1、2.3.2 抛物线的简单几何性质 课标解读 1掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质(重点) 2会用抛物线的简单性质解决与抛物线相关的问题(难点) 3会用方程、数形结合思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及焦点弦、中点弦等问题(重点，难点),抛物线的几何性质(完成下表),教材知识梳理,x0， yR,x0， yR,xR， y0,xR， y0,x轴,y轴,O(0，0),e1,向右,向左,向上,向下,知识点 抛物线的几何性质 探究1：观察下列图形，探究以下问题：,核心要点探究,(1)观察焦点在x轴的抛物线与双曲线及椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？ 提示 抛物线与另两种曲线相比较，有
2、明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；双曲线虽然不是封闭曲线，但是有两支，有两个顶点，两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心,(2)根据图形及抛物线方程y22px(p0)如何确定横坐标x的范围？,探究2：观察下面表格，探究以下问题：,(1)抛物线是中心对称图形吗？它有渐近线吗？ 提示 抛物线不是中心对称图形，也没有渐近线 (2)观察表中抛物线图像上点与焦点和准线的距离的联系，结合抛物线离心率的概念探究抛物线离心率的大小 提示 抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比，叫作抛物线的离心率，通过抛物线的定义及图形特点易得抛物线的离心率为1.,(3
3、)观察图形，分析抛物线的顶点坐标，以及对称性分别是什么？ 提示 所有抛物线的标准形式都有顶点(0，0)焦点在x轴上时抛物线图像关于x轴对称，焦点在y轴上时抛物线图像关于y轴对称,已知A，B是抛物线y22px(p0)上不同的两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程 【自主解答】 如图所示设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，y0)，,题型一 抛物线方程及其几何性质,例1,规律总结 根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论,1(1)抛物线y24x
4、的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且AFO120(O为坐标原点)，AKl，垂足为K，则AKF的面积是_ (2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y22px(p0)上，求这个三角形的边长,变式训练,过点(3，2)的直线与抛物线y24x只有一个公共点，求此直线方程,题型二 直线与抛物线的位置关系,例2,规律总结 直线与抛物线位置关系的判断方法 设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20. (1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合 (2)若k2
5、0，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当0时，直线与抛物线相离，无公共点,2已知直线l：yk(x1)与抛物线C：y24x.问：k为何值时，直线l与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？,变式训练,若直线与抛物线有一个交点，则k20或k20时， 0.解得k0或k1. 所以当k0或k1时，直线l和抛物线C有一个交点 若直线与抛物线无交点，则k20且1或k1或k1时，直线l和抛物线C无交点,(1)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线yx与抛物线C交于A，B两点若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为_ (2)已知A，B为抛物线E上不同的
6、两点，若抛物线E的焦点为(1，0)，线段AB恰被M(2，1)所平分 求抛物线E的方程； 求直线AB的方程,题型三 与抛物线有关的中点弦问题,例3,【答案】 (1)y24x (2)见解析,规律总结 中点弦问题解题策略两法,3已知抛物线y26x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.,变式训练,专题四 抛物线中的定值、定点问题,例4,规律总结 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值，过定点的问题，解决这类问题的方法有很多，例如斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这类问题的关键是代换和转化有时利用数形结合思想可以达到避繁就简、化难为易、事半功倍的效果,4如图，过抛物线y2x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值,变式训练,(12分)已知抛物线x24y，点P是抛物线上的动点，点A的坐标为(12，6)，求点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值,规范解答(六) 抛物线的性质在求最值中的应用,典例,典题示例,在抛物线y4x2上求一点，使这点到直线y4x5的距离最短,典题试解,
