1、7.3.1 直线与圆及圆锥曲线,-2-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,求轨迹方程 解题策略一 直接法 例1已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径. (1)求点C轨迹E的方程; (2)当AC不在坐标轴上时,设直线AC与曲线E交于另一点P,该曲线在P处的切线与直线BC交于点Q,求证:PQC恒为直角三角形. 难点突破 (1)利用AC是直径,所以BABC,或C,B均在坐标原点,由此求点C轨迹E的方程; (2)设直线AC的方程为y=kx+2,由 得x2-8kx-16=0,利用根与系数的关系及导数的几何意义,证明QCPQ,即可证明结论.,-3-,解题策略一,解题策略二,
2、解题策略三,-4-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题心得如果动点运动的条件涉及一些几何量的等量关系,那么设出动点坐标,直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程.,-5-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,对点训练1已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,解 (1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,所以圆心为C(0,4),半径为4.,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)
3、2+(y-3)2=2. 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,-6-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-7-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题策略二 相关点法,(1)求曲线C的方程; (2)若动直线l2:y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点,过F1(-1,0), F2(1,0)两点分别作F1Pl2,F2Ql2,垂足分别为P,Q,且记d1为点F1到直线l2的距离,d2为点F2到直线l2的距离,d3为点P到点Q的距离,试探索(d1+d2)d3是否存在最值?若存在,请求出最值.,-8-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,难点突破 (1)设圆C1:x2+y2=R2,根据圆
4、C1与直线l1相切,求出圆的方程为x2+y2=12,由此利用相关点法能求出曲线C的方程. (2)将直线l2:y=kx+m代入曲线C的方程 中,得(4k2+3)x2 +8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判别式、根与系数的关系、直线方程、椭圆性质、弦长公式,结合已知条件能求出(d1+d2)d3存在最大值,并能求出最大值.,-9-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-10-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-11-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-12-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题心得如果动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设
5、出P(x,y),用(x,y)表示出相关点Q的坐标,然后把Q的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.,-13-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,对点训练2已知圆M:x2+y2=r2(r0)与直线l1: 相切,设点A为圆上一动点,ABx轴于B,且动点N满足 ,设动点N的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点,求OPQ面积的最大值.,-14-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-15-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题策略三 定义法 例3已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆
6、N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 难点突破 (1)将圆的位置关系转化为圆心连线的关系,从而利用椭圆的定义求出轨迹方程. (2)在三个圆心构成的三角形中,由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为2,此时动圆圆心在x轴上,由l与圆P,圆M都相切构成相似三角形,由相似比得l在x轴上的截距,利用l与圆M相切得l斜率,联立直线与曲线C的方程,由弦长公式求出|AB|.,-16-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解 由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1; 圆N的圆心为N(1,0
7、),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为 的椭圆(左顶点除外),其方程为 (x-2). (2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22, 所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4. 若l的倾斜角为90,则l与y轴重合,可得|AB|= . 若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交
8、点为Q,-17-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-18-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,解题心得1.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程. 2.涉及直线与圆的位置关系时,应多考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.,-19-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,(1)求轨迹E的方程; (2)设点A,B,C在E上运动,A与B关于原点对称,且|AC|=|BC|,当ABC的面积最小时,求直线AB的方程.,-20-,解题策略一,解题策略二,解题策略三,-21-,解题策略一,解题策略二,解题
9、策略三,-22-,直线和圆的综合 解题策略 几何法 例4已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 难点突破 (1)因圆M是以AB为直径的圆,要证原点O在圆M上,只需证OAOBkOAkOB=-1; (2)联立直线与抛物线的方程线段AB中点坐标圆心M的坐标(含参数)r=|OM|;圆M过点P(4,-2) 参数的值直线l与圆M的方程.,-23-,-24-,-25-,解题心得处理直线与圆的综合问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径
10、、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.,-26-,对点训练4 已知圆O:x2+y2=4,点 ,以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为. (1)求曲线的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.,-27-,-28-,-29-,直线与圆锥曲线的综合 解题策略 判别式法 例5在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: (ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 难点突破 (1)由焦点坐标知c=1,
11、由点P在椭圆上知b,从而求得椭圆方程. (2)求直线方程即求直线方程中的斜率k,截距m,由l同时与椭圆C1和抛物线C2相切,联立两个方程组,由判别式等于0得出关于k,m的两个方程,解之得直线方程.,-30-,解 (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),点P(0,1)在C1上, 所以c=1,b=1, 所以a2=b2+c2=2. 所以椭圆C1的方程为 +y2=1.,(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0, 设直线l的方程为y=kx+m,消去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线l与椭圆C1相切, 所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.,-31-,-32-,解题心得1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 2.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,若二次项系数为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,-33-,(1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方程.,-34-,-35-,-36-,
