1、- 1 -（第 9 题图）上海市金山中学 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1 的展开式中 项的系数为 5x2x2已知直线 经过点 且方向向量为 ，则原点 到直线 的距离为 .l5,02,1Ol3已知全集 UR，集合 , , 230AxxR2,BxmxR若 ，则实数 的值为 .3,CABxR4若变量 满足约束条件 则 的最小值为_.,y12
2、,0,yxzyx5直线 上与点 的距离等于 的点的坐标是 . 2()3xty为 参 数 (2,3)A26某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第13一次遇到红灯的概率是 .7某学校随机抽取 0名学生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） ，其中，上学所 需时间的范围是 ，样本数据分组为 ，,10,2， ， ， 则该校学生上学20,4,608,所需时间的均值估计为 （精确到 1分钟）.8一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记 2 分，取一个
3、白球记 1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种 .9 如图，三棱锥 满足： ， ， ，PABCABPA，则该三棱锥的体积 V 的取值范围是 4APC时时/时时时时x0.0030.00650.02510080604020O- 2 -AA1B1C1BCx yz10 P是双曲线 的右支上一点， 分别是圆 2(5)4xy和2196xy,MN2(5)x上的点，则 P的最大值等于 .11棱长为 1 的正方体 1ABCD及其内部一动点 P，集合 1QPA,则集合 Q构成的几何体表面积为 .12在直角坐标平面 xoy中，已知两定点 1(,0)F与 2(1,)位于动直线:0laxbc的同
4、侧，设集合 Pl 点 与点 到直线 l的距离之差等于 1，2(,)1,R、，记 (,),SxyP,TyQS.则由 T中的所有点所组成的图形的面积是 .二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应 编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 13已知 为实数，若复数 sin21cos1zi是纯虚数，则 z的虚部为（ ） A 2 B 0 C D 2i14已知条件 ：“直线 在两条坐标轴上的截距相等” ，条件 ：“直线 的斜率等于 ”，l l1则 是 的 （ ）充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要ABC条件
5、15如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点 在 轴上，Ax平行于 轴，侧棱 平行于 轴当顶点 在 轴正半轴By1Azy上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是 （ ）该三棱柱主视图的投影不发生变化； A该三棱柱左视图的投影不发生变 化；B该三棱柱俯视图的投影不发生变化；C该三棱柱三个视图的投影都不发生变化D- 3 -16如图，两个椭圆 ， 内部重叠区域的边界记为曲线 ， 是曲1925yx1925xCP线 上任意一点，给出下列三个判断：C 到 、 、 、 四点的距离之和为定值；P0,41F,24,01E2,曲线 关于直线 、 均对称；xy曲线 所围区域面积必小于 C36上述判断中正
6、确命题的个数为（ ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分 14 分)已知复数 1z满足 1i3iz， 2izaR（其中 i是虚数单 位） ，若 12z，求 a的取值范围18(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 7 分，第(2)小题满分 7 分如图，直四棱柱 1ABCD底面 ABCD直角梯形， 90， P是棱 上一点， 2，/2， 13， ， .（1）求异面直线 A与 1BC所成的角；（2）求证： P平面 .19 （本题满分 14 分）本题共有
7、2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，线段 和线段 都是底面圆的OABCD直径，且直线 与直线 的夹角为 ，已知 ， ABCDP（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线 平行于平面 ，并求直线 到平面 的距P离PD CBAD1 C1B1A1- 4 -20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分.阅读：已知 ， 1ab，求 2yab的最小值.,0ab解法如下： 232y ，当且仅当 ba，即 1,2b时取到等号，则 12y的最小值为 3.应用上述解法，求解
8、下列问题：（1）已知 ,0,abc， 1abc，求 1yabc的最小值；（2）已知 1,2x，求函数 82yx的最小值；（3）已知正数 ， 131naa ，13,na求证：22223141nS.- 5 -21 （ 本题满分 18 分）本题共有 3 个小题， 第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分设椭圆 的长半轴长为 、短半轴长为 ，椭圆 的长半轴长为 、短半轴长为 ，若1E1a1b2E2a2b，则我们称椭圆 与椭圆 是相似椭圆已知椭圆 ，其左顶点为 、2ab1E2 :1xyA右顶点为 B（1）设椭圆 与椭圆 是“相 似椭圆” ，求常数 的值；2:1xyFs
9、s（2）设椭圆 ，过 作斜率为 的直线 与椭圆 仅有一个公共2:0GA1k1lG点，过椭圆 的上顶点为 作斜率为 的直线 与椭圆 仅有一个公共点，当 为何值时ED2k2l 取得最小值，并求其最小值；12k（3）已知椭圆 与椭圆 是相似椭圆椭圆 上异于 的任意一点2:12xyHtH,AB，求证： 的垂心 在椭圆 上0,CxyABCME- 6 -金山中学 2016 学年第二学期高二数学期末考试参考答案 2017 年 6 月（考试时间：120 分钟 满分：150 分）一、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5
10、分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1 的展开式中 项的系数为 5x2x102已知直线 经过点 且方向向量为 ，则原点 到直线 的距离为 .l5,02,Ol13已知全集 UR，集合 23AxxR, 2Bxm, 若 ，则实数 m的值为 .3BAC4若变量 满足约束条件 则 的最小值为_ _.,xy12,0,xyzyx45直线 上与点 的距离等于 的点的坐标是 或2()3ty为 参 数 (2,3)A24,3. ,16 某学生在上学的路上要经过 2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概 率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率
11、是 13.927某学校随机抽取 10名学生调查其上学所需时间（单位：分钟） ，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图） ，其中，上学所需时间的范围是 ,，样本数据分组为 )0,2，)20,4， ,60， )8， ,1则该校学生上学所时时/时时时时x0.0030.00650.02510080604020O- 7 -需时间的均值估计为_ _ （精确到 1分钟）.348一个口袋内有 4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记 2分，取一个白球记 1 分，从中任取 5 个球，使总分不少于 7 分的取法有多少种 .89如图，三棱锥 满足： ， ， ，PABCABP2A，则该三棱锥的体积 V 的取
12、值范围是 4A 34,010 P是双曲线2196xy 的右支上一点， 分别是圆 2(5)4xy和,MN2(5)上的点，则 P的最大值等于 .911棱长为 1 的正方体 1ABCD及其内部一动点 P，集合 1QPA,则集合 Q构成的几何体表面积为 .4512在直角坐标平面 xoy中，已知两定点 1(,0)F与 2(1,)位于动直线:0laxbc的同侧，设集合 Pl 点 与点 到直线 l的距离之差等于 1，2(,)1,R、，记 (,),SxyP,TxyQS.则由 T中的所有点所组成的图形的面积是_ _.23二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的
13、相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对 得 5 分，否则一律得零分 13已知 为实数，若复数 sin21cos1zi是纯虚数，则 z的虚部为（ C ） A 2 B 0 C D 2i14已知条件 ：“直线 在两条坐标轴上的截距相等” ，条件 ：“直线 的斜率等于 ”，l l1则 是 的 （ B ）充分非必要条件 必要非充分条件 充要条件 既非充分又非必要条ABC- 8 -AA1B1C1BCx yz件15如图，在空间直角坐标系中， 已知直三棱柱的顶点 在 轴上， 平行于 轴，侧棱xy平行于 轴. 当顶点 在 轴正半轴上运动时，以下关1AzCy于此直三棱柱三视图的表述正确的是 （ B ）该三棱柱主
14、视图的投影不发生变化； 该三棱柱左视图的投影不发生变化；该三棱柱俯视图的投影不发生变化；C该三棱柱三个视图的 投影都不发生变化D16如图，两个椭圆 ， 内部重叠区域的边界记为曲线 ， 是曲1925yx1925xCP线 上任意一点，给出下列三个判断：C 到 、 、 、 四点的距离之P0,41F,24,01E2,和为定值；曲线 关于直线 、 均对称；xy曲线 所围区域面积必小于 C36上述判断中正确命题的个数为（ C ）A0 个 B1 个 C2 个 D3 个三、解答题(本大题满分 76 分)本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17(本题满分 14 分)已知
15、复数 1z满足 1i3iz， 2izaR（其中 i是虚数单位） ，若 12z，求 a的取值范围解： ， ，ii即 ，52a912解得 或4- 9 -18(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题，第(1)小题满分 7 分，第(2)小题满分 7 分如图，直四棱柱 1ABCD底面 ABCD直角梯形， ， 90， P是棱 上一点，2， ， 13， ， 1.（1）求异面直线 A与 BC所成的角；（2）求证： P平面 1解：（1）以 D原点， 分别为 轴, 轴,Dxy轴建立空间直角坐标系,则 ， ， ， . 于是z12,03A10P2,0B1,43C, ,12,3PABC15cos 621异面直线 与
16、所成的角的大小等于 . 1AP1BC5arcos6（2） ， ，0,20,23,01B，1， ， .BCP1CP平 面19 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ，线段 和线段 都是底面圆的直径，且直线OABD与直线 的夹角为 ，已知 ， AD2（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线 平行于平面 ，并求直线 到平面ACPDC的距离PB解： （1）设圆锥的高为 ，底面半径为 ，则 ，hr1，3h圆锥的体积 ；3ShVPD CBAD1 C1B1A1zyx PDO CBAD1 C1B1A1- 10 -（2）证
17、明：由对称性得 ，BDAC/ 不在平面 ， 平面 ，ACPP 平面 ，/C 到平面 的距离即直线 到平面 的距离，B设 到平面 的距离为 ，则由 ，得 ，DdBCDPCVhSdBCDPBD31可得 ， ，143271d721直线 到平面 的距离为 ACPB20 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分.阅读：已知 ， 1ab，求 2yab的最小值.,0ab解法如下： 232y ，当且仅当 ba，即 21,b时取到等号，则 12y的最小值为 3.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知 ,0,abc， 1abc，求 1
18、yabc的最小值；（2）已知 1,2x，求函数 82yx的最小值；（3）已知正数 ， 131naa ，13,na求证：22221341nS.解（1） 13bacbyacabc，- 11 -而 6bacb，当且仅当 13abc时取到等号，则 9y，即 1y的最小值为 9. （2） 8281221081xxxx ，而 0,， 68，当且仅当 128x，即 10,2x时取到等号，则 18y，所以函数 y的最小值为 8. （3） 2221 12313n naaS aa 22 22212 11 3121213nn na 222112312n nnaaaaa 当且仅当 2 时取到等号，则 S. 21 （本
19、题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分设椭圆 的长半轴长为 、短半轴 长为 ，椭圆 的长半轴长为 、短半轴长为 ，若1E1a1b2E2a2b，则我们称椭圆 与椭圆 是相似椭圆已知椭圆 ，其左顶点为 、2ab1E2 :1xyA右 顶点为 B（1）设椭圆 与椭圆 是“相似椭圆” ，求常数 的值；2:1xyFss（2）设椭圆 ，过 作斜率为 的直线 与椭圆 仅有一个公共2:0GA1k1lG点，过椭圆 的上顶点为 作斜率为 的直线 与椭圆 仅有一个公共点，当 为何值时ED2k2l 取得最小值，并求其最小值；12k- 12 -
20、（3）已知椭圆 与椭圆 是相似椭圆椭圆 上异于 的任意一点E2:12xyHtH,AB，求证： 的 垂心 在椭圆 上0,CxyABCME解：（1） 显然椭圆 的方程为 ，12yx由椭圆 与 相似易得：EF当 时， ；2s41s当 时， 0则 或 ；4s1（2）易得 ， ，0,2A1,D可得 的方程分别为 ， ，21,l 2xky12xky依题意联立： ，21yx024111 k又直线 与椭圆 相切，则 （又 ） ，即 ，1lG0102431241 k即 ，121k依题意再联立： ，2yxk024122xk又直线 与椭圆 相切，则 （又 ） ，即 ，2lG021021462k即 ，故 ，21k12k即 ，当且仅当 时取到等号，此时 ，212121k21所以当 时， 取得最小值 k- 13 -（3）证明：显然椭圆 ，由 ，可得 ，12:yxE2t4t即有椭圆 4:2H由椭圆 上的任意一点 ，于是 0,yxC1420yx设 的垂心 的坐标为 ，ABMM,由 得 ，又 ，C0xBA120xyM将 代入 ，得 0xM120xyM20由得 y20又 代入（1）得 ，即 的垂心 在椭圆 上0xM12MyxABCME
