1、- 1 -南昌十中 2017-2018 学年度下学期期末考试试卷答案高二数学试题(理科)一、单选题（本大题共 12 小题，每题 5 分）1. 设全集 ，集合 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由 ，得 ，由 得，则 ，故答案为 B.考点：集合的运算.2. 已知是虚数单位, 复数 在复平面内对应的点位于直线 上, 则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：等式分子分母同时乘以 ，化简整理，得出，再得，将的坐标代入中求解详解： ，所以 。故选 B点睛：复数的除法运算公式 ，在复平面内点在直线上，则坐标满足直线方程。3. 下列命题中真命题的个数是（ ）
2、 ， ；若“ ”是假命题，则 都是假命题；若“ ， ”的否定是“ ， ”A. 0 B. 1 C. 2 D. 3- 2 -【答案】B【解析】若 ， ，故命题假；若“ ”是假命题，则 至多有一个是真命题，故命题是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“ ”的否定是“ ”，即命题是真命题，应选答案 B。4. 已知幂函数 的图像过点 ，则 的值为（ ）A. B. 64 C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设幂函数 ,则 ,则,故应选 A考点：幂函数的求值5. 设 0p1，随机变量 的分布列如图，则当 p 在（0，1）内增大时， （ ）A. D（ ）减小 B. D（ ）增大C. D（ ）先
3、减小后增大 D. D（ ）先增大后减小【答案】D【解析】分析:先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性.详解： ， 先增后减 ,因此选 D.点睛：6. 设函数 f(x)lg(1 x)，则函数 ff(x)的定义域为( )A. (9，) B. (9,1) C. 9，) D. 9,1)- 3 -【答案】B【解析】分析：先列出满足条件的不等式， ，再求解集。详解：复合函数 的定义域满足 且 ，即是 ，解得，故选 B点睛：在抽象函数中，若已知 的定义域 ，那么复合函数 的定义域指的是 关于 的解集。若已知复合函数 的定义域 ， 的值域为 的定义域。7. 知 是定义在 上的偶函数，那么 （ ）A
4、. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：偶函数的定义域满足关于原点对称，且 由此列方程解详解： 是定义在 上的偶函数，所以，解得 ，故选 A点睛：偶函数的定义域满足关于原点对称，且 ，二次函数为偶函数对称轴为 轴。8. 已知圆 ,在圆 中任取一点 ,则点 的横坐标小于 的概率为（ ）A. B. C. D. 以上都不对【答案】C【解析】分析：画出满足条件的图像，计算图形中圆内横坐标小于 的面积，除以圆的面积。详解：- 4 -由图可知，点 的横坐标小于 的概率为 ，故选 C点睛：几何概型计算面积比值。9. 一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 1
5、6 D. 【答案】A【解析】试题分析：该几何体为一个正方体截去三棱台 ，如图所示，截面图形为等腰梯形 ， ，梯形的高 ，所以该几何体的表面积为，故选 A- 5 -考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积10. 设 为三角形 三边长， ，若 ，则三角形的形状为（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析：两边除以 得 ，故为直角三角形.考点：1.解三角形；2.对数运算.11. 已知等差数列 的等差 ，且 成等比数列，若 为数列 的前 项和，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A【解析】 成等比数列，解得 d=2
6、当且仅当 时即 时取等号，且 取到最小值 4，故选：A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前 项和公式，等比中项的性质，基本不等式求- 6 -最值的知识，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值12. 已知非零向量 满足 ，若函数 在 上存在极值，则和夹角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析： 有两个不相等的实根， ，故选 B考点：1.向量运算；2.函数导数.【思路点晴】函数 在 上存在极值，转化过来，意思就是函数 的导数在 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到 ，利用判别式大于零，即有 ，两个向量所成的角的取值范围是 ，在这个区间上，满足 的角的取
7、值范围就是 .两个知识点的题目，只需要我们各个击破就可以解决 .二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分）13. 已知平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，则“ m n”是“ m ”的_条件【答案】充分不必要【解析】分析：由线线平行的性质定理和线面平行的性质定理即可判断。详解：线线平行的性质定理：平面 ，直线 m， n 满足 m ， n ，若 则线面平行的性质定理：如果一条直线平行于一个平面，过这条直线作一个平面与这个平面交线，那么直线和交线平行。故为充分不必要条件分析：线线平行的性质定理和线面平行的性质定理要熟练掌握。14. 若 x， y 满足 x+1 y2 x，则 2yx 的最小
8、值是_ 【答案】3【解析】分析：作可行域，根据目标函数与可行域关系，确定最小值取法.详解：作可行域，如图，则直线 过点 A(1,2)时，取最小值 3.- 7 -点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.15. 已知 ，则 的展开式中常数项为_【答案】-32【解析】 n ，二项式的展开式的通项为 ，令 0，则 r3，展开式中常数项为(2) 3 8432.故答案为：-32.点睛：求二项展开式有关问
9、题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.16. 函数 ， 且 是 上的减函数，则的取值范围是_.【答案】【解析】试题分析：因为函数 且 是 上的减函数，即 故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；故答案为 - 8 -考点：分段函数的单调性.【方法点晴】本题是对分段函数单调性的考查，难度适中，容易进入陷阱，要想整个函数单调递减，前提必须为分段函数的每一段都有自己的单调性，所以在研究整函数的单调性时每一段
10、都在考查范围内当函数为减函数时，故其每一段都为减函数，且前一段的最小值须大于等于后一段的最大值；当函数为增函数时，故其每一段都为增函数，且前一段的最大值须小于等于后一段的最小值.三、解答题17. 设命题 函数 的值域为 ；命题 对一切实数 恒成立，若命题“ ”为假命题，求实数的取值范围.【答案】 .【解析】试题分析：分别求出命题 ， 成立的等价条件，利用 且 为假确定实数 的取值范围试题解析： 真时， 合题意. 时， 时， 为真命题. 真时：令 ，故 在 恒成立 时， 为真命题.为真时， .为假命题时， .考点：复合命题的真假.18. 如图，在三棱柱 ABC 中， 平面 ABC， D， E，
11、F， G 分别为 ， AC， ，的中点， AB=BC= ， AC= =2- 9 -（1）求证： AC平面 BEF；（2）求二面角 BCDC1的余弦值；（3）证明：直线 FG 与平面 BCD 相交【答案】(1)见解析（2） ；（3）见解析【解析】分析：（1）由等腰三角形性质得 ，由线面垂直性质得 ,由三棱柱性质可得 ，因此 ，最后根据线面垂直判定定理得结论， （2）根据条件建立空间直角坐标系 E-ABF，设立各点坐标，利用方程组解得平面 BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或互补关系求结果， （3）根据平面BCD 一个法向量与直线 FG 方向向量数量积
12、不为零，可得结论.详解：解：（）在三棱柱 ABC-A1B1C1中， CC1平面 ABC，四边形 A1ACC1为矩形又 E， F 分别为 AC， A1C1的中点， AC EF AB=BC AC BE， AC平面 BEF（）由（I）知 AC EF， AC BE， EF CC1又 CC1平面 ABC， EF平面 ABC BE 平面 ABC， EF BE如图建立空间直角坐称系 E-xyz- 10 -由题意得 B（0，2，0） ， C（-1，0，0） ， D（1，0，1） ， F（0，0，2） ， G（0，2，1） ，设平面 BCD 的法向量为 ， ， ，令 a=2，则 b=-1， c=-4，平面 BC
13、D 的法向量 ，又平面 CDC1的法向量为 ， 由图可得二面角 B-CD-C1为钝角，所以二面角 B-CD-C1的余弦值为 （）平面 BCD 的法向量为 ， G（0，2，1） ， F（0，0，2） ， ， ， 与 不垂直， GF 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内， GF 与平面 BCD 相交点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.19. 某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路堵车的概率为
14、，不堵车的概率为 ；汽车走公路堵车的概率为 ，不堵车的概率为 .若甲、乙两辆汽车走公路，丙汽车由于其他原因走公路，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.- 11 -（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为 ，求走公路堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.【答案】 （1） ；（2） 【解析】解：（1）由已知条件得2 分即 ，则 6 分答： 的值为 （2）解：可能的取值为 0，1，2，3 5 分6 分7 分8 分的分布列为：0 1 2 310 分所以 12 分答：数学期望为 20. 国内某知名大学有男生 14000 人，女生 10000 人，该校体育学院想
15、了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取 120 人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是 ）.- 12 -男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到 0.1） ；（2）若规定平均每天运动的时间不少于 2 小时的学生为“运动达人” ，低于 2 小时的学生为“非运动达人”.请根据样本估算该校“运动达人”的数量；请根据上述表格中的统计数据填写下面 列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“是否为运动达人与
16、性别有关？”参考公式： ，其中 .参考数据：010 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）1.5；（2）4000；在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关” 【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽 人，女生抽 人，故 ，由此求得男生平均运动事件为 小时；（2）计算 ，故在犯错误的概率不超过 的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关”.- 13 -试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为 人，女生抽取人数为人，故 ，则该校男生平均每天运动时间
17、为：故该校男生平均每天运动的时间约为 1.5 小时；（2）样本中“运动达人”所占比例是 ，故估计该校“运动达人”有人；由表可知：故 的观测值故在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下不能认为“是否为运动达人与性别有关”考点：1.频率分布直方图；2.独立性检验.21. 设不等式 的解集为 ，且 .（1）试比较 与 的大小；（2）设 表示数集 中的最大数，且 ，求 的范围.【答案】 （1）见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）解不等式 可得 ，即 范围已知，然后比较和 的大小可用作差法；（2）很显然由 ，知 ，同样 ，对 ， ， 时取等号，因此可以想象有 ，当然也可以由定义得，把它们结合起来，相
18、乘有- 14 -试题解析：（1） ，（2）考点：解绝对值不等式，比较大小，新定义22. 已知函数 （为自然对数的底数） （1）求 的单调区间；（2）是否存在正实数 使得 ，若存在求出 ，否则说明理由；【答案】 （1）单调递减区间是 ，单调递增区间为 ；（2）不存在，证明见解析【解析】分析：（1）先求一阶导函数 的根，求解 或 的解集，写出单调区间。（2）函数 在 上的单调性，和函数的对称性说明不存在详解：（1）函数 的单调递减区间是 ，单调递增区间为 （2）不存在正实数 使得 成立，事实上，由（1）知函数 在 上递增，而当 ，有 ，在 上递减，有 ，因此，若存在正实数 使得 ，必有 令 ，令 ，因为 ，所以 ，所以 为 上的增函数，所以，即 ，故不存在正实数 使得 成立- 15 -点睛：方程的根、函数的零点、两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用。
