1、12.6.3 直线与圆锥曲线的位置关系1(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过点(2,0)且斜率为 的直线23与 C交于 M， N两点，则 ( )FM FN A5 B6 C7 D8解析 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)由已知可得直线的方程为 y (x2)，即23x y2，由Error!得 y26 y80.32由根与系数的关系可得 y1 y26， y1y28， x1 x2 (y1 y2)45， x1x2 4， F(1,0)，32 y1y2 216 ( x11)( x21) y1y2 x1x2( x1 x2)1 y1y245188，故选 D.FM FN 答案 D2
2、(2017全国卷)已知 F为抛物线 C： y24 x的焦点，过 F作两条互相垂直的直线l1， l2，直线 l1与 C交于 A， B两点，直线 l2与 C交于 D， E两点，则| AB| DE|的最小值为( )A16 B14 C12 D10解析 由题意可知，点 F的坐标为(1,0)，直线 AB的斜率存在且不为 0，故设直线AB的方程为 x my1.由Error! 得 y24 my40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24 m， y1y24， x1 x2 m(y1 y2)24 m22，| AB| AF| BF| x1 x224 m24. AB DE，直线 DE的方程为 x
3、 y1，| DE| 4，1m 4m2| AB| DE|4 m24 44m24 842816，(m21m2)当且仅当 m2 ，即 m1 时，等号成立1m22| AB| DE|的最小值为 16.故选 A.答案 A3(2018全国卷)已知点 M(1,1)和抛物线 C： y24 x，过 C的焦点且斜率为 k的直线与 C交于 A， B两点若 AMB90，是 k_.解析 由题意可知 C的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为 k的直线方程为 x 1，设 A ， B ，将直线方程与抛物线方程联立得Error!整理yk (y1k 1， y1) (y2k 1， y2)得 y2 y40，从而得 y1
4、y2 ， y1y24.4k 4k M(1,1)， AMB90， 0，MA MB 即 ( y11)( y21)0，即 k24 k40，解得 k2.(y1k 2) (y2k 2)答案 24(2018全国卷)设抛物线 C： y24 x的焦点为 F，过 F且斜率为 k(k0)的直线 l与 C交于 A， B两点，| AB|8.(1)求 l的方程；(2)求过点 A， B且与 C的准线相切的圆的方程解 (1)由题意得 F(1,0)， l的方程为 y k(x1)( k0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得 k2x2(2 k24) x k20. 16 k2160，故 x1 x2 .
5、2k2 4k2所以| AB| AF| BF|( x11)( x21) .4k2 4k2由题设知 8，解得 k1(舍去)，或 k1，4k2 4k2因此 l的方程为 y x1.(2)由(1)得 AB的中点坐标为(3,2)，所以 AB的垂直平分线方程为 y2( x3)，即 y x5.设所求圆的圆心坐标为( x0， y0)，则Error!解得Error! 或Error!因此所求圆的方程为( x3) 2( y2) 216或( x11) 2( y6) 2144.3圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第 20题的位置，一般难度较大直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程、定点、定值、最值、范围以及存在性问题都是考查的重点，常与向量、函数、不等式等知识结合解题时，常以直线与圆锥曲线的位置关系为突破口，利用设而不求、整体代换的技巧求解，要注重数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想在解题中的指导作用
