1、1.3.2利用导数研究函数的极值,复习:,如果在某个区间内恒有 ,则 为常数.,单调性的判断方法有哪些？ 单调性与导数有何关系?,f (x)0,f (x)0,设函数y=f(x)在某个区间内可导，,如果f (x)0，则f(x)在此区间为增函数；,如果f (x)0，则f(x)在此区间为减函数；,如果f (x)=0，则f(x)在此区间为常数函数；,2.求函数单调性的一般步骤,求函数的定义域;,求函数的导数 f/（x）;, f/（x）0 得f(x)的单调递增区间;f/（x）0 得f(x)的单调递减区间.,(定义域为R时可省),函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的函数值f (x1)、
2、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右近旁各点处的函数值，相比有什么特点?,观察图像：,一、函数的极值定义,如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),称函数f(x)在点X0处取极大值，记作y极大值=f(x0)；把X0称为函数f(x)的一个极大值点。,函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点，,如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0),称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值=f(x0)；把X0称为函数f(x)的一个极小植点。,函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小值点统称为极值点.,一、函数的极值定义,探究 1、图中有哪些极值点和最值
3、点？2、函数极值点可以有多个吗？极大值一定比极小值大么？3、最值和极值有什么联系和区别?4、端点可能是极值点吗？,总结,（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，而最值是对整体而言。 （2）极大值不一定比极小值大。 （3）极值点不一定是最值点。,观察与思考：极值与导数有何关系？,在极值点处，曲线如果有切线，则切线是水平的。,f (x1)=0,f (x2)=0,f (x3)=0,f (b)=0,结论：设x=x0是y=f(x)的极值点，且f(x)在x=x0是可导的，则必有f (x0)=0,f (x)0,x1,f (x)0,f (x)0,f
4、(x)0,1、如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0，,则f (x0)是极大值；,2、如果在x0附近的左侧f (x)0，,则f (x0)是极小值；,已知函数f(x)在点x0处是连续的，且 f (x0)=0则,二、判断函数极值的方法,x2,当x变化时，y, y的变化情况如下表：,因此，当x=-2时， y极大值=28/3,当x=2时， y极小值=4/3,(-，-2）,(-2，2）,(2，+）,+,+,极大值28/3,极小值 -4/3,三、求可导函数f(x)极值的 步骤：,(2)求导数f (x)；,(3)求方程f (x）=0的根；,(4)把定义域划分为部分区间，画表格,检查f (x)在方
5、程根左右的符号 如果左正右负（+ -），取得极大值,如果左负右正（- +），取得极小值,(1) 确定函数的定义域；,解:,解得 列表:,+,+,所以, 当 x = 3 时, f (x)有极大值 54 ;,当 x = 3 时, f (x)有极小值 54 .,练习1、求函数 的极值:,思考讨论：在区间-3，4上，,的最大值？,可导函数y=f(x)在a,b上的最值步骤如何？,1、求y=f(x)在开区间（a,b)内所有使f (x）=0的点（极值点）； 2、计算函数y=f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。,例2 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c， 当x=-
6、1时取极大值7；当x=3时取得极小值， 求这个极小值及a、b、c的值。,练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.,解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.,由、解得 或,当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无 极值,不合题意.,当a=4,b=-11时,-3/111时, ,此时x=1是极 值点.,从而所求的解为a=4,b=-11.,例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值.(2)若 ,函
7、数f(x)图象上的任意一点的切线斜率为k,试讨论k-1成立的充要条件 .,解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4,a=6.,由于当x0时, 故当x=0时, f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1.,(2)等价于当 时,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2ax-10对一切 恒成立.,由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.,反之,当a1时,g(x)0对一切 恒成立.,所以,a1是k-1成立的充要条件.,1、可导函数的极值点概念及与导数的关系。 2、求极值的方法步骤。 3、极值与最值的联系与区别。 4、求最值的方法步骤。 5、注意：不可导函数也可能有极值点.例如函数y=|x|,它在点x=0处不可导,但x=0是函数的极小值点.故函数f(x)在极值点处不一定存在导数. 作业：,小结,
