1、椭圆及其标准方程,仙女座星系,星系中的椭圆,青藏铁路昆仑山隧道,“传说中的”飞碟,问题的提出：,若将一根细绳两端分开并且固定在平面内的 F1、F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖M把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？,思考,1.在椭圆形成的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ 2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ 3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？,(2a2c),（一）椭圆的定义,平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数 （2a） （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 定点F1、F2叫做椭圆的焦点
2、。 两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。,椭圆定义的文字表述：,椭圆定义的符号表述：,M,F2,F1,小结：椭圆的定义需要注意以下几点,1.平面上-这是大前提 2.动点M到两定点F1，F2的距离之和是常数2a 3.常数2a要大于焦距2C,思考：,1.当2a2c时,轨迹是（ ）,椭圆,2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以F1、F2为端 点的线段 3.当2a2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆,取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。,设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a，则F1(
3、-c,0)、F2(c,0)。,由定义知：,将方程移项后平方得：,两边再平方得：,标准方程的推导:,由椭圆定义知：,两边同除以 得：,这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x轴上。,如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：,它也是椭圆的标准方程。,标准方程的推导:,椭圆的标准方程,快速练习：判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。,答：在 X 轴。（-3，0）和（3，0）,答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）,判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：,哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.,例1: 已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的
4、距离之和为10, 求:该椭圆的标准方程 .,解:,1.确定焦点在那条轴上。2.求出a,b的值。,求椭圆的标准方程的关键：,因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方程为:,例2：求下列椭圆的焦点和焦距。,故:,解：因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，并且,解：因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，并且,所以椭圆的焦点为: 焦距为2.,例2：求下列椭圆的焦点和焦距。,（2）,解：将方程化成标准方程为：,因为:168,所以椭圆的焦点在y轴上，并且,所以椭圆的焦点为: 焦距为: .,分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距,答：焦点（-3，0）（3，0）焦距 2c=6,答：焦点（0，-12）（0，12）焦距 2c=24,练习2：,（2） ，焦点在y轴上；,（1） ，焦点在x轴上；,写出适合下列条件的椭圆的标准方程:,答 案:,小结：,1、椭圆的定义.2、字母a,b,c之间的大小关系.,3、在求椭圆方程的关键是什么?,本次课到此结束， 再见！,
