1、1第 2 章 有理数 知识点大贯穿共 3 节内容：2.1 有理数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值本章的重点难点内容总结如下：一、重点：知道什么是正数和负数，什么是有理数，理解数 0 表示的量的意义。难 点 ： 理 解 负 数 、 数 0 表 示 的 量 的 意 义 。1、数的产生和发展：由记数、排序产生数 1、2、3、，由表示“没有” “空位”产生数 0，由分物、测量产生分数、。2、如图所示：像 10、8844、2303 这样大于 0 的数叫做正数，像10、155、11034 这样在正数前面加上“” （负）号的数叫做负数。有时在正数前面也加上“” （正）号，一个数前面的“” “”叫做它的符号
2、。3、数 0 既不是正数，也不是负数。4、正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。5、有理数的分类： 有 理 数 整 数 正 整 数零负 整 数分 数 正 分 数负 分 数 有 理 数 正 有 理 数负 有 理 数 负 整 数负 分 数零 正 整 数正 分 数(1)(2)2典型例题知识点一：正、负数的意义例 1：如果规定前进、收入为正，亏损、公元前为负，那么下列语句错误的是（ ）A. 前进18m 的意义是后退 18mB. 收入4 万元的意义是亏损 4 万元C. 盈利的相反意义是亏损D. 公元300 年的意义是公元后 300 年思路分析：1）题意分析：本题涉及
3、到的知识点是相反意义的量，而相反意义的量是成对出现的。2）解题思路：正、负数仅是为了用来区分具有相反意义的量，哪种意义为正或负，是可以任意选择的。解答过程：选项 A，规定前进为正，则后退为负，前进18m 表示后退 18m，故 A 正确；选项 B，规定亏损为负，则收入4 万元表示亏损 4 万元，故 B 正确；选项 C 正确，盈利和亏损具有相反意义；选项 D，规定公元前为负，则公元300 年表示公元前 300 年，故 D 错误。本题选 D。解题后的思考：只有一对具有相反意义的量才能用正数、负数来表示，此时，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它意义相反的量为负，用负数表示。例 2：在下面四
4、组数：3，2.3， ；，0，2；，0.3，7；， ，2 中，三个数都不是负数的一组是（ ）A. B. C. D. 思路分析：1）题意分析：对“不是负数”要有一个正确的理解， “不是负数”表示“是正数或 0”。2）解题思路：判断正、负数的关键是看它是否大于 0，大于 0 的数是正数，正数前面添上“”号是负数。解答过程：在所给四组数中，三组中的数都是“正数或 0”，都不是负数，故选D。也可用排除法， “都不是负数”表示不能有负数，所以排除。解题后的思考：本题主要考查对数的分类，一定要注意：0 既不是正数也不是负数。不是负数意味着是正数或 0，本题易错选 C，漏掉只包含正数和 0（都不是负数）的第组
5、。例 3：在一次数学测验中，小明得了 75 分，记为15 分，张强和王东分别得了 90 分和355 分，他们的成绩应怎样记呢？思路分析：1）题意分析：小明得了 75 分，记为15 分，说明他超出了标准 15 分，可知当考到60 分时，记为 0，超过 60 分的记为正，不足 60 分的记为负。2）解题思路：张强得了 90 分，与 60 分相比，超出 30 分，记为30 分；王东的成绩是 55 分，与 60 分相比，少了 5 分，记为5 分。解答过程：张强的成绩记为30 分；王东的成绩记为5 分。解题后的思考：在用正、负数表示具有相反意义的量时，通常规定某一数值为标准，超出（或不足）一方记为正时，
6、则不足（或超出）的一方记为负，主要是看它们与标准的差距是多少。小结：本题组主要考查正、负数的意义，学习时应注意以下几点：1、一个数前面的“” 、 “”可以看作是它的性质符号， “”号通常省略， “”号不能省略。2、思维误区：只有带“”号的数是正数，凡不带“”号的数都是正数。3、在利用正、负数解决实际问题时，要充分考虑数的实际意义，合理运用各种表达方式，如图示法可直观表达各数在具体问题中的意义。知识点二：有理数的分类例 4：下列说法中正确的是（ ）A. 有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数B. 一个有理数不是正数就是负数C. 一个有理数不是整数就是分数D. 以上说法都正确思路分析
7、：1）题意分析：本题考查有理数的意义及分类方法。2）解题思路：有理数的分类可按整数、分数分类（二分法） ，也可按正有理数、零、负有理数分类（三分法） 。解答过程：在选项 A 中，把两种分类结果放在一起，分类重复，不正确；一个有理数可能是正数，可能是负数，也可能是 0，所以选项 B 错误；有理数分为整数和分数，0 包括在整数中，所以选项 C 正确。解题后的思考：（1）有理数的分类标准必须一致，即要么按二分法，分成整数和分数，要么按三分法，分成正有理数、零、负有理数，二者不能混为一谈；（2）无论按哪一种分类标准分类，都必须做到分类结果不重不漏，即任意一个有理数都一定属于某一类，并且4只属于这一类。
8、例 5：将下列各数填在相应的数的集合里。3，0，2，7， ， ，3.14，8 848，15%。正整数集合 ；负整数集合 ；负数集合 ；负分数集合 ；非负数集合 ；自然数集合 。思路分析：1）题意分析：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，数的集合可以用椭圆形的圈表示，也可以用大括号表示，用这两种方法表示数时，若这个数集中有无数多个数时，要加“”号。2）解题思路：本题中的“非负数”是指正数和零；自然数是指正整数和零。解答过程：正整数集合7，8 848；负整数集合2；负数集合3，2，3.14，15%；负分数集合3，3.14，15%；非负数集合0，7， ， ，8 848；自然数集合0，7，8 848
9、；解题后的思考：（1）易将正整数集合和自然数集合混淆，0 是自然数，0 既不是正数也不是负数；（2） “非负数”指不是负数的意思，即正数和 0；很多同学容易忽略掉 0。例 6：下面两个圈分别表示负数集合和整数集合，请按要求设计方案：（1）请在每个圈内填入 5 个数，其中有 3 个既是负数又是整数，这 3 个数应填在哪里？（2）你能说出这两个圈的重叠部分表示什么数的集合吗？ 负 数 集 合 整 数 集 合思路分析：51）题意分析：本题是一道方案设计型的题目，主要考查有理数的分类。2）解题思路：负数分为负整数、负分数，整数分为正整数、零、负整数。既是负数又是整数的数是负整数。所以这两个集合的重叠部
10、分表示的是负整数。解答过程：（1）这两个集合的重叠部分既是负数又是整数，如下图所示：（2）这两个圈的重叠部分表示负整数集合。解题后的思考：本题设计新颖，且具有一定的开放性，填写方案不唯一。弄清楚两个圈的重叠部分表示什么数是解决本题的关键。小结：有理数与小学学过的数的区别：（1）整数和分数：在小学数学中整数仅包括自然数，分数也只有正分数。学习了有理数后，引进了负数，整数不只是正整数和零了，还有负整数，分数也有正分数和负分数之分。 （2）奇数和偶数：奇数和偶数的范围扩大了，奇数包括正奇数和负奇数，偶数也包括正偶数、负偶数和零三部分。 （3）数“0”的意义发生了变化：学习有理数后， “0”就不仅只表
11、示“没有”了，也不再表示最小的数了， “0”既不是正数，也不是负数，而是介于正数和负数之间的中性数。二、重点：理解数轴、相反数、绝对值的概念，数轴的画法，以及有理数的大小比较。难 点 ： 从 数 形 结 合 的 观 点 出 发 认 识 相 反 数 和 绝 对 值 、 两 个 负 数 比 较 大 小 。1、数轴（1）一般地，在数学中，人们用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点；通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1、2、
12、3、，从原点向左，用类似的方法依次表示1、2、3、。 43210-5645-6（2）一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度；表示数 a 的点在原点的左边，与原点的距离也是 a 个单位长度。2、相反数6（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。一般地， a 和 a 互为相反数。特别地，0 的相反数仍是 0。（2）在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。（3）多重符号的化简：相反数的意义是化简带“负号”的多重符号的依据，一个数的相反数仅有一个， a 实质上就是 a 的相反数，多重符号的化简有如下规律：“”号的个
13、数不影响化简的结果，可以直接省略；“”号的个数决定最后化简的结果。即：“”号的个数是奇数时结果为负， “”号的个数是偶数时结果为正。3、 绝对值一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 a。由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。（1）当 a 是正数时， a a；（2）当 a 是负数时， a a；（3）当 a0 时， a0。4、有理数比较大小（1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小。5、 利用数轴比较两个有理数的大小 43210-25634-6每个有理数都可以用数轴上
14、的点来表示，在数轴上，右边的数总比左边的数大。知识点理解和训练。知识点一：数轴例 1. 下列数轴的表示不正确的是（ ） 20-150 105-10-2 2-2.ABCD思路分析：1）题意分析：本题考查数轴的画法。2）解题思路：一条完整的数轴要有原点、正方向和单位长度，判断所给四条数轴是否满足数轴的三要素即可。解答过程：所给四个选项中的数轴都有原点和正方向，关键是判断它们的单位长度是7否画得正确。选项 C 是一条规范的数轴，正确；选项 A 和 B 经观察发现，虽然不整齐，但单位长度是一致的，有些时候这样标注也可以。选项 D 错误，2.5 应在2 和3 之间。故选 D。解题后的思考：判断数轴的画法
15、是否正确时，要依据数轴的三要素，即：所画直线要有正方向，有合适的原点，一致的单位长度。例 2. 在数轴上画出表示下列各数的点，并通过数轴排列大小（由小到大） ，43210-256345-6思路分析：1）题意分析：先在数轴上画出所给各数，然后利用数轴比较它们的大小。2）解题思路：比较两个数的大小时，首先把两个数在数轴上的对应点找出来，然后依据“数轴上右边的数总比左边的数大”来判断。解答过程：如图所示，将上述已知数按从小到大的顺序排列为： 43210-256345-6 1 .5.8解题后的思考：本题尤其要注意两个负数的大小比较，先在数轴上找出它们的对应点，再判断大小。小结：规定了原点、正方向和单位
16、长度的直线叫做数轴，这里包含三个内容：第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；第二是数轴的三个要素原点、正方向、单位长度，缺一不可；第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是有规定的，通常取向右为正方向。在数轴上画出各数的对应点通常有两步：画数轴（三要素要齐） ；找出各数的点，并用实心小圆点表示，且在该点标上数或字母，如在数轴上标出 134与所表示的点，应将 0 与1 两点间的线段四等分，靠近原点 14个单位的点标为，靠近1 且距其 4个单位的点标为 34，这里容易标错，要注意。知识点二：相反数例 3. 下列语句中，正确的个数是（ ）8符号相反的两个数叫做互为相反数；互为相反数的两个
17、数不一定一个是正数，一个是负数；相反数和我们以前学过的倒数是一样的。A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个思路分析：1）题意分析：本例要求准确理解相反数的定义；只有符号不同的两个数才互为相反数。其中“只有”指的是除了符号不同以外其他完全相同。2）解题思路：依据相反数的定义进行判断，是把相反数和倒数的概念进行比较。解答过程：错，符号相反的两个数不一定互为相反数，如“2”和“5”虽然符号相反，但它们不是互为相反数；对，因为 0 的相反数是 0，但 0 既不是正数也不是负数；错，相反数和我们以前学过的倒数是两种截然不同的概念，互为相反数对符号提出了要求，但倒数对此没有限定。故选 B。
18、解题后的思考：对于类似的说理判断题，应注意数 0 的特殊性，0 的相反数是它本身。例 4. 对下列带有多重符号的数进行化简。题意分析：本题要求根据相反数的意义把多重符号化为单一符号，正号可以省略。解题后的思考：多重符号的化简方法：多重符号的结果是由“”号的个数决定的，与“”号无关，如果“”号的个数为奇数个，则结果为“” ，如果“”号的个数为偶数个，则结果为“” 。小结：（1） “0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分，千万不要把它漏掉。 （2）相反数是成对出现的，不能单独存在。例如，5 和5 互为相反数，是说5 是5 的相反数，5 也是5 的相反数，单独一个数不能说是相反数。 （3） “只有
19、符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就9是互为相反数。知识点三：绝对值例 5. 下列语句中，正确的个数是（ ）有理数的绝对值一定是正数；如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数。A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个思路分析：1）题意分析：本题要求准确把握绝对值的含义。2）解题思路：错，有理数的绝对值一定是非负数，而不一定是正数，因为 0 的绝对值是 0，不是正数；错，两个数的绝对值相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数；对
20、，因为正数的绝对值就是它本身；错，正数和 0 的绝对值都等于它本身，所以一个数的绝对值是它本身，那么这个数为正数或 0。解答过程：A解题后的思考：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。例 6. 若有理数 a、 b 在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A. a b B. a b C. a b D. a b0思路分析：1）题意分析：本题主要考查绝对值的几何意义。2）解题思路：由图可知， b 所对应的点到原点的距离比 a 所对应的点到原点的距离大，即 b a。解答过程：D解题后的思考：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离。离原
21、点的距离越远，绝对值越大。由于距离总是正数或零，故有理数的绝对值不可能是负数，因此，无论是绝对值的几何意义还是代数意义都揭示了绝对值的一个重要性质非负性。即对任意有理数 a，都有 a0。例 7. 比较大小：（1）6 与9；（2） 567与。思路分析：1）题意分析：本题要比较大小的两数均为负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。102）解题思路：比较两个负数的大小，应先求出两个负数的绝对值，再比较绝对值的大小，最后确定两个负数的大小。解题后的思考：比较两个负数的大小的步骤：先求两个数的绝对值；比较两个数的绝对值的大小；根据法则确定原数的大小。小结：解绝对值的问题时要注意以下三点：距离不能为负，任何一个有理数的绝对值都是非负数，零是绝对值最小的数；绝对值为正数的有理数有两个，它们互为相反数；两个互为相反数的数的绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数。
