1、- 1 -安徽省定远重点中学 2019 届上学期第一次月考高三（文科）数学试卷注意事项：1答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将第 I 卷（选择题）答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将第 II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。第 I 卷（选择题 60 分）一选择题（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。 ）1.已知命题 ，使 ；命题 ， ，则下列判断正确的是（ ）A. 为真 B. 为假 C. 为真 D. 为假【答案】B【解析】试题分析：根据正弦函数的值域可知命题 为假命题，设 ，则 ，所以 在 上单调递增，所以 ，即 在 上恒成立，所
2、以命题 为真命题，为假命题，故选 B.考点：复合命题真假性判断.2.“ ”是“ ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 时，根据基本不等式可得 成立，即充分性成立，当 时，由 成立，得 或 ，即 不成立，即必要性不成立，即“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.3.已知集合 ， ，则( )- 2 -A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ;由 ，则有 ，故选 D4.已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，选 C.5.函数 的图象大致为A. B. C. D
3、. 【答案】B【解析】【分析】- 3 -确定函数是奇函数，利用 ，即可得出结论【详解】由题意， ，函数是奇函数，故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的图象，比较基础6.已知函数 ， ， 的零点分别为 ，则 的大小关系为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意画出图形，数形结合得答案【详解】f（x）=2 x+log2x=0，可得 log2x=2 x，g（x）=2 x +log2x=0，可得 log2x=2 x ，h（x）=2 xlog2x1=0，可得 log2x=2x ，函数 f（x） ，g（x） ，h（x）的零点分别为 a，b，c，作出函数 y=log2x，y=
4、2 x，y=2 x ，y=2 x 的图象如图，由图可知：abc故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查函数的零点，考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是想到转化成函数 与另外三个函数的图像的交点，其- 4 -二是准确画出四个函数的图像.7.已知 是 的导函数，且 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出 f（x）的导数，由条件解方程，即可得到所求 a 的值【详解】由题意可得 f（x）=cosxasinx，由 可得 ，解之得 故答案为：B【点睛】本题主要考查求导和导数的运用，意在考
5、查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8.已知函数 的零点为 ， 的零点为 ， ， 可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， ， ， 选项 中， 的零点为 ，不满足 ；选项 中，函数 的零点为 ，不满足 ；选项 C 中，函数 的零点为 ，不满足 ；选项 D 中，函数的零点为 ，满足 选 点睛：（1）通过分析题意可发现函数 的零点不易求出，因此根据零点存在定理判断出其零点所在的区间，然后通过求出所给选项中各函数的零点后进行比较后得出结论。- 5 -（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件。另外定理只是给出了零点的存在性，而没有给出具体的求零
6、点的方法，也没有给出零点的个数，具体问题还需要通过函数的图象去判断。9.过函数 图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，由导函数的值域得到切线倾斜角正切值的范围，则倾斜角的范围可求【详解】由函数 ，得 f（x）=x 22x，设函数 图象上任一点 P（x 0，y 0） ，且过该点的切线的倾斜角为 （0） ，则 f（x）=x 22x=（x1） 211，tan1，0 或 过函数 图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为0， ） ，） 故答案为：B【点睛】 （1）本题考查导数的几何意义，考查直线倾斜角和斜率的关系，
7、关键是熟练掌握正切函数的单调性 （2）函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是10.已知函数 与 的图象关于 轴对称，当函数 和 在区间 同时递增或同时递减时，把区间 叫做函数 的“不动区间”.若区间 为函数的“不动区间” ，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C- 6 -【解析】【分析】若区间1，2为函数 f（x）=|2 xt|的“不动区间” ，则函数 f（x）=|2 xt|和函数 F（x）=| t|在1，2上单调性相同，则（2 xt） （2 x t）0 在1，2上恒成立，进而得到答案【详解】函数 y=f（x）与 y=F（x）的图象关于 y 轴
8、对称，F（x）=f（x）=|2 x t|，区间1，2为函数 f（x）=|2 xt|的“不动区间” ，函数 f（x）=|2 xt|和函数 F（x）=|2 x t|在1，2上单调性相同，y=2 xt 和函数 y=2x t 的单调性相反，（2 xt） （2 x t）0 在1，2上恒成立，即 1t（2 x+2x ）+t 20 在1，2上恒成立，即 2x t2 x在1，2上恒成立，即 t2，故答案为：C【点睛】 （1）本题主要考查不动点的定义及利用定义解答数学问题的能力，考查指数函数的图像和性质，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)正确理解不动区间的定义，得到（
9、2 xt） （2 x t）0 在1，2上恒成立，是解答的关键11.已知函数 在 上可导，其部分图象如图所示，设 ，则下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B- 7 -【解析】【分析】根据图像和导数的几何意义即得判断得解.【详解】从函数的图像可知，函数值的增长越来越快，故函数在该点的斜率也越来越大.因为 ，所以 .故答案为：B【点睛】本题主要考查导数的几何意义和函数的变化率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.12.已知函数 是幂函数，对任意的 ，且 ， ，若 ，且 ，则 的值（ ）A. 恒大于 0 B. 恒小于 0 C. 等于 0 D. 无法判断【答案】A
10、【解析】【分析】利用幂函数的定义求出 m，利用函数的单调性求解即可【详解】由已知函数 是幂函数，可得 m2m1=1，解得 m=2 或m=1，解得 m=2 或 m=1；又 f（x）在第一象限是增函数，且当 m=2 时，指数 4292 51=20150，满足题意；当 m=1 时，指数 4（1） 9（1） 51=40，不满足题意；幂函数 f（x）=x 2015是定义域 R 上的奇函数，且是增函数；又a，bR，且 a+b0，ab，又 ab0，不妨设 b0，即 ab0，f（a）f（b）0，f（b）=f（b） ，f（a）f（b） ，f（a）+f（b）0- 8 -故答案为：A【点睛】 （1）本题主要考查幂函
11、数的定义和应用，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)熟练运用幂函数的奇偶性和单调性是解答本题的关键.第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题（本题有 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ）13.已知函数 ，则不等式 的解集是_【答案】【解析】试题分析： 函数 ， ，由 解得 ，由解得 ，故不等式的解集为 .考点：分段函数解不等式.14.已知函数 在点 处的切线方程为 ，则函数 在点 处的切线方程为_【答案】 【解析】【分析】根据函数 y=f（x）在点（2，f（2） ）处的切线为由 y=2x1，可确定函数 g（x）=x 2+f（x）的切点坐标与
12、斜率，从而可求切线方程【详解】由题意，f（2）=221=3，g（2）=4+3=7g（x）=2x+f（x） ，f（2）=2，g（2）=22+2=6函数 g（x）=x 2+f（x）在点（2，g（2） ）处的切线方程为 y7=6（x2）即 6xy5=0故答案为：6xy5=0【点睛】(1)本题考查导数的几何意义，考查切线方程，确定切点坐标与斜率是关键 （2）- 9 -函数 在点 处的导数 是曲线 在 处的切线的斜率，相应的切线方程是15.已知命题 p：“ x1,2， ”，命题 q：“ xR， ”，若命题“p 且 q”是真命题，则实数 a 的取值范围是_【答案】a2 或 1 a3【解析】，p：y3x 2
13、在 x1,2递增，最小值为 3，所以 a3. q：4a 24(2a)0，a 2a20，a2 或 a1 . 若命题“p 且 q”是真命题，则 p、q 都为真 a2 或 1 a3.故答案为：a2 或 1 a316.如图所示，放置的边长为 1 的正方形 沿 轴滚动，点 恰好经过原点设顶点 的轨迹方程是 ，则对函数 有下列判断：若 ，则函数 是偶函数；对任意的 ，都有 ；函数 在区间 上单调递减；函数 在区间 上是减函数其中判断正确的序号是_(写出所有正确结论的序号)【答案】【解析】【分析】根据正方形的运动，得到点 P 的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可【详解】当2x1，P 的轨迹是
14、以 A 为圆心，半径为 1 的 圆，当1x1 时，P 的轨迹是以 B 为圆心，半径为 的 圆，- 10 -当 1x2 时，P 的轨迹是以 C 为圆心，半径为 1 的 圆，当 3x4 时，P 的轨迹是以 A 为圆心，半径为 1 的 圆，函数的周期是 4因此最终构成图象如下：根据图象的对称性可知函数 y=f（x）是偶函数，正确由图象即分析可知函数的周期是 4正确函数 y=f（x）在区间2，3上单调递增，错误函数 y=f（x）在区间4，6上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、正确故答案为：【点睛】本题考查的知识点是函数图象的变化，其中根据已知画出正方形转动过程中的一个周期内的图象，利用数形结合的
15、思想对本题进行分析是解答本题的关键三、解答题（本题有 6 小题，共 70 分。 ）17.已知命题 ， ；命题 ：当 时， 恒成立.若 是真命题，且 为假命题，求实数 的取值范围.【答案】【解析】试题分析：先分别求出命题 , 为真时 的取值范围.再由 是真命题，且 为假命题，得命题 一真一假.列对应方程组,解不等式可得实数 的取值范围试题解析：解：当 为真命题时， ，解得 ； 当 为真命题时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， ，则 . 由于 是真命题，且 为假命题，则命题 一真一假. (1)若 真 假，则 ，解得 ； - 11 -(2)若 假 真，则 ，解得 . 综上所述，实数 的取值
16、范围为 .18.已知三个集合： ， ， .（I）求 ；（II）已知 ，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） .【解析】【分析】（I）解方程求出集合 、 ，计算 ；（II）根据 ，求出集合 的元素特征，求出实数 的取值范围【详解】(1) , , (2) ,设 ，则即解得所以实数 的取值范围是【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，是中档题19.已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；- 12 -（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ;(2) 【解析】【分析】(1)先化不等式为 ，再解不等式求不等式的解集.(2)先化简不等式得，设 ，由题得 ，解不等式即得实数 a
17、 的取值范围.【详解】 （1）由于 ，于是不等式即为所以 ，解得 ,即原不等式的解集为 （2）由 ,设 则 f(x)为一次函数或常数函数，由 时，恒成立得：，又 且 ， 【点睛】(1)本题主要考查指数运算和指数函数的图像和性质，考查对数的运算和函数的图像性质，意考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)解题的关键有两点，其一是指数对数运算法则的灵活运用，其二是分析得到- 13 -.20.已知函数 .(1)若函数在 处的切线与直线 垂直,求实数 的值;(2)当 时,讨论函数的单调性.【答案】(1) (2) 当 时,函数 在 上单调递增;当 时,函数 在单调
18、递增,函数 在 单调递减.【解析】试题分析：(1)由已知得 ,得 ;(2) ,分两种情况讨论函数的单调性.试题解析：函数定义域 ,求导得 ,(1)由已知得 ,得 ;(2) ,记 ,(i)当 即 时, ,函数 在 上单调递增;(ii)当 即 时,令 ,解得 .又 ,故 .当 时, ,函数 单调递增,当 时, ,函数 单调递减.综上所述,当 时,函数 在 上单调递增;当 时,函数 在 单调递增,函数 在 单调递减.点睛：确定单调区间的步骤：(1)确定函数 y f(x)的定义域；(2)求导数 y f( x)，令- 14 -f( x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数 f(x)的间
19、断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定 f( x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性21.已知函数 为偶函数()求 的最小值；()若不等式 恒成立，求实数 的最小值.【答案】(1) 当 时， 取得最小值 2;(2) 实数 的最小值为 .【解析】试题分析：()由 可得( )( =0 在 R 上恒成立，解得 。然后根据单调性的定义可证明函数 在 上为增函数，且为偶函数，从而可得 在上是减函数。所以当 时， 取得最小值 2。()由题意 ，故可得 恒成立，令，结合 可得到
20、 取得最大值 0，因此 ，实数 的最小值为 试题解析：() 由题意得 ，即 在 R 上恒成立，整理得( )( =0 在 R 上恒成立,解得 ， 设 ，则 ， ， ,- 15 - , ， 在 上是增函数又 为偶函数， 在 上是减函数当 时， 取得最小值 2.()由条件知 恒成立， 恒成立令由()知 ， 时， 取得最大值 0， ,实数 的最小值为 22.【2018 天津一中高三上学期第二次月考】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500元/分钟和 200 元/分钟甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公
21、司带来的收益分别为 03 万元和 02 万元设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和分钟（）用 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少?【答案】(1)详见解析(2) 该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最大收益是 70 万元【解析】试题分析：（I）根据广告费用和收益列出约束条件，作出可行域；（II）列出目标函数 z=3000x+2000y，根据可行域判断最优解的位置，列方程组解出最优解- 16 -得出最大收益试题解析：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，则 ， 满足的数学关系式为该二次元不等式组等价于做出二元一次不等式组所表示的平面区域（II）设公司的收益为 元，则目标函数为：考虑 ，将它变形为 .这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线，当截距 最大，即 最大.又因为 满足约束条件，所以由图可知，当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大.解方程组 得 ,代入目标函数得 .答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最大收益是 70 万元.
