1、1第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷 已知零点求参数范围T 92018 卷 函数零点个数的判断T15卷 指数对数互化运算及大小比较T 112017 卷 已知零点求参数值T112016 卷 指数函数与幂函数的大小比较T 61.基本初等函数作为高考的命题热点，多考查利用函数的性质比较大小，一般出现在第511题的位置，有时难度较大2.函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，近几年全国课标卷考查较少，但也要引起重视，题目可能较难.基本初等函数授课提示：对应学生用书第7页悟通方法结论1利用指数函数与对数函数的性质比较大小(1)底数相同、指数
2、不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较(2)底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较2对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次利用性质求解全练快速解答1(2017高考全国卷)设 x， y， z为正数，且2 x3 y5 z，则( )A2 x1，因为 ， ，所以 ，所以 b0,0cb解析：法一：因为 0log2 12 12 12，排除A；4 22 ，排除C； 41和01时，两函数在定义域内都为增函数；当00和 0时， f(x)ln x x1
3、，则函数 g(x) f(x)e x(e为自然对数的底数)的零点个数是( )A0 B1C2 D3解析：当 x0时， f(x)ln x x1， f( x) 1 ，所以 x(0,1)时， f( x)0，此时 f(1x 1 xxx)单调递增； x(1，)时， f( x)0时， f(x)max f(1)ln 1110.根据函数 f(x)是定义在R上的奇函数作出函数 y f(x)与 ye x的大致图象，如图所示，观察到函数 y f(x)与 ye x的图象有两个交点，所以函数 g(x) f(x)e x(e为自然对数的底数)有2个零点. 答案：C(2)(2017高考全国卷)已知函数 f(x) x22 x a(
4、ex1 e x1 )有唯一零点，则 a( )A B.12 13C. D112解析：法一： f(x) x22 x a(ex1 e x1 )( x1) 2 aex1 e ( x1) 1，令t x1，则 g(t) f(t1)t 2 a(ete t )1. g(t)(t) 2 a(et e t)1 g(t)，函数 g(t)为偶函数 f(x)有唯一零点， g(t)也有唯一零点又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)0，2 a10，解得 a .12故选C.法二： f(x)0 a(ex1 e x1 ) x22 x.ex1 e x1 2 2，ex 1e x 15当且仅当 x1时取“” x22 x( x
5、1) 211，当且仅当 x1时取“”若 a0，则 a(ex1 e x1 )2 a，要使 f(x)有唯一零点，则必有2 a1，则 a .12若 a0，则 f(x)的零点不唯一故选C.答案：C(3) (2018高考全国卷)已知函数 (x)Error! g(x) (x) x a.若 g(x)存在2个零点，则 a的取值范围是( )A1,0) B0，)C1，) D1，)解析：令 h(x) x a，则 g(x) (x) h(x)在同一坐标系中画出 y (x)， y h(x)图象的示意图，如图所示若 g(x)存在2个零点，则 y (x)的图象与 y h(x)的图象有2个交点，平移 y h(x)的图象，可知当
6、直线 y x a过点(0,1)时，有2个交点，此时10 a， a1.当 y x a在 y x1上方，即 a1时，仅有1个交点，不符合题意当 y x a在 y x1下方，即 a1时，有2个交点，符合题意综上， a的取值范围为1，)故选C.答案：C1判断函数零点个数的3种方法2利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法6练通即学即用1(2018福州质检)已知 f(x)Error!，若函数 g(x) f(x) k有两个零点，则两零点所在的区间为( )A(，0) B(0,1)C(1,2) D(1，)解析：在平面直角坐标系内作出函数 f(x)的图象如图所示，由图易得若函数 g(x) f(x) k有两
7、个零点，即函数 f(x)的图象与直线 y k有两个交点，则 k的取值范围为(0,1)，两个零点分别位于(1,2和(2，)内，故选D.答案：D2(2018洛阳名校联考)若函数 f(x)满足 f(x1) ，当 x1,0时， f(x)1fx 1 x，若在区间1,1)上， g(x) f(x) mx m有两个零点，则实数 m的取值范围是_解析：因为当 x1,0时， f(x) x，所以当 x(0,1)时， x1(1,0)，由 f(x1) 可1fx 1得， x1 ，所以 f(x) 1，作出函数 f(x)在1,1)上1fx 1 1x 1的图象如图所示，因为 g(x) f(x) mx m有两个零点，所以 y f
8、(x)的图象与直线 y mxm有两个交点，由图可得 m(0， 12答案：(0， 12函数的实际应用7授课提示：对应学生用书第8页悟通方法结论解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知是什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答(2018湖北七市(州)联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量 P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为
9、 P P0e kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为_小时解析：前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90% ，即t5时， P0.9 P0，代入，得(e k)50.9，e k ， P P0e kt P0( )t.当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时 P0.81 P0，代入得0.81( )t，解得t10，即需要花费10小时答案：10应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序： 读 题文 字 语 言 建 模数 学 语 言 求 解数 学 应 用 反 馈检 验 作 答(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应
10、用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答练通即学即用1(2018保定二模)李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为 L甲 5 x2900 x16 000， L乙 300 x2 000(其中 x为销售辆数)，若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为( )A11 000元 B22 000元C33 000元 D40 000元解析：设甲连锁店销售 x辆，则乙连锁店销售(110 x)辆，故利润 L5 x2900 x16 000300(110 x)2 0005 x2600 x15 0005( x60) 233 8000，当 x60时，有最大利润33 000元答
11、案：C2衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为 a，经过t天后体积 V与天数t的关系式为： V ae kt.已知新丸经过50天后，体积变为 a.若一个新丸体49积变为 a，则需经过的天数为( )827A125 B100C75 D50解析：由已知，得 a ae50 k，e k .49 (49)设经过t 1天后，一个新丸体积变为 a，827则 a ae kt1，827 (e k)t1 ，827 (49) ，t 175.t150 32答案：C授课提示：对应学生用书第117页一、选择题1函数 y ax2 1( a0且 a1)的图象恒过的点是( )A(0,0) B(0，1)C(2,
12、0) D(2，1)解析：令 x20，得 x2，所以当 x2时， y a010，所以 y ax2 1( a0且 a1)的图象恒过点(2,0)答案：C2设 alog 3 2， bln 2， c ，则( )A cba B abcC acb D bac9解析：因为eac.故选D.1512答案：D3(2018长郡中学模拟)下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是( )A f(x)sin xB f(x) x31C f(x)log 2( x)x2 1D f(x)1 2x1 2x解析：依题意，对于选项A，注意到 f(0) f()，因此函数 f(x)sin x在其定义域上不是增函数；对于选项B，注意到 f(
13、x)的定义域为R，但 f(0)10，因此函数 f(x) x31不是奇函数；对于选项C，注意到 f(x)的定义域是R，且 f( x)log 2( x)log 2 log 2( x) f(x)，因此 f(x)是奇函数，且 f(x)x2 11x2 1 x x2 1在R上是增函数；对于选项D，注意到 f(x) 1 在R上是减函数故选C.1 2x1 2x 21 2x答案：C4函数 f(x)|log 2 x| x2的零点个数为( )A1 B2C3 D4解析：函数 f(x)|log 2 x| x2的零点个数，就是方程|log 2 x| x20的根的个数令 h(x)|log 2 x|， g(x)2 x，画出两
14、函数的图象，如图由图象得 h(x)与 g(x)有2个交点，方程|log 2 x| x20的解的个数为2.答案：B5(2018河南适应性测试)函数 y ax a(a0， a1)的图象可能是( )10解析：由函数 y ax a(a0， a1)的图象过点(1,0)，得选项A、B、D一定不可能；C中00且 a1.故 a的取值范围是(0,1)(1，). 故选C.答案：C10(2018高考全国卷)设 alog 0.20.3， blog 2 0.3，则( )A a b ab0 B ab a b0C a b0 ab D ab0 a b解析： alog 0.20.3log 0.210， blog 20.3log
15、 210， ab0. log 0.30.2log 0.32log 0.30.4，a bab 1a 1b1log 0.30.3log 0.30.4log 0.310，0 1， ab a b0.a bab故选B.答案：B11若函数 f(x)Error!的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数 a的取值范围是( )A. B. (1，e)(0，1e) (0， 1e)C(1，) D(0,1)(1，)解析：若函数 f(x)的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则函数 y ax a， x0的图象与 y xln x的图象有且只有两个交点，函数 y ax a， x0的图象与函数 y xln x的图象均过点(1,
16、0)当01时，函数 y xln x的导数 y1.故当 a0或 a1时，函数 y ax a， x0的图象与函数 y xln x的图象有且只有一个交点，所以使得 y ax a， x0的图象与函数 y xln x的图象有且只有两个交点的实数 a的取值范围是(0,1)(1，)故选D.答案：D12如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆，垂直于 x轴的直线 l： xt(0t a)经过原点 O向右平行移动， l在移动过程中扫过平面图形的面积为 y(图中阴影部分)若函数 y f(t)的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是( )12解析：选项A，B，D， l在移动过程中扫过平面图形的面积
17、为 y，在中线位置前，都是先慢后快，然后相反选项C，后面是直线增加，不满足题意答案：C二、填空题13(2018高考全国卷)已知函数 (x)log 2(x2 a)若 (3)1，则 a_.解析： (x)log 2(x2 a)且 (3)1，1log 2(9 a)，9 a2， a7.答案：714若幂函数 y( m23 m3) x(m2)( m1) 的图象不经过原点，则实数 m的值为_解析：由Error!解得 m1或2，经检验 m1或2都适合答案：1或215若函数 y |1 x| m的图象与 x轴有公共点，则实数 m的取值范围是_(12)解析：|1 x|0，0 |1 x|1，(12)由题意得0 m1，即
18、1 m0.答案：1,0)16某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本 Q(单位：元/(100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t(单位：天) 60 100 180种植成本 Q(单位：元/(100 kg) 116 84 116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q与上市时间t的变化关系： Q at b， Q at2 bt c， Q abt， Q alogb t.利用你选取的函数，求得：西红柿种植成本最低时的上市天数是_；最低种植成本是_元/(100 kg)解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t60和t180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数 Q a(t120) 2 m描述将表中两组数据(60,116)和(100,84)代入，可得Error! 解得Error!所以 Q0.01(t120) 280.13故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/(100 kg)答案：120 80
