1、第3讲 圆锥曲线中的热点问题,高考定位 1.圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，主要以解答题形式考查，往往作为试卷的压轴题之一；2.以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题.对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高的要求，并突出数学思想方法考查.,真 题 感 悟,答案 5,2.(2018北京卷)已知抛物线C：y22px经过点P(1，2).过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.,(1)解 因为抛物线y22px过点(1，2)， 所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x. 由题意知，直线l的
2、斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0).,依题意(2k4)24k210， 解得k1，又因为k0，故k0或0k1. 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2). 从而k3. 所以直线l斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1). (2)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2).,(1)求C的方程； (2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1，证明：l过定点.,(1)解 由于点P3，P4关于y轴对称，由题设知C必过P3，P4.,所以点P2在椭圆C上.,(2)证明 设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2. 如果直线l的斜率
3、不存在，l垂直于x轴. 设l：xm，A(m，yA)，B(m，yA)，,此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足. 从而可设l：ykxm(m1).,由题设可知16(4k2m21)0.,由题设k1k21，故(2k1)x1x2(m1)(x1x2)0.,解之得m2k1，此时32(m1)0，方程有解， 当且仅当m1时，0， 直线l的方程为ykx2k1， 即y1k(x2). 所以l过定点(2，1).,1.圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解.温馨提醒 圆锥曲线上点的坐标是有范围的，在涉及到求最值或范围问题时注意坐标范围的影响.,考
4、 点 整 合,2.定点、定值问题,(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题. 若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m). (2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题.,3.存在性问题的解题步骤：,(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组). (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不
5、存在. (3)得出结论.,(2)当直线l的斜率为0时，|MA|MB|12. 当直线l的斜率不为0时，设直线l：xmy4，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由64m248(m24)0，得m212，,探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.,【训练1】 (2018浙江卷)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y24x上存在不同的两点A，B满足PA
6、，PB的中点均在C上.,所以y1y22y0，因此，PM垂直于y轴.,又a2b2c2，c23，所以a24，b21，,探究提高 1.求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2.定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的.,(1)求椭圆C的方程及离心率； (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.,即四边形ABNM的面积为定值2.,(1)解 设点P坐
7、标为(x，y)，点Q坐标为(0，y).,(2)证明 当两直线的斜率都存在且不为0时，,探究提高 1.动直线l过定点问题.设动直线方程(斜率存在)为ykxt，由题设条件将t用k表示为tmk，得yk(xm)，故动直线过定点(m，0) 2.动曲线C过定点问题.引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.,【训练3】 已知曲线C：y24x，曲线M：(x1)2y24(x1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.,解 设l：xmyn，A(x1，y1)，B(x2，y2).,y1y24m，y1y24n. x1x24m22n，x1x2n2.,直线l方程为xmy2，直线l
8、恒过定点(2，0). (2)直线l与曲线M：(x1)2y24(x1)相切，,整理得4m2n22n3(n3). 又点P坐标为(1，0)，,(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1y1y2n24m22n14n n24m26n144n.又y44n(n3)是减函数， 当n3时，y44n取得最大值8.,解 (1)在ABC中， 由余弦定理AB2CA2CB22CACBcos C(CACB)23CACB4.,消去y得(12k2)x24k2x2k220，8k280，,探究提高 1.此类问题一般分为探究条件、探究结论两种.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若
9、探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论. 2.求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.,(2)易知直线l的斜率存在，设l的方程为yk(x4)，,因为AMF与MFN的面积相等， 所以|AM|MN|，所以2x1x24.,将代入到式，整理化简得36k25.,1.解答圆锥曲线的定值、定点问题，从三个方面把握：(1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关：(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以解出定点坐标. 2.圆锥曲线的范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值.,3.存在性问题求解的思路及策略,(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在. (2)策略：当条件和结论不唯一时要分类讨论； 当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件.,
