22+327=0设双曲线的离心率为 1e， 21370e，解得 12e或 3（舍） 24ab， 2ab，即 双曲线的渐近线方程为 3yx，渐近线的倾斜角为 60， 1故选 C12已知 P为椭圆243xy上一个动点，过点 P作圆 21xy的两条切线，切点分别是 A， B，则 的取值范围为（ ）A 3,2B 56,29C 5623,9D 23,【答案】C【解析】如图，由题意设 AP，则 1tanAPB， 211cos2coscstanPAB，设 cos2t，则 2313Ptttt ，当且仅当 1t，即 12时等号成立，此时 cos9又当点 P在椭圆的右顶点时， 1
12、sin3， 27cos1sin9，此时 AB最大，且最大值75691 P的取值范围是 23,9，故选 C二、填空题13已知过抛物线 2yx的焦点 F，且斜率为 3的直线与抛物线交于 A、 B两点，则AFB_【答案】 12【解析】由 yx知 1p，由焦点弦性质 12+AFBp，而 +2AFBFpAB 14已知椭圆21xya的左、右焦点为 1F、 2，点 1关于直线 yx的对称点 P仍在椭圆上，则 12PF 的周长为 _【答案】 【解析】设 1,0c， 2,0Fc，1F关于直线 yx的对称点 P坐标为 ,，点 P在椭圆上，则： 21ca，则 1b， 22ac，则 2a，故 12 的周长为： 2F1
13、015 P为双曲线2149xy右支上一点， 1F， 2分别为双曲线的左、右焦点，且120F，直线 2PF交 轴于点 A，则 P 的内切圆半径为_【答案】2【解析】 12， 1 的内切圆半径为 r， 112PFAr， 212PFaAFr， 24，由图形的对称性知： 21， 2r故答案为 216已知直线 l与椭圆 20,xyab相切于第一象限的点 0,Pxy，且直线 l与x轴、 y轴分别交于点 A、 B，当 O ( 为坐标原点)的面积最小时，1260FP( 1、 2F是椭圆的两个焦点)，若此时在 12F 中， 12的平分线的长度为 3am，则实数 的值是_【答案】 52【解析】由题意，切线方程为
14、021xyab，直线 l与 x轴分别相交于点 A， B，20,ax，20,bBy，201AOBabSxy，20021yyaba， 01xab， AOBS ，当且仅当 2xab时，AOB（ 为坐标原点）的面积最小，设 1PFx， 2y，11由余弦定理可得 222443cxyaxy， 243b，123sin60PFSyb， 01c，03byc， c， 53ab，12的内角平分线长度为 m， 2113122xayabm，233axybm， 59b，52，故答案为 5三、解答题17设常数 2t在平面直角坐标系 xOy中，已知点 2,0F，直线 l： xt，曲线 ：280,yxty l与 轴交于点 A、
15、与 交于点 B P、 Q分别是曲线 与线段AB上的动点（1）用 t表示点 B到点 F距离；（2）设 3t， 2FQ，线段 O的中点在直线 FP，求 AQ 的面积；（3）设 8t，是否存在以 P、 F为邻边的矩形 E，使得点 在 上？若存在，求点 P的坐标；若不存在，说明理由【答案】 （1） 2t；（2） 736；（3）存在， 245,P12【解析】 （1）方法一：由题意可知：设 ,2Bt，则 28BFtt， Ft；方法二：由题意可知：设 ,2t，由抛物线的性质可知： pBtt， 2Bt；（2） ,0F， 2Q， 3t，则 1FA， 3A， ,，设 O的中点 D， 32,，023QFk，则直线
16、PF方程： 32yx，联立 28yx，整理得： 2301x，解得： 3， 6（舍去） ， AQP 的面积 7326S；（3）存在，设2,8yP，2,8mE，则 81Fyk，28FQyk，直线 QF方程为 216yx， 2216438Qyy，243y，根据 PE，则2248,y，24868y，解得： 2165，存在以 FP、 Q为邻边的矩形 FPEQ，使得点 在 上，且 245,P1318与椭圆相交于 A、 B两点， 2F关于直线 1l的对称点 E在椭圆上斜率为 1的直线 2l与线段 B相交于点 P，与椭圆相交于 C、 D两点（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形 ACBD面积的取值范围【答案】
17、 （1）2184xy；（2） 32,9【解析】 （1）由椭圆焦距为 4，设 1,0F， 2,，连结 1EF，设 12，则 tanbc，又 22ac，得 sinba， cos，12901|iFaceEb，解得 2abcc， 28a，所以椭圆方程为2184xy（2）设直线 2l方程： yxm， 1,Cxy、 2,D，由 184xym，得 223480，所以1238xm，由（1）知直线 1l： yx，代入椭圆得 26,3A， 26,3B，得 83AB，14由直线 2l与线段 AB相交于点 P，得 46,3m，222 21211 848 193mCDxxx，而 2lk与 1l，知 2l， 16ACBDS，由 46,3m，得 3,0m，所以 2332,99m，四边形 ACBD面积的取值范围 2,93
