1、1第 2 讲 圆锥曲线考情考向分析 圆锥曲线中的基本问题一般以定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题椭圆的有关知识为 B 级要求，双曲线、抛物线的有关知识为 A 级要求热点一 圆锥曲线的定义和标准方程例 1 (1)(2018江苏省南京师大附中模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近x2a2 y2b2线方程是 y2 x，它的一个焦点与抛物线 y220 x 的焦点相同，则双曲线的方程是_答案 1x25 y220解析 由题意得 2， c5，再由 c2 a2 b2得 a25， b220，故双曲线的方程是ba 1.x25 y220(2)(2018南通等六市调研)在平面直角坐标系 x
2、Oy 中，已知双曲线 C 与双曲线 x2 1y23有公共的渐近线，且经过点 P ，则双曲线 C 的焦距为_( 2， 3)答案 4 3解析 双曲线 C 与双曲线 x2 1 有公共的渐近线，y232设双曲线 C 的方程为 x2 ( 0)，y23双曲线 C 经过点 P ，( 2， 3) 413，双曲线 C 的方程为 1.x23 y29双曲线 C 的焦距为 2 4 .3 9 3思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求 PF1 PF2 F1F2，双曲线的定义中要求| PF1 PF2| F1F2.(2)注意数形结合，画出合理草图跟踪演练 1 (1)已知方程 1
3、 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为x2m2 n y23m2 n4，则 n 的取值范围是_答案 (1,3)解析 方程 1 表示双曲线，( m2 n)(3m2 n)0，解得 m20)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A， B，交其准线于点 C，若 BC2 BF，且 AF3，则此抛物线方程为_答案 y23 x解析 如图分别过点 A， B 作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，设准线与 x 轴的交点为 G，设 BF a，则由已知得 BC2 a，由抛物线定义，得 BD a，故 BCD30，3在 Rt ACE 中， AE AF3， AC33 a，由 2AE AC，得 33 a6，从而得 a1，
4、 FC3 a3. p FG FC ，12 32因此抛物线方程为 y23 x.热点二 圆锥曲线的几何性质例 2 (1)已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C： 1( a b0)的左焦点， A， B 分别为 C 的x2a2 y2b2左、右顶点 P 为 C 上一点，且 PF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为_答案 13解析 设 M( c， m)，则 E ， OE 的中点为 D，(0，ama c)则 D ，又 B， D， M 三点共线，(0， am2a c)所以 ， a3 c， em2a c ma c 13
5、(2)双曲线 1( a0， b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA， OC 所在的直线，点 B 为该x2a2 y2b2双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_.答案 2解析 设 B 为双曲线的右焦点，如图所示四边形 OABC 为正方形且边长为 2， c OB2 .2又 AOB ， 4 tan 1，即 a b.ba 4又 a2 b2 c28， a2.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于a， b， c 的方程或不等式，再根据 a， b， c 的关系消掉 b 得到 a， c 的关系式，建立关于4a， b， c 的方程或不等式，要充分利用椭圆
6、和双曲线的几何性质、图形的结构特征、点的坐标的范围等跟踪演练 2 (1)已知双曲线 E： 1( a0， b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，x2a2 y2b2AB， CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2AB3 BC，则 E 的离心率是_答案 2解析 由已知得 AB ， BC2 c，2 32 c，又 b2 c2 a2，整理得2b2a 2b2a2c23 ac2 a20，两边同除以 a2得 2 23 20，即 2e23 e20，(ca) ca解得 e2 或 e (舍去)12(2)(2018江苏省盐城中学模拟)已知 F1( c,0)， F2(c,0)为椭圆 1( ab0)的两个x2a2
7、y2b2焦点， P 为椭圆上一点，且 c2，则此椭圆离心率的取值范围是_.PF1 PF2 答案 33， 22解析 设 P(x， y)，则 ( c x， y)(c x， y) x2 c2 y2 c2，(*)PF1 PF2 将 y2 b2 x2代入(*)式，b2a2解得 x2 ，2c2 b2a2c2 3c2 a2a2c2又 x20， a2，2 c2 a23 c2， e .ca 33， 22热点三 直线与圆锥曲线例 3 已知椭圆 E： 1( a b0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线x2a2 y2b2l：3 x4 y0 交椭圆 E 于 A， B 两点若 AF BF4，点 M 到直线 l 的
8、距离不小于 ，则椭圆45E 的离心率的取值范围是_答案 (0，32解析 设左焦点为 F0，连结 F0A， F0B，则四边形 AFBF0为平行四边形5 AF BF4， AF AF04， a2.设 M(0， b)，则 ，1 b2.4b5 45离心率 e .ca c2a2 a2 b2a2 4 b24 (0， 32思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程组求解点的坐标或利用根与系数的关系、设而不求等求解，解题中要注意使用条件 0.涉及中点问题也可以用点差法跟踪演练 3 (1)过双曲线 1 上任意一点 P，引与实轴平行的直线，x2a2 y2b2 (a0， b0)交两渐近线于 R， Q 两点，则
9、的值为_PR PQ 答案 a2解析 设 P ，则 R ， Q ，于是 (x， y) (aby， y) ( aby， y) PR PQ (aby x， 0) ( aby x， 0) x2 y2 a2.(aby x) ( aby x) a2b2 1b2(b2x2 a2y2) a2b2b2(2)已知椭圆 C1： 1( a b0)与双曲线 C2： x2 1 有公共的焦点， C2的一条渐x2a2 y2b2 y24近线与以 C1的长轴为直径的圆相交于 A， B 两点，若 C1恰好将线段 AB 三等分，则b_.答案 22解析 由双曲线 x2 1 知渐近线方程为 y2 x，y24又椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆
10、方程可化为 b2x2( b25) y2( b25) b2，联立渐近线与椭圆方程消去 y，得 x2 ，b2 5b25b2 20又 C1将线段 AB 三等分， 2 ，解得 b2 . b .1 22b2 5b25b2 20 2a3 12 2261(2018江苏)在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 1( a0， b0)的右焦点x2a2 y2b2F(c,0)到一条渐近线的距离为 c，则其离心率的值为_32答案 2解析 双曲线的渐近线方程为 bxay0，焦点 F(c,0)到渐近线的距离 d b.|bc|b2 a2 b c，32 a c， e 2.c2 b212 ca2(2017江苏)在平面直角坐标系
11、xOy 中，双曲线 y21 的右准线与它的两条渐近线x23分别交于点 P， Q，其焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是_答案 2 3解析 渐近线方程为 y x，右准线方程为 x ，33 32得 P， Q 坐标分别为 .(32， 32)PQ ， F1F22 c4，3所以四边形 F1PF2Q 的面积等于 4 2 .12 3 33已知双曲线 C： 1( a0， b0)，过双曲线 C 的右焦点 F 作 C 的渐近线的垂线，垂x2a2 y2b2足为 M，延长 FM 与 y 轴交于点 P，且 FM4 PM，则双曲线 C 的离心率为_答案 5解析 双曲线 C： 1( a0， b0)的渐近线
12、方程为 y x，右焦点 F ，x2a2 y2b2 ba (c， 0)过 F 与渐近线垂直的直线为 y ，ab(x c)由Error!可解得 xM ， yM ，a2c abc在 y 中，令 x0，可得 yP ，ab(x c) acb FM4 PM， 4 ，FM MP 7 c4 ，a2c (0 a2c)整理得 5a2 c2，则 e25， e ，5即双曲线 C 的离心率为 .54.如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 1( a b0)的右焦点，直线 y 与椭x2a2 y2b2 b2圆交于 B， C 两点，且 BFC90，则该椭圆的离心率是_答案 63解析 联立方程组Error!解得 B，
13、 C 两点坐标为 B ， C ，(32a， b2) (32a， b2)又 F(c,0)，则 ， ，FB ( 32a c， b2) FC (3a2 c， b2)又由 BFC90，可得 0，代入坐标可得FB FC c2 a2 0，(*)34 b24又因为 b2 a2 c2.代入(*)式可化简为 ，则椭圆离心率为 e .c2a2 23 ca 23 635(2018无锡期末)已知双曲线 C： 1( a0， b0)与椭圆 1 的焦点重合，x2a2 y2b2 x216 y212离心率互为倒数，设 F1， F2分别为双曲线 C 的左、右焦点， P 为右支上任意一点，则 的PF21PF2最小值为_答案 8解析
14、 由已知 c 2，16 12 F1 ， F2 ， e .又双曲线 C 与椭圆焦点重合，离心率互为倒数，( 2， 0) (2， 0)24 12 a2 b2 c24， ec 2， a21， b23 ，则双曲线 C: 1. P 在右支上，2a 1e x21 y238 PF1PF2，根据双曲线的定义有 PF1 PF22 a2， PF12 PF2 ， PF 2 PF 4 PF24， 21 (2 PF2) 2PF21PF2 PF2 4PF2 4PF2 PF2 42 48，当且仅当 PF22 时等号成立4PF2 PF24PF2故 的最小值为 8.PF21PF2A 组 专题通关1若双曲线 x2 1 的离心率为
15、 ，则实数y2m 3m_.答案 2解析 由双曲线的标准方程知，a1， b2 m， c ，1 m故双曲线的离心率 e ，ca 1 m 31 m3，解得 m2.2(2018淮安等四市模拟)已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线方程为x2a2 y2b2x2 y0，则该双曲线的离心率为_答案 52解析 y x x，所以 ，得离心率 e .ba 12 ba 12 ca 523在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1( a0)的一条渐近线与直线 y2 x1x2a2 y24平行，则实数 a 的值是_答案 1解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为 y x.因为一条渐近线与直线 y2 x1 平行，2
16、a所以 2，解得 a1.2a4在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，若曲线 C经过点 P(1,3)，则其焦点到准线的距离为_答案 929解析 由题意设抛物线方程为 y22 px(p0)，又因为过点 P(1,3)，则 p .92即为焦点到准线的距离5在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1 上一点 M 的横坐标为 3，则点 M 到此双x24 y212曲线的右焦点的距离为_答案 4解析 设右焦点为 F(4,0)把 x3 代入双曲线方程得 y ，15即 M(3， )15由两点间距离公式得MF 4.3 42 15 026已知双曲线 1( a0， b0)的
17、一条渐近线过点(2， ) ，且双曲线的一个焦点x2a2 y2b2 3在抛物线 y24 x 的准线上，则双曲线的方程为_7答案 1x24 y23解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，x2a2 y2b2 ba又渐近线过点(2， )，3所以 ，即 2b a，2ba 3 3抛物线 y24 x 的准线方程为 x ，7 7由已知，得 ，a2 b2 7即 a2 b27，联立，解得 a24， b23，所以双曲线的方程为 1.x24 y237直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的 ，则该椭14圆的离心率为_答案 12解析 如图，由题意得， BF a， OF c， OB
18、b， OD 2b b.14 1210在 Rt FOB 中， OFOB BFOD，即 cb a b，解得 a2 c，故椭圆离心率 e .12 ca 128在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0, )且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 y21 有两个2x22不同的交点，则 k 的取值范围为_答案 ( ， 22) (22， )解析 设直线 l 的方程为 y k ，2 (x 0)即 y kx ，2与椭圆方程联立可得 x24 kx20，(2k2 1) 2直线与椭圆有两个不同的交点，则 28 0，(42k) (2k2 1)解得 k 的取值范围为 .( ， 22) (22， )9(2018扬州期末)在平面直
19、角坐标系 xOy 中，若双曲线 1( a0， b0)的渐近线与x2a2 y2b2圆 x2 y26 y50 没有交点，则双曲线离心率的取值范围是_答案 (1，32)解析 圆的方程可化为 x2 24，双曲线的渐近线方程为 bxay0，(y 3)依题意有 2，3aa2 b2整理得 3a2 c， e1，双曲线离心率的取值范围是 .(1，32)10已知椭圆方程为 1，若点 M 为右准线上一点，点 A 为椭圆 C 的左顶点，连结 AMx216 y212交椭圆于点 P，则 的取值范围是_PMAP答案 12， )解析 设点 P 的横坐标为 x0，11则 1，PMAP 12x0 44 x04， 1 ，PMAP
20、12x0 4 12 的取值范围是 .PMAP 12， )B 组 能力提高11已知双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线与直线 3x y30 垂直，以x2a2 y2b2 6C 的右焦点 F 为圆心的圆( x c)2 y22 与它的渐近线相切，则双曲线的焦距为_答案 2 5解析 由已知，得 1，所以 .ba ( 36) ba 63由点 F(c,0)到渐近线 y x 的距离 d ，6363c(63)2 12 2可得 c ，则 2c2 .5 512已知双曲线 1( a0， b0)的两条渐近线均和圆 C： x2 y26 x50 相切，x2a2 y2b2且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心，则该双曲线
21、的方程为_答案 1x25 y24解析 由圆 C： x2 y26 x50，得( x3) 2 y24，因为双曲线的右焦点为圆 C 的圆心(3,0)，所以 c3，又双曲线的两条渐近线 bxay0 均和圆 C 相切，所以 2，即 2，3ba2 b2 3bc又因为 c3，所以 b2，即 a25，所以该双曲线的方程为 1.x25 y2413已知 F1， F2为椭圆 1 的左、右焦点，若 M 为椭圆上一点，且 MF1F2的内切圆x225 y216的周长等于 3，则满足条件的点 M 有_个答案 2解析 由椭圆方程 1 可得 a225， b216，x225 y216 a5， b4， c3.12由椭圆的定义可得
22、MF1 MF22 a10，且 F1F22 c6， MF1F2的周长为 MF1 MF2 F1F210616.设 MF1F2的内切圆的半径为 r，由题意可得 2 r3，解得 r .32设 M(x0， y0)，则 12FSA (MF1 MF2 F1F2)r12 F1F2|y0|，12即 16 6|y0|，解得| y0|4.12 32 12 y04， M(0,4)或 M(0，4)即满足条件的点 M 有 2 个14(2018江苏省盐城中学期末)已知椭圆 C1： 1 与圆x2a2 y2b2 (ab0)C2： x2 y2 b2，若椭圆 C1上存在点 P，由点 P 向圆 C2所作的两条切线为 PA, PB 且
23、 APB60，则椭圆 C1的离心率的取值范围是_答案 32， 1)解析 因为 APB60，所以 POB60，在 Rt POB 中，由 OB b，得 PO2 b，由点P 在椭圆上知， b0， b0)上关x2a2 y2b2于原点对称的两点， P 是双曲线上的动点，且直线 PM， PN 的斜率分别为 k1， k2， k1k20，则| k1|4| k2|的最小值为_答案 4 3解析 设 M(p， q)， N( p， q)， P(s， t)，则 1, 1，两式相减整理得，p2a2 q2b2 s2a2 t2b2 ，p2a2 s2a2 q2b2 t2b2 ，又双曲线 1 的离心率为 2，q2 t2p2 s2
24、 b2a2 x2a2 y2b213 2， 4， 3，由斜率公式可得 k1k2 3， k1与 k2同号，ca c2a2 b2a2 q2 t2p2 s2| k1|4| k2|2 4 4 ，当且仅当| k1|4| k2|，即 k14 k2时|k1|4|k2| |k1|k2| 3等号成立，| k1|4| k2|的最小值为 4 .316.如图，已知椭圆 C1： 1( a b0)和圆 C2： x2 y2 r2都过点 P(1,0)，且椭圆x2a2 y2b2C1的离心率为 ，过点 P 作斜率为 k1， k2的直线分别交椭圆 C1，圆 C2于点 A， B， C， D，且22k1 k 2，若直线 BC 恒过定点
25、Q(1,0)，则 _.答案 2解析 因为椭圆过点 P(1,0)，所以 a1，又椭圆的离心率为 ，所以 c ，22 22则 b21 ，故 C1： x22 y21，12 12又由题意得圆 C2： x2 y21.由 x2 y21 与 y k1(x1)联立，消去 y 得(k 1) x22 k x k 10，21 21 21解得 x1 或 x ，1 k21k21 1故 B ，(1 k21k21 1， 2k1k21 1)同理可得 C .(1 2k22k2 1， 2k22k2 1)因为 B， C， Q 三点共线，所以 ，2k1k21 11 k21k21 1 12k22k2 11 2k22k2 1 1解得 k12 k2，故 2.
