1、1课时训练(二十一) 直角三角形与勾股定理(限时:30 分钟)|夯实基础|1.能说明命题“对于任何实数 a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是 ( )A.a=-2 B.a= C.a=1 D.a=13 22.2018青岛 如图 K21-1,已知三角形纸片 ABC,AB=AC, BAC=90,点 E为 AB中点 .沿过点 E的直线折叠,使点 B与点 A重合,折痕 EF交 BC于点 F.已知 EF= ,则 BC的长是 ( )32图 K21-1A. B.3 C.3 D.3322 2 33.木杆 AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端 A沿墙壁 NO竖直下滑时,木杆的底端 B也随之沿着射线 OM方向滑动 .下
2、列图中用虚线画出木杆中点 P随之下落的路线,其中正确的是 ( )2图 K21-24.2017湖州 如图 K21-3,已知在 Rt ABC中, C=90,AC=BC,AB=6,点 P是 Rt ABC的重心,则点 P到 AB所在直线的距离等于 ( )图 K21-3A.1 B. C. D.22325.2016连云港 如图 K21-4,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为 S1,S2,S3;如图,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为 S4,S5,S6.其中 S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4= ( )图 K21-4A.
3、86 B.64C.54 D.486.2017十堰 如图 K21-5,已知圆柱的底面直径 BC= ,高 AB=3,小虫在圆柱表面爬行,从 C点爬到 A点,然后再沿另6一面 3爬回 C点,则小虫爬行的最短路程为 ( )图 K21-5A.3 B.32 5C.6 D.65 27.2018德州 如图 K21-6,OC为 AOB的平分线, CM OB,OC=5,OM=4,则点 C到射线 OA的距离为 . 图 K21-68.如图 K21-7,在 ABC中, ACB=90,M,N分别是 AB,AC的中点,延长 BC至点 D,使 CD= BD,连接 DM,DN,MN.若 AB=6,13则 DN= . 图 K21
4、-79.如图 K21-8所示, ABC中, CD AB于点 D,E是 AC的中点,若 AD=6,DE=5,则 CD的长等于 . 图 K21-8410.2017丽水 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图K21-9所示 .在图中,若正方形 ABCD的边长为 14,正方形 IJKL的边长为 2,且 IJ AB,则正方形 EFGH的边长为 . 图 K21-911.如图 K21-10,折叠矩形纸片 ABCD,得折痕 BD,再折叠使 AD边与对角线 BD重合,得折痕 DF.若 AB=4,BC=2,则AF= . 图 K21-1012.如图 K21-11,在
5、 Rt ABC中, BAC=90,点 D在 BC边上,且 ABD是等边三角形 .若 AB=2,求 ABC的周长 .(结果保留根号)图 K21-115|拓展提升|13.2018成都 如图 K21-12,在矩形 ABCD中,按以下步骤作图:分别以点 A和 C为圆心,以大于 AC的长为半径作12弧,两弧相交于点 M和 N;作直线 MN交 CD于点 E,若 DE=2,CE=3,则矩形的对角线 AC的长为 . 图 K21-1214.2018重庆 A卷 如图 K21-13,把三角形纸片折叠,使点 B,点 C都与点 A重合,折痕分别为 DE,FG,得到 AGE=30,若AE=EG=2 厘米,则 ABC的边
6、BC的长为 厘米 . 3图 K21-1315.2018衡阳 如图 K21-14,在 Rt ABC中, C=90,AC=BC=4 cm,动点 P从点 C出发以 1 cm/s的速度沿 CA匀速运动,同时动点 Q从点 A出发以 cm/s的速度沿 AB匀速运动,当点 P到达点 A时,点 P,Q同时停止运动 .设运动时间为2t(s).6(1)当 t为何值时,点 B在线段 PQ的垂直平分线上?(2)是否存在某一时刻 t,使 APQ是以 PQ为腰的等腰三角形?若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由 .(3)以 PC为边,往 CB方向作正方形 CPMN,设四边形 QNCP的面积为 S,求 S关于 t的函数
7、关系式 .图 K21-14参考答案1.A 解析 说明命题“对于任何实数 a,|a|-a”是假命题的一个反例可以是 a=-2,|-2|=2.故选 A.2.B 解析 AB=AC, BAC=90, B=45.由折叠的性质可得 BEF=90, BFE=45, BE=EF= .32点 E为 AB中点, AB=3, AC=3.在 Rt ABC中, BC= = =3 .故选 B.2+2 32+32 273.D 解析 如图,连接 OP,由于 OP是 Rt AOB斜边上的中线,所以 OP= AB,不管木杆如何滑动,它的长度不变,即 OP12是一个定值,点 P就在以 O为圆心,以 OP长为半径的一段圆弧上,所以点
8、 P下落的路线是一段弧线 .故选 D4.A 解析 在 Rt ABC中,连接 CP并延长至 AB于点 D,由三角形的重心性质得到,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2 1,即 CPPD= 2 1.又 AC=BC,在等腰直角三角形 ABC中,由三线合一,得到 CD垂直平分线段AB,AB=6, CD=BD=3,点 P到 AB所在直线的距离即为 PD的长度,即 PD=1.5.C 解析 如图, S1= AC2,S2= AB2,S3= BC2.34 34 34 AB2=AC2+BC2, S1+S3= AC2+ BC2= AB2=S2,34 34 34 S3=S2-S1.如图,易求 S4=S5+
9、S6, S3+S4=S2-S1+S5+S6=45-16+11+14=54.故选 C.6.D 解析 把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点 A,C的最短距离为线段 AC的长 .在 Rt ABC中, ABC=90,AB=3, CB为底面半圆弧长, CB=3, AC=3 ,从 C点爬到 A点,然后再沿另一面爬回 C点,则小虫爬行的最短路程2为 2AC=6 .287.3 解析 因为 CM OB,OC=5,OM=4,所以 CM=3,过点 C作 CN OA于 N,又因为 OC为 AOB的平分线, CM OB,所以CN=CM=3,即点 C到射线 OA的距离为 3.8.3 解析 连接 CM, M,N分别是 AB,
10、AC的中点, NM= CB,MN BC.又 CD= BD,12 13 MN=CD.又 MN BC,四边形 DCMN是平行四边形, DN=CM. ACB=90,M是 AB的中点, CM= AB=3, DN=3.129.8 解析 CD AB于点 D, ADC=90.点 E是 Rt ADC斜边上的中点, DE是 Rt ADC斜边上的中线,根据直角三角形斜边中线定理可得 DE=AE=CE=5, AC=10.因此 CD= =8.102-6210.10 解析 设直角三角形的勾(较短的直角边)为 a,股(较长的直角边)为 b,根据题意得 解得 由+=14,-=2, =6,=8,勾股定理得直角三角形的弦(斜边
11、)为 = =10,即正方形 EFGH的边长为 10.62+82 100911. -1 解析 在 Rt ABD中, AB=4,AD=BC=2, BD= = =2 ,由折叠的性质可得, ADF5 2+2 42+22 5 EDF, ED=AD=2,EF=AF, EB=BD-ED=2 -2,设 AF=x,则 EF=AF=x,BF=4-x,在 Rt EBF中, x2+(2 -2)2=(4-x)2,解得 x=5 5-1,即 AF= -1.5 512.解: ABD是等边三角形, B=60. BAC=90, C=180-90-60=30, BC=2AB=4.在 Rt ABC中,由勾股定理得AC= = =2 ,
12、2-2 42-22 3 ABC的周长 =AC+BC+AB=2 +4+2=6+2 .3 313. 解析 连接 AE,由作图可知 MN为线段 AC的垂直平分线, AE=CE=3,在 Rt ADE中, AE2=AD2+DE2,30 AD= = ,2-2 5在 Rt ADC中, AC2=AD2+CD2, CD=DE+CE=5, AC= = .(5)2+52 3014.(4 +6) 解析 如图,过点 E作 EM AG于点 M,则由 AE=EG,得 AG=2MG.3 AGE=30,EG=2 厘米,3 EM= EG= (厘米) .12 3在 Rt EMG中,由勾股定理,得10MG= =3(厘米),从而 AG
13、=6厘米 .(23)2-(3)2由折叠可知, BE=AE=2 厘米, GC=AG=6厘米 .3 BC=BE+EG+GC=2 +2 +6=4 +6(厘米) .3 3 315.解析 (1)由题意知 CP=t,AQ= t,进而得出 BQ=4 - t,BP= ,点 B在线段 PQ的垂直平分线上,则有 BQ=BP,即2 2 2 42+24 - t= ,解方程即可求出 t值;2 2 42+2(2)应分两种情况讨论:若 AQ=PQ, AQP=90;若 AP=PQ, APQ=90,分别用 t表示出 AP的长,利用 AP+PC=4,建立方程,求解即可;(3)连接 QM,过 Q作 QG AC于 G,则 AQG为等
14、腰直角三角形,且 QG=AG=t,结合题意可证得四边形 QMPG为矩形,从而得出 Q,M,N三点共线,所以四边形 QNCP为梯形,然后由 QN=BN=4-t,CP=CN=t,利用梯形的面积公式求出四边形 QNCP的面积即可 .解:(1)由题意可知: CP=t,AQ= t.2 C=90,AC=BC=4, AB= = =4 .2+2 42+42 2 BQ=4 - t.2 2如果点 B在线段 PQ的垂直平分线上,则 BQ=BP,4 - t= , t1=8-4 ,t2=8+4 4,舍去 .2 2 42+2 3 3当 t=(8-4 )s时,点 B在线段 PQ的垂直平分线上 .3(2)假设存在某一时刻 t
15、,使得 APQ是以 PQ为腰的等腰三角形 .如图,11若 AQ=PQ,则 AQP=90,AP= AQ=2t,22 t+t=4,即 t= .43如图,若 AP=PQ,则 APQ=90,AP=PQ=t, AP+PC=2t=4,即 t=2.存在 t= 或 t=2,使 APQ是以 PQ为腰的等腰三角形 .43(3)如图 ,连接 QM,过 Q作 QG AC于 G,则 AQG为等腰直角三角形, QG=AG=t.四边形 PMNC是正方形, PM=CN=PC=t. QG CN,QG=t,四边形 QMPG为矩形 . QMP=90. Q,M,N三点共线 .四边形 QNCP为梯形 .12 QN=BN=4-t,CP=CN=t,四边形 QNCP的面积 S= CN= (4-t+t)t=2t(0t4).+2 12
