1、曲线与方程,在平面直角坐标系中，作出第一、三象限角平分线 l ？,问题情境,l,下列方程中哪一个表示问题情境中的直线 l，为什么？你能举例并利用集合的知识加以阐述吗？,数学活动,（1） x-y = 0,方程（1）是表示直线的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线 l 的方程。,l,(1)直线l上的点的坐标都是方程x-y = 0的解；,以方程x-y = 0的解为坐标的点都在直线l上。,即：直线上所有点的集合与方程的解的集合之间建立了一一对应的关系,也即：,直线,方程,直线l 叫方程x-y=0的直线，方程x-y=0叫直线l 的方程,(2)中直线l上的点的坐标不全是方程 的解，如（-1，-1）等，
2、即 “直线上的点的坐标不都是方程的解” 。,（3）中虽然“直线l上的点的坐标都是方程的解“，但以方程x2-y2=0的解为坐标的点不全在直线l上，如点（1，-1）等，即 “以方程的解为坐标的点不都在直线上” 。,（4）中类似（2）（3）得出 “直线上的点的坐标不都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点不都在直线上”。,直线l上的点的坐标都是方程Ax+By+C = 0的解；,以方程Ax+By+C = 0 的解为坐标的点都在直线l上。,即：,直线l,方程,归纳提升：,直线l 叫方程Ax+By+C=0的直线，方程Ax+By+C=0叫直线l 的方程,抛物线,推广：,任意曲线C,?,方程：F（x,y）=0,
3、即：任意的曲线和二元方程是否能都建立这种对应关系呢？,也即：方程F（x,y）=0的解与曲线C上的点的坐标具备怎样的关系就能用方程F（x,y）=0表示曲线C，同时曲线C也表示着方程F（x,y）=0？为什么要具备这些条件？,类比：,方程：y = x2,一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C上的点与一个二元方程 的实数解 建立了如下的关系：,曲线C上的点的坐标都是这个方程的解；,以这个方程的解为坐标的点都在曲线C上，,那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.,数学建构,变换表达，强化理解,点动成线，曲线可以看作是由具有某种规律的点组成的集合，记作C；一个二元方程的解可以作为点的坐标，因
4、而二元方程的解也描述了一个点集，记作F。,思考：如何用点集C和点集F间的关系来表达“曲线的方程”和“方程的曲线”定义中的两个关系，进而重新表述以上定义呢？,这样用集合相等的概念定义“曲线的方程”与“方程的曲线”为：,关系（1）指点集C是点集F的子集，关系（2）指点集F是点集C的子集。,变换表达，强化理解,例1、 解答下列问题，且说出各依据了定义中的哪一个关系？,数学应用,例2、下列各题中，图所示的曲线C的方程为所列方程，对吗？如果不对，是不符合关系还是关系？,曲线C是ABC中中线AO方程：x=0,（1）,曲线C是到坐标轴距离相等的点组成的直线方程：xy=0,（2）,曲线C是过点（4，1）的反比
5、例曲线图像方程：,（3）,2,例3、条件甲：“曲线C上的点的坐标都是方程 f (x，y)=0 的解”，条件乙：“曲线C是方程 f (x，y)=0 的图形”，则甲是乙的 条件,分析：由方程的曲线定义知,甲,乙，,但,乙,甲,必要非充分,（1）“曲线上的点的坐标都是这个方程的解” ，阐明曲线上没有坐标不满足这个方程，也就是说 曲线上所有的点都符合这个方程而毫无例外.,（纯粹性-不杂）.,（2）“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏.,（完备性-不漏）.,由曲线的方程的定义可知， 如果曲线 C 的 方程是f (x，y)=0，那么点P0(x0 ，y0)在曲线C
6、上的充要条件是,f(x0，y0)=0 .,解题回顾,例4、已知一座圆拱桥的跨度是36m，圆拱高为6m，求圆拱的方程,解：以圆拱所对的弦AB所在的直线 为x轴，AB的垂直平分线为y轴， 建立直角坐标系xoy（如图所示），,则圆拱所在圆的圆心在y轴上，可设为O1(0,b),圆拱所在圆的半径为r,B(18,0),C(0,6),建立坐标系,即,又点B(18,0),C(0,6)在圆上，故,解得 b=-24,r=30,由于圆拱只是它所在的圆位于x轴上方的一部分（含x轴上的点）,所以，圆拱的方程是,查漏除杂,设点的坐标,代(把条件坐标化),解题回顾,【解题回顾】 求轨迹方程时最后切忌不要忘记查漏除杂！,巩固练习,本节课我们通过实例的研究，掌握了“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义，在领会定义时，要牢记关系、两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足了“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备完备性。,只有符合关系（1）（2），才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题。这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法解析法。,回顾反思,感谢各位领导、专家莅临指导！,
