1、- 1 -2018-2019 学年度上学期高三年级第四次模拟考试数学（理科）试题第卷（选择题，共 60 分）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1. 的值为（ ）60sinA. B. C. D . 212321232. 已知平面向量 ， ，且 ，则 =( )(,1)a(,)bxbaxA. 3 B. 1 C. 1 D . 33. 设 nS是等差数列 n的前 项和，若 53，则 5S( )A1 B5 C7 D 94. 函数 的定义域为（ ）0.51log(43)yxA.( ,1) B. ( ,) C.（1，+） D. ( ,1)
2、（1，+）3 345. 设 a R ，则“ a1”是“函数 在定义域上是奇函数”的（ ）xaef)(A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件6. 函数 sin()0yx的部分图象如图所示，设 P是图象的最高点， ,AB是图象与 轴的交点，则 taAPB（ ）A.10 B. 47 C. 87 D.8xA BPyO- 2 -7. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）,xy20,3xy zxyA B1 C D32328. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（ ,lm,）A.若 ； B.若 ；/,/ll则
3、,/mll则C.若 ； D.若 ；,l则 /,/则9. 如图， 是圆 的直径， 是圆 上的点，ABOCD、 O， ， ，则60C45xAyBC的值为（ ）xyA B C D 13323310. 004cos5tan4 （ ）A 2 B 23 C D 2111. 已知等比数列 中， ， ， （其中 为虚数单位，nz12zxyiyixz3i，且 ） ，则数列 的前 2019 项的和为（ ）xyR、 0nA B C Di231i23i31i3112.直线 （ m 为实常数）与曲线 E： 的两个交点 A， B 的横坐标分别为yl: |lnxy，且 ，曲线 E 在点 A， B 处的切线 PA， PB 与
4、 y 轴分别交于点 M， N，有下面21,x21x5 个结论：COA BD第 9 题图- 3 - 的取值集合为 ;21x),2( PAB 可能为等腰三角形；若直线 与 轴的交点为 Q，则 ； ly1|P当 是函数 的零点时， （ O 为坐标原点）取得最小值.1xxgln)(2|A其中正确结论的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13. 抛物线 的准线方程为_2yx14. 设数列 的通项公式为 ，则其前 5 项的和为_na12nna)(*N15. 正方体 的棱长为 2， 是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意1ABC
5、DM两点之间的线段称为球的弦） ， 为正方体表面上的动点，当弦 的长度最大时，PMN的取值范围为_PMN16. 在 ABC 中，内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，且 BC 边上的高为 ，则当a21取得最大值时，角 A 的值为_cb三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17. （本小题满分 12 分）设函数 ，xxxf 2cossin32)(R（）求函数 的最小正周期；)(xf（）保持函数 图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数的图象。在锐角 ABC 中，角 A， B， C 所对应的边分别为 a， b， c，且满足)(xg，求 的取值范
6、围.Acasin23)(g- 4 -18. （本小题满分 12 分）已知某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所分31三个小组分别独立进行该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立。假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的。（）第一小组做了四次实验，求该小组恰有两次失败的概率；（）第二小组做了四次实验，设实验成功与失败的次数的差的绝对值为 X，求 X 的分布列及数学期望；（）第三小组进行实验，到成功了四次为止，已知在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率。19. （本小题满分 12 分）如图，已知三棱柱 A
7、BC-A1B1C1的侧棱与底面垂直， AA1=AB=AC=1，且 AB AC， M 是 CC1的中点， N 是 BC 的中点，点 P 在直线 A1B1上，且满足 。1BAP（）证明： ；AP（）当平面 PMN 与平面 ABC 所成的锐二面角为 时，试求直线 PM 与平面 ABC 所成角的正4弦值大小。BA MPNB1CC1A1- 5 -20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 C： （ ab0）的右焦点为 F(2,0)，过点 F 的2=1xy直线交椭圆于 M、 N 两点且 MN 的中点坐标为（1， ) 2（）求 C 的方程；（）设直线 l 不经过点 P（0， b）且与 C 相交于 A， B 两
8、点，若直线PA 与直线 PB 的斜率的和为 1，试判断直线 l 是否经过定点，若经过定点，请求出该定点；若不经过定点，请给出理由.21. （本小题满分 12 分）已知关于 的函数 ，x22ln,gaxRfxgx（I）试求函数 的单调区间；gx（II）若 在区间 内有极值，试求 a 的取值范围；f0,1（III） 时，若 有唯一的零点 ，试求 .afx0x0（注： 为取整函数，表示不超过 的最大整数，如 ；以x 3,2.6,1.42下数据供参考： ）ln20.6931,ln.9,l51.6,ln79- 6 -请考生在第 （22） （23 ） 二题中任选一题做答， 如果多做， 则按所做的第一题计分
9、.做答时， 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑， 并将所选题号填入括号中.22. （本小题满分 10 分） 选修 4-4： 坐标系与参数方程在极坐标系中， 已知圆 C 的圆心 C( )， 半径 r = 2,43（） 求圆 C 的极坐标方程；（） 若 ， 直线 的参数方程为 为参数） ， 直线 交圆 C0,4l2cos(inxttyl于 A、 B 两点， 求弦长| AB|的取值范围23. （本小题满分 10 分） 选修 4-5： 不等式选讲已知函数 axf2)(（）若不等式 6的解集为 32x，求实数 a 的值；（）在（）的条件下，若存在实数 n使 )()(nfmf成立，求实数 m
10、的取值范围- 7 -数学（理）试题参考答案及评分标准一、选择题（每题 5 分，共 60 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案D C B A A D D C B C D B二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13. 14. 129 15. 16. 1x 2,04三、解答题17.解：（） xxf cossin32)( )62sin(coin3xx4 分所以函数 的最小正周期为 6 分)(xf （）由于 ，故由正弦定理得 ，由于 ，所Acasin23 ACsin2sin30si以 ，又在锐角 ABC 中，所以 8 分sinC由（）知 ，所以 ，10 分)6si(2)(
11、xg )6sin(2)(g又因为 ，所以 ，从而 ，所以 的取值范围6A33A2Ag)(g为 12 分,3(18.解（）该小组恰有两次失败的概率 4 分27814)3(1224CP（）由题可知 X 的取值集合为 。1 分,0则 27814)3(1)0(224CP81403)()32(1)( 43414 X- 8 -6 分8176)31()2(4(440 CXP故其分布列为X 0 2 4P 2788140817，即所求数学期望为 8 分8140EX 4（）由题可知，在第四次成功之前共有三次失败的前提下共有 个基本事件，而满2036C足恰有两次连续失败的基本事件共有 个基本事件24A从而由古典概型
12、可得所求概率为 4 分530136CP可以根据实际情况适当赋分。如第一问 2 分，加重第二问的合理赋分。19.解：以 分别作为 轴正方向建立空间直角坐标系 ，如图，则1ACB、 zyx, xyzA,)0,( )10()()0,(,1BM 是 CC1的中点， N 是 BC 的中点2,NM11BP),0(,设平面 PMN 的一个法向量为 ，则)2,(),2(P ,zyxnMNnP令 ，则021zyx1yx)2,1,(n又平面 ABC 的一个法向量为 ，平面 PMN 与平面 ABC 所成的锐二面角为),(m 4解得 ，此时|4cosn2)()12(21)1,02(P),12(MP 614,cosmM
13、P- 9 -所以直线 PM 与平面 ABC 所成角的正弦值为 。620. 解：（1）设 ，则 ，两式相减得),(),(21yxNM1221byax，2 分02121byax 2121ybxMN 的中点坐标为（1， ) ，且 M、N、F、Q 共线，4 分21202ab2椭圆 C 的方程为 6 分48,22b1482yx（2）设直线 AB: ，联立方程 得：mkxymkxy2 0824)2( mkx设 则 8 分),(),(43yxBA243180kx1PBAk243y 1243xmkx)(243xm1824)(mk 082k， 10 分02kk直线 AB： ，所以直线 AB 过定点 11 分)4
14、(xkxy )2,4(又当直线 AB 斜率不存在时，设 AB： ，则n12nyBA 0BAy- 10 -适合上式，所以直线 AB 过定点 12 分4n )2,4(21.解：（I）由题意 的定义域为)(xg022-)(axg（ i）若 ，则 在 上恒成立， 为其单调递减区间；0)(x),(),(（ ii）若 ，则由 得 ，a0gax2时， ， 时， ，)2,(x)(x),(0)(xg所以 为其单调递减区间； 为其单调递增区间；-4 分0a（II）方法一 )()(2xgf所以 的定义域也为 ，且 ),02322 )() xaxagxf 令 (*),03h则 (*)ax-6)(2（1）当 时, 恒成
15、立,所以 为 上的单调递增函数，又0)(xh)(xh),0，所以在区间 内 存在唯一一个零点 ，由于 为-)(2)0(hh 100x)(h上的单调递增函数，所以在区间 内,),(，10)(0)()( 0 xxfxhxfx从而 在 ， 所以此时 在区间 内有f ） 单 调 递 增，在 区 间 （单 调 递 减 1,0 )(f),0(唯一极值且为极小值 ， 适合题意)(xfa（2）当 时 ,即在区间(0,1)上 恒成立,a)0(,)23xh )(xf此时, 无极值.)(xf综上所述,若 在区间 内有极值，则 a 的取值范围为 .-8 分)(f)1,0( )0,(- 11 -(III) ,由（II）
16、且 知 时 , .0a3)1(f1,0(x0)(xf1由(*)式知， 。） 单 调 递 增，） 单 调 递 减 ， 在 区 间 （，在 区 间 （ 66( aaxh由于 ，所以 ，02)(0)(,0xh），（又由于 ，)6(ah 052)1()(2)1( 233 aa所以 ），（且） 内 有 唯 一 零 点 设 为，在 区 间 （ 16,0)( 1xx亦即 ，f 1） 内 有 唯 一 零 点，在 区 间 （ 由 ） 单 调 递 增，在 区 间 （ 6)(axh从而得 0)(,)(,(0)(,)(,011 xfhxxfh 即，；即所以， 递 增，递 减 ； 在在)(1xf从而 ，又因为 有唯一的
17、零点 ，所以 即为 , )(1f有 最 小 值 fx0x10x0)(xf2ln020ax消去 a,得 13l0时令 ,0 )0(13)(,ln2)(21 xxtxt则在区间 上为 单调递增函数, 为单调递减函数 ,)(1t2t且 )(705.l)(1t 3263n2t-12 分0x0- 12 -22. .解：（）由 得， 直角坐标 ,(2,)4C(1)所以圆 的直角坐标方程为 , 22(3xy由 得，圆 的极坐标方程为cosinxy（5 分）22i10（）将 ，代入 的直角坐标方程 ,cosinxtyC22(1)()3xy得 ，则 , 2()10tt设 ， 对应参数分别为 ， ，则AB2， ,12(cosin)t1t，21|48sin2t 因为 ，所以 所以 ,4,0,0si18所以 的取值范围为 .（10 分）|AB32,23 解：（）由 6xa得 6xa， 62axa，即3a， 2， 1。（5 分）（）由（）知 2fx,令 nffn，则， 14, 2212, nnn n的最小值为 4，故实数 m的取值范围是 4,。（10 分）
