1、- 1 -南昌十中 2017-2018 学年度上学期期末考试试卷高二数学试题(理科)一、单选题（本大题共 12 小题，每题 5 分）1. 下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A. 三角形 B. 四个角都相等的四边形 C. 梯形 D. 平行四边形【答案】B【解析】根据几何公理，三角形能确定一个平面（两相交直线能确定一个平面） 、梯形、平行四边形能确定一个平面（两平行线能确定一个平面） ，所以不能确定的是：四个角都相等的四边形。故选 B。2. 下列等于 1 的积分是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ;；.故选 C.点睛：定积分的计算一般有三个方法：（1）利用微积分基本定理求原函数
2、；（2）利用定积分的几何意义，利用面积求定积分；（3）利用奇偶性对称求定积分，奇函数在对称区间的定积分值为 0.3. 在正方体 中， 与 所成的角为（ ）A. B. C. D. - 2 -【答案】B【解析】通过平行移动，得到 与 的夹角是 与 的所成角，易知，所成角为 ，故选 B。4. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 等于（）A. 1 B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 ，得 ，故选 B。5. 已知三个平面 、 、 ， ， a、 b 是异面直线， a 与 、 、分别交于 A、 B、 C 三点， b与 、 、分别交于 D、 E、 F 三点，连结 AF 交平面 于 G，连结 CD
3、交平面 于 H，则四边形BGEH 的形状为( )A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 梯形【答案】A【解析】由面面平行的性质定理可知， ，得 ，同理可知，所以四边形 是平行四边形，故选 A。6. 已知 则 等于A. B. C. D. 【答案】D- 3 -点睛：本题考查周期性的应用。在求解 之类的大项函数问题，一般的，函数 要么具有周期性，要么存在通项式，由题意可知，本题 具有周期性，解得答案即可。7. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异” “幂”是截面积， “势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同
4、” ，则该不规则几何体的体积为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，故选 B。8. 已知直线 与平面 ，给出下列三个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 则 .其中正确命题的个数是( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】直线 存在不平行的情况，故错误；正确；正确。所以正确的有 2 个，故选 C。9. 已知在四棱锥 中， 是矩形， ，则在四棱锥 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )A. 3 对 B. 4 对 C. 5 对 D. 6 对【答案】C- 4 -【解析】如图， ，所以共 5 对。故选 C。点睛：本题考查空间几何体中的线线垂直判断。线线垂直一
5、般通过线面垂直的性质定理来判断，所以本题中先寻找线面垂直的存在性情况，再去判断其中异面直线的垂直情况。解决本题要把握住解题本质：线面垂直的性质定理。10. 当 时，函数 的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，解得 ，即 或 ， 函数 有两个零点， ，不正确，设 ，则 ，由 ，解得或 ，由 ，解得： ，即 是函数的一个极大值点， 不成立，排除 ，故选 B.- 5 -11. 设 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 时， ，且，则不等式 的解集是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：先根据 可确定 ，进而可得到在 时单调递增，结合函数 ， 分别是
6、定义在 上的奇函数和偶函数可确定 在 时也是增函数于是构造函数 知 在 上为奇函数且为单调递增的，又因为 ，所以 ，所以 的解集为 ，故选 D考点：利用导数研究函数的单调性12. 设函数 ， ，对 ，不等式 恒成立，则正数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，所以 在 单调递增， 单调递减，所以，又 ，所以 在 单调递减， 单调递增，所以，所以 ，所以 ，故选 C。点睛：本题考查导数在函数中的综合应用。由题意可知，本题要求解 的最小值和 最大值，所以通过求导判断函数的单调性，解得函数的最值，解得答案。本题属于函数恒成立问题中的常见题型。二、填空题（本大题共 4 小题，
7、每题 5 分）- 6 -13. 在等腰梯形 中，上底 ，腰 ,下底 ,以下底所在直线为 轴，则由斜二测画法画出的直观图 的面积为_.【答案】【解析】 。14. 由曲线 与 ，所围成的平面图形的面积为_.【答案】【解析】由题设曲线 与 ， ， 所围成的平面图形的面积为，应填答案 。15. 设 是 的二面角 内一点， , 分别为垂足， ,则 的长为_.【答案】【解析】由题意， ，由余弦定理可知， ，所以 。点睛：本题考查空间几何体。由二面角的定义而知，过 作公共边的垂线，交于 点，则就是二面角 的平面角 ，由四边形内角和 ，得到，利用余弦定理解得答案。16. 如图，四棱锥 的底面为正方形， 底面
8、，则下列结论 平面 与 所成的角等于 与 所成的角- 7 -二面角 的大小为其中，正确结论的序号是_.【答案】【解析】由题意， 平面 ，所以 ，故正确； ，所以 平面 ，故正确； 与 的所成角是 ， 与 的所成角是直角，两个不相等，故 错误；二面角 的平面角是 ，是 ，故正确。所以正确的序号是。三、解答题17. 如图，在正方体 中， 是 的中点.（1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）设 ，连接 ，因为 O,E 分别为 AC, 中点，所以（2） 平面 ，所以平面 平面考点：线面平行垂直的判定点评：平面内一直线与平面外一直线平
9、行，则线面平行；直线垂直于平面内两相交直线则直线垂直于平面，进而得到两面垂直- 8 -18. 如图，四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ，,点 是棱 的中点.(1)求证：(2)求 的长.【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）证明 ，则 ；（2） ，在 中，。试题解析：(1)证明： 又 且 为 中点， （2）由平面知识知： , ,由（1）知 在 中，19. 已知函数 在 与 时都取得极值.（1）求 的值；（2）若对， 恒成立，求的取值范围- 9 -【答案】(1) ;(2)【解析】试题分析：（1）求出导函数，通过 和 为 的两根，得到方程组求解即可；（2）化简函数
10、，求出导函数，通过当 时，当 时，当时， ，当 时， ，判断函数的单调性，求出函数的极值，然后求解的取值范围.试题解析：（1） ，由已知条件可知： 和 1 为 的两根，由韦达定理得： ， ， （2）由（1）得： ，由题知：当 (2， )时，函数 在区间(2， )上是增函数；当 ( ，1)时， ，函数 在( ，1)上是减函数；当 (1，2)时， ，函数 在(1，2)上是增函数，当 时， ；当 时， ， 2，2时， ，由 在 2，2时， 恒成立得： 由此解得： 的取值范围为：( ， 2， ) 20. 如图所示，等腰 的底边 ，高 ，点 是线段 上异于点 的动点，点在 边上，且 ，现沿 将 折起到
11、的位置，使 ，记 ，表示四棱锥 的体积- 10 -(1)求 的表达式；(2)当 为何值时， 取得最大值,最大值为？【答案】(1) VP ACFE .(2) .【解析】试题分析：（1） ， S 四边形 ACFE S ABC S BEF ，所以四棱锥 P ACFE的体积 VP ACFE S 四边形 ACFEPE ；（2） V( x)0 ，所以。试题解析：(1)因为 EF AB，所以 EF PE.又因为 PE AE， EF AE E，所以 PE平面 ACFE. 因为EF AB， CD AB，且 CD， EF 共面，所以 EF CD，所以 所以四边形 ACFE 的面积S 四边形 ACFE S ABC
12、S BEF 所以四棱锥 P ACFE 的体积 VP ACFE S 四边形 ACFEPE (2)由(1)知. 令 V( x)0 因为当 时， V( x)0， 当 时， V( x)0.所以当 时，21. 已知 AF 平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯形，- 11 -.（1）求证： 平面 ；（2）线段 上是否存在一点 ，使得 ?若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1） AC BC， BE AC， 所以 AC 平面 BCE （2）存在，点 M 为线段 EF中点。试题解析：（1）过 C 作 CN AB，垂
13、足为 N，因为 AD DC，所以四边形 ADCN 为矩形所以 AN NB 2.又因为 AD 2， AB 4，所以 AC ， CN ， BC , 所以 AC2+BC2 AB2，所以 AC BC;因为 AF 平面 ABCD， AF/BE 所以 BE 平面 ABCD，所以 BE AC,又因为 BE 平面 BCE， BC 平面 BCE， BE BC B,所以 AC 平面 BCE（2）存在，点 M 为线段 EF 中点，证明如下：在矩形 ABEF 中，因为点 M， N 为线段 AB 的中点，所以四边形 BEMN 为正方形，所以 BM EN；因为 AF 平面 ABCD， AD 平面 ABCD，所以AF AD
14、.在直角梯形 ABCD 中， AD AB，又 AF AB A，所以 AD 平面 ABEF，又 CN/AD，所以 CN 平面 ABEF，又 BM 平面 ABEF 所以 CN BM； 又 CN EN N，所以 BM 平面 ENC，又 EC 平面 ENC，所以 BM CE.点睛：本题考查空间几何体中的垂直关系。要证明线面垂直，利用其判定定理证明，只需找到该线与平面内的两条相交直线分别垂直即可；要证明线线垂直，利用线面垂直的性质，找到相关的线面垂直即可。- 12 -22. 设函数 .（1）当 时，求函数 的最大值；（2）令 ，其图象上存在一点 ，使此处切线的斜率，求实数的取值范围；（3）当 ， 时，方
15、程 有唯一实数解，求正数 的值.【答案】 （1） ;（2） ；（3） .【解析】试题分析：（1）依题意确定 的定义域，对 求导，求出函数的单调性，即可求出函数 的最大值；（2）表示出 ，根据其图象上存在一点 ，使此处切线的斜率 可得 ，在 上有解，即可求出实数的取值范围;（3）由 ，方程 有唯一实数解，构造函数 ，求出 的单调性，即可求出正数的值.试题解析：（1）依题意， 的定义域为 ，当 时， ，由 ，得 ,解得由 ,得 ，解得 或 ， 在 单调递増，在 单调递减；所以 的极大值为 ，此即为最大值（2） ，则有 ，在 上有解， ， ， ，所以当 时，取得最小值 ，- 13 -（3）由 得 ，令 ，令 ， ， 在 上单调递增，而 ，在 ，即 ，在 ，即 ， 在 单调递减，在 单调递増， 极小值 ，令 ，即 时方程 有唯一实数解.点睛：利用导数研究函数的极值，一般遵循“求导数、求驻点、研究导数的正负、确定极值”，利用“表解法” ，清晰易懂；对于不等式恒成立问题，往往通过构造函数，通过研究函数的最值确定参数的范围.
