1、- 1 -2017-2018 学年第二学期赣州市十四县（市）期中联考高三理科数学试卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 设全集 ，集合 ， ，则 为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意得 ， ， ， 选 D 2. 已知复数 满足 ， 是 的共轭复数则 （ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ， ， 选 C3. 以下有关命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”B. “ ”是“ ”成立的必要不充分条件C. 对于命题 ，使得 ，则 ，均
2、有D. 若 为真命题，则 与 至少有一个为真命题【答案】D【解析】对于 A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”- 2 -正确：对于 B. “ ”则“ ”，故“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，正确；对于 C. 对于命题 ，使得 ，则 ，均有正确；对于 D.若 为真命题，则 与 至少有一个为真命题，故 D 错误.故选 D4. 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数，当 时， （b 为常数） ，则 f(-2)=（ ）A. 6 B. -6 C. 4 D. -4【答案】A ， ， 选 A 5. 设等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，且 ，则 的值是（ ）A. 8 B. 10 C. 4 D.
3、4 或 10【答案】A【解析】由题意得 ，解得 ；，解得 等差数列 的公差 ， 选 A - 3 -6. 已知 为单位向量， ，则 的最大值为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】设向量 的夹角为 由题意得 ， ，当 时等号成立，故 的最大值为 2选 C7. 已知 ，执行下面的程序框图，如果输入的 ，那么输出的 的值为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】由题意得 - 4 -所以输入的 执行如图所示的程序，可得： ，不满足条件，继续运行； ，不满足条件，继续运行； ，满足条件，停止运行，输出 4选 B8. 设， 满足约束条件 ，则目标函数 z=x+y
4、的最优解(x,y)是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出 表示的可行域，如图三角形 内部及边界即为所作可行域，由图知平移至 点处达到最小值，联立 ，解得 ，即 ，目标函数取最小值时的最优解是 ，故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9. 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的各面中最大面的面积
5、为（ ）- 5 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱锥 结合三视图中的数据可得 ，故此几何体的各面中最大面的面积为 选 B10. 已知函数 的图象的一个对称中心为 ，且 ，则 的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】由题意得 或 ， 或 ， 或 ，又 ， 或 的最小值为 选 A- 6 -11. 已知双曲线 ： 的左右焦点分别为 ， ， 为双曲线 上一点， 为双曲线 C 渐近线上一点， ， 均位于第一象限，且 ， ，则双曲线 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为 ，
6、设点 Q 坐标为 ，则 ， ， ， 设 ，由 得， ， ，点 在双曲线上， ， ， ，解得 或 ，双曲线 的离心率为 2选 B点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不- 7 -等式，利用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围12. 设 ，令 ， ，若 ，则数列的前 项和为 ，当 时， 的最小整数值为（ ）A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020【答案】A【解析】由题意得， 由此可得 ，故可归纳得 ， ， ，由题意得 ，解得 的最小整数值为 2017选 A点睛：（1）常见的归纳推理分为数的
7、归纳和形的归纳两类：数的归纳包括数字的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳（2）数列求和时，要根据数列项的特点，选择适合的方法本题中由于是分式型数列求和，故选用列项求和的方法第卷（非选择题共 90 分）- 8 -二、填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，满分 20 分 ）13. 若 的展开式的常数项是_【答案】5【解析】二项式 展开式的通项为 ，令 ，得 ，即二项式 展开式中的常数项是 .14. 记直线 的倾斜角为 ，则 的值为 _.【答案】【解析】直
8、线 的斜率为 2， ， ， 答案： 15. 九章算术中研究盈不足问题时，有一道题是“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”题意即为“有厚墙五尺，两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问几天后两鼠相遇？” 赣州古城墙某处厚 33 尺，两硕鼠按上述方式打洞，相遇时是第_天 （用整数作答）【答案】6【解析】由题意得 - 9 -16. 为自然对数的底数，已知函数 ，若 使得函数 有三个零点，则 m 的取值范围是_【答案】【解析】由 得 令 ，则 在 上单调递减，且 又由 得 ，由 得 ，且
9、当 时， 单调递增；当 时， 单调递减所以当 时 有极大值，且极大值为 画出两函数的图象如图所示，结合图象可得，要使函数 有三个零点，需满足 ，解得 故所求 m 的取值范围是 答案：- 10 -点睛：已知函数的零点个数（或方程根的个数）求参数取值范围时，一般借助函数的图象利用数形结合的方法求解解题时可利用分离参数的方法使方程的一边只含有参数，而另一边是不含参数的形式，然后在坐标系内画出函数的图象，并结合图象和零点个数来确定参数的取值范围三、解答题（共 70 分）17. 已知函数 .（）求函数 f(x)的最小正周期和单调递减区间；（）在 中， a， b， c 分别是角 A， B， C 的对边，若
10、 ， ， 的面积为，求 a 边的长.【答案】(1)见解析;(2)5.【解析】试题分析：（1）解析式可化为 ，由此可得最小正周期，将 代入正弦函数的增区间，求得 x 的范围即可得到函数的单调增区间 （2）由 可得 ，根据 的 面积为 可得 ，然后由余弦定理可得 试题解析：（1） 的最小正周期由 ，得 , ,函数 的单调递减区间是 （2）由（1）得 ， ， ，- 11 - .又 ， ，由余弦定理得 ，又 ， ， 点睛：利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形
11、的其他各量(3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围18. 在某单位的食堂中，食堂每天以 10 元/斤的价格购进米粉，然后以 4.4 元/碗的价格出售，每碗内含米粉 0.2 斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以 2 元/斤的价格卖给养猪场.根据以往统计资料，得到食堂每天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂该天购进了 80斤米粉，以 （斤） （其中 ）表示米粉的需求量， （元）表示利润.（1）估计该天食堂利润不少于 760 元的概率；（2）在直方图的需求量分组中，以区间中间值作为该区间的需求量，以需求量落入该区间的频
12、率作为需求量在该区间的概率，求 的分布列和数学期望.【答案】(1)0.65;(2)见解析.【解析】试题分析：(1)由题意可得利润函数 结合题意求解不等式有即 .则食- 12 -堂利润不少于 760 元的概率是 .(2)由题意可知 可能的取值为 460，660，860，960.分别求得相应的概率有 ， ， .据此得出分布列，然后计算数学期望有.试题解析：（1）一斤米粉的售价是 元.当 时， .当 时， .故设利润 不少于 760 元为事件 ，利润 不少于 760 元时，即 .解得 ，即 .由直方图可知，当 时，.（2）当 时， ；当 时， ；当 时， ；当 时， .所以 可能的取值为 460，6
13、60，860，960.，.故 的分布列为.19. 已知四棱锥 ，底面 为菱形， 为 上的点，过 的平面分别交- 13 -于点 ，且 平面 （1）证明： ；（2）当 为 的中点， ， 与平面 所成的角为 ，求平面 AMHN 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）连 交 于点 ，连 ，则得 ，进而可得 平面 ，于是 由线面平行的性质可得 ，所以得 （2）由条件可得 两两垂直，建立空间直角坐标系，然后分别求出平面 AMHN 与平面 ABCD 的法向量，通过两法向量的夹角的余弦值可得所求试题解析：（1）证明：连 交 于点 ，连 因为四边形 为菱形，
14、所以 ，且 为 、 的中点因为 ，所以 ，又 且 平面 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以 因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，所以 - 14 -（2）由（1）知 且 ，因为 ，且 为 的中点，所以 ，又 ，所以 平面 ，所以 与平面 所成的角为 ，所以 ，因为 ，所以 分别以 为 轴，建立如图所示空间直角坐标系 设 ，则，所以设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 由题意可得平面 的法向量为 ， 所以 所以平面 AMHN 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 - 15 -20. 已知椭圆系方程 ： ( ， )， 是椭圆 的焦点， 是椭圆 上一点，且 .（1）求 的方程；（2） 为
15、椭圆 上任意一点，过 且与椭圆 相切的直线 与椭圆 交于 ， 两点，点 关于原点的对称点为 ，求证： 的面积为定值，并求出这个定值【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：试题解析：（1）由题意得椭圆 的方程为 ： ，即 ，又 为椭圆 上一点， - 16 -，即 ，又 ，,椭圆 的方程为 （2）解：当直线 斜率存在时，设 方程为 ,由 消去 y 整理得 ，直线 与椭圆 相切， ，整理得 设 ，则 ，且 ，点 到直线 的距离 ，同理由 消去 y 整理得 ，设 ，则 ， ， 当直线 斜率不存在时，易知综上可得 的面积为定值 点睛：- 17 -（1）圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题
16、型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查（2）求定值问题常见的方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值21. 已知函数 .（1）若 ，求 的单调区间；（2）若关于 的不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围；（3）求证：对 ，都有 .【答案】(1)见解析.(2) ；(3)证明见解析【解析】试题分析：(1)求解导函数有 .结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得 的单调增区间为 ，单调减区间为 .(2)二次求导可得 .分类讨论：当
17、 时， 对一切 恒成立.当 时， ， 对一切 不恒成立.当 时， 对一切 不恒成立.综上可得实数 的取值范围是 .(3)结合(2)的结论，取 ，有 时， .则 .结合对数的运算法则即可证得题中的不等式.试题解析：（1）当 时，函数 ，定义域为 ， .令 可得 ，令 可得 .所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 .- 18 -（2） ，.当 时， ， .故 在区间 上递增，所以 ，从而 在区间 上递增.所以 对一切 恒成立.当 时， ，.当 时， ，当 时， .所以 时， .而 ，故 .所以当 时， ， 递减，由 ，知 ，此时 对一切 不恒成立.当 时， ，在区间 上递减，有 ，从而 在区间 上
18、递减，有 .此时 对一切 不恒成立.综上，实数 的取值范围是 .（3）由（2）可知，取 ，当 时，有 .- 19 -取 ，有 ，即 .所以，所以 .点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用选修 44：坐标
19、系与参数方程22. 在平面直角坐标系 中，已知曲线 与曲线 （ 为参数，） 以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）写出曲线 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点 是射线 与 的公共点，点 是 与 的公共点，当在区间 上变化时，求 的最大值【答案】(1)见解析;(2) .【解析】 【试题分析】 （1）对于曲线 直接代入公式即可得到极坐标方程，对于 先消去参数转化为直角坐标方程，再代入公式得到极坐标方程.（2）利用极坐标表示 ，然后利用辅助角公式化简求得最大值.【试题解析】（1）曲线 的极坐标方程为 ，即 曲线 的普通方程为 ，即 ，所以曲线 的极坐标方程为 （2） 由（1）知 ，- 20 -由 知 ，当 ，即 时， 有最大值 选修 4-5:不等式23. 已知 且 （1）求 的最大值 ；（2）若不等式 对任意 成立，求实数 的取值范围【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】试题分析：（1）由基本不等式 可得 ，从而可得最大值 （2）由于时 ，故由题意可得 对 恒成立，于是或 恒成立，解得 或 ，从而可得所求的范围试题解析：（1）由 ，得 ，当且仅当 取最大值，.（2）由（1）得 ， 故由题意得 对 恒成立，或 对 恒成立，当 时， ， ， 或故实数 的取值范围
