1、1专题八 二次函数综合题类型一 新定义问题(2017河南)如图，直线 y xc 与 x 轴交于点 A(3，0)，与 y 轴交于点 B，抛物线23y x2bxc 经过点 A，B.43(1)求点 B 的坐标和抛物线的解析式；(2)M(m，0)为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点 P，N.点 M 在线段 OA 上运动，若以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似，求点 M 的坐标；点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M，P，N 中恰有一点是其他两点所连线段的中点(三点重合除外)，则称 M，P，N 三点为“共谐点”请直接写出使得 M，P，N 三点成
2、为“共谐点”的 m 的值例 1 题图备用图【分析】 (1)把 A 点坐标代入直线解析式可求得 c，则可求得 B 点坐标，由点 A，B 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由 M 点坐标可表示点 P，N 的坐标，从而可表示出 MA，MP，PN，PB 的长，分NBP90和BNP90两种情况，分别利用相似三角形的性质可得到关于 m 的方程，可求得 m 的值；用 m 可表示出点 M，P，N 的坐标，由题意可知有 P 为线段 MN 的中点、M 为线段 PN 的中点或 N 为线段PM 的中点，可分别得到关于 m 的方程，即可求得 m 的值【自主解答】解：(1)y xc 过点 A(3，0)，与
3、y 轴交于点 B，2302c，解得 c2，B(0，2)抛物线 y x2bxc 经过点 A，B，432解得 12 3b c 0，c 2， ) b 103，c 2， )抛物线的解析式为 y x2 x2.43 103(2)由(1)可知直线的解析式为 y x2，23M(m，0)为 x 轴上一动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AB 及抛物线分别交于点P，N.P(m， m2)，N(m， m2 m2)，23 43 103PM m2，AM3m，PN m2 m2( m2) m24m，23 43 103 23 43BPN 和APM 相似，且BPNAPM，BNPAMP90或NBPAMP90.当BNP90
4、时，则有 BNMN，N 点的纵坐标为 2， m2 m22，解得 m0(舍去)或 m2.5，43 103M(2.5，0)；当NBP90时，过点 N 作 NCy 轴于点 C，例 1 题解图则NBCBNC90，NCm，BC m2 m22 m2 m，43 103 43 103NBP90，NBCABO90，ABOBNC，RtNCBRtBOA， ，NCOB CBOA ，解得 m0(舍去)或 m .m2 43m2 103m3 118M( ，0)；1183综上可知，当以 B，P，N 为顶点的三角形与APM 相似时，点 M 的坐标为(2.5，0)或( ，0)；118由可知 M(m，0)，P(m， m2)，N(m
5、， m2 m2)，23 43 103M，P，N 三点为“共谐点”，当 P 为线段 MN 的中点时，则有 2( m2) m2 m2，解得 m3(三点重合，舍去)或 m ；23 43 103 12当 M 为线段 PN 的中点时，则有 m2( m2 m2)0，解得 m3(舍去)或 m1；23 43 103当 N 为线段 PM 的中点时，则有 m22( m2 m2)，解得 m3(舍去)或 m .23 43 103 14综上可知，当 M，P，N 三点成为“共谐点”时，m 的值为 或1 或 .12 141(2015河南)如图，边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点
6、 A，点P 是抛物线上点 A，C 间的一个动点(含端点)，过点 P 作 PFBC 于点 F，点 D，E 的坐标分别为(0，6)，(4，0)，连接 PD，PE，DE.(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)小明探究点 P 的位置发现：当 P 与点 A 或点 C 重合时，PD 与 PF 的差为定值，进而猜想：对于任意一点 P，PD 与 PF 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；(3)小明进一步探究得出结论：若将“使PDE 的面积为整数”的点 P 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使PDE 的周长最小的点 P 也是一个“好点”请直接写出所有“好点”的个数，并求出PDE 周长最小时“好点”
7、的坐标第 1 题图备用图42(2018崇仁一中二模)如图，若抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上，抛物线 L2的顶点 B 在抛物线 L1上(点 A 与点 B 不重合)，我们把这样的两抛物线 L1，L 2称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条(1)抛物线 L1：yx 24x3 与抛物线 L2是“伴随抛物线”，且抛物线 L2的顶点 B 的横坐标为 4，求抛物线 L2的表达式；(2)若抛物线 ya 1(xm) 2n 的任意一条“伴随抛物线”的表达式为 ya 2(xh) 2k，请写出 a1与 a2的关系式，并说明理由；(3)在图中，已知抛物线 L1：ymx 22mx3m(m0
8、)与 y 轴相交于点 C，它的一条“伴随抛物线”为L2，抛物线 L2与 y 轴相交于点 D.若 CD4m，求抛物线 L2的对称轴图图563(2018郑州模拟)如图，已知点 C(0，3)，抛物线的顶点为 A(2，0)，与 y 轴交于点 B(0，1)，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PMx 轴于点 M.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 F 在抛物线的对称轴上，且纵坐标为 1，连接 PF，PC，CF，求证：对于任意点 P，PF 与 PM 的差为常数(3)记(2)中的常数为 a，若将“使PCF 面积为 2a”的点 P 记作“巧点”，则存在多个“巧点”，且使PCF 的周长最小的点 P 也是
9、一个“巧点”，请直接写出所有“巧点”的个数，并求出PCF 的周长最小时“巧点”的坐标74(2017焦作一模)如图，直线 y xm 与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B(0，1)，抛物线34y x2bxc 经过点 B，点 C 的横坐标为 4.12(1)请直接写出抛物线的解析式；(2)如图，点 D 在抛物线上，DEy 轴交直线 AB 于点 E，且四边形 DFEG 为矩形，设点 D 的横坐标为x(0x4)，矩形 DFEG 的周长为 l，求 l 与 x 的函数关系式以及 l 的最大值；(3)将AOB 绕平面内某点 M 旋转 90或 180，得到A 1O1B1，点 A，O，B 的对应点分别是点A1
10、，O 1，B 1.若A 1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转 180时点 A1的横坐标图图8类型二 线段、角度数量关系探究(2016河南)如图，直线 y xn 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C(0，4)，抛物线43y x2bxc 经过点 A，交 y 轴于点 B(0，2)点 P 为抛物线上一个动点，过点 P 作 x 轴的垂线 PD，23过点 B 作 BDPD 于点 D，连接 PB，设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)当BDP 为等腰直角三角形时，求线段 PD 的长；(3)如图，将BDP 绕点 B 逆时针旋转
11、，得到BDP，且旋转角PBPOAC，当点 P 的对应点P落在坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标图图例 2 题图备用图【分析】 先确定出点 A 的坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式；(2)由BDP 为等腰直角三角形，判断出 BDPD，建立 m 的方程计算出 m，从而求出 PD；(3)分点 P落在 x 轴和 y 轴两种情况计算即可当点 P落在 x 轴上时，过点 D作 DNx 轴，垂足为 N，交 BD 于点 M，先利用互余和旋转角相等得出DBDNDPPBP，进而表示出 ND的长度，通过构造方程求解；的思路同.【自主解答】解：(1)点 C(0，4)在直线 y xn 上，439n4，y x4.43
12、当 y0 时，0 x4，43解得 x3，A(3，0)抛物线 y x2bxc 经过点 A，交 y 轴于点 B(0，2)，23 6 3b c 0，c 2， )解得 b 43，c 2， )抛物线的解析式为 y x2 x2.23 43(2)点 P 为抛物线上一个动点，且横坐标为 m，P(m， m2 m2)，D(m，2)，23 43BD|m|，PD| m2 m22| m2 m|.23 43 23 43BDP 为等腰直角三角形，且 PDBD，BDPD.当点 P 在直线 BD 上方时，PD m2 m.23 43(i)若点 P 在 y 轴左侧，则 m0，BDm. m2 mm，23 43解得 30(舍去)，m
13、4 .72当点 P 在直线 BD 下方时，m0，BDm，PD m2 m.23 43 m2 mm，解得 50(舍去)，m 6 .23 43 12综上所述，m 或 .即当BDP 为等腰直角三角形时，PD 的长为 或 .72 12 72 12(3)P1( ， )，P 2( ， )，P 3( ， )54 5 43 5 4 5 43 258 113210提示：PBPOAC，OA3，OC4，AC5，sinPBP ，cosPBP .45 35当点 P落在 x 轴上时，过点 D作 DNx 轴，垂足为点 N，交 BD 于点M，DBDNDPPBP.如解图，例 2 题解图NDMD2，即 ( m2 m)( m)2；3
14、523 43 45m (舍去)或 m ；5 5如解图，例 2 题解图NDMD2，即 ( m2 m) m2，3523 43 45m 或 m (舍去)，5 5P( ， )或 P( ， )54 5 43 5 4 5 43当点 P落在 y 轴上时，如解图，过点 D作 DMx 轴，交 BD 于点 M，过点 P作 PNy 轴，交MD的延长线于点 N，11例 2 题解图DBDNDPPBP.PNBM，即 ( m2 m) m，4523 43 35m ，P( ， )258 258 11321(2014河南)如图，抛物线 yx 2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(5，0)两点，直线y x3 与 y 轴交于
15、点 C，与 x 轴交于点 D.点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点，过点 P 作 PFx 轴于34点 F，交直线 CD 于点 E.设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)若 PE5EF，求 m 的值；(3)若点 E是点 E 关于直线 PC 的对称点，是否存在点 P，使点 E落在 y 轴上？若存在，请直接写出相应的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由122(2018洛阳一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax 2bx2(a0)与 x 轴交于 A(1，0)，B(3，0)两点，与 y 轴交于点 C，其顶点为点 D，点 E 的坐标为(0，1)，该抛物线与 BE 交于另一点
16、F，连接 BC.(1)求该抛物线的解析式；(2)一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿与 y 轴平行的方向向上运动，连接 OM，BM，设运动时间为 t 秒(t0)，在点 M 的运动过程中，当 t 为何值时，OMB90？(3)在 x 轴上方的抛物线上，是否存在点 P，使得PBF 被 BA 平分？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由133(2018新野一模)已知抛物线 yax 2bx2 经过 A(1，0)，B(2，0)，C 三点直线 ymx 交抛12物线于 A，Q 两点，点 P 是抛物线上直线 AQ 上方的一个动点，作 PFx 轴，垂足为 F，交 AQ 于点 N.
17、(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点 P 运动到什么位置时，线段 PN2NF，求出此时点 P 的坐标；(3)如图，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，点 M 为抛物线的顶点，在直线 DE 上是否存在一点 G，使CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由图图144如图，抛物线 yax 2bx3(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，与 y 轴交于点 C，连接 BC.(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线上是否存在点 M，使得MBC 的面积与OBC 的面积相等，若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)点 D(2，
18、m)在第一象限的抛物线上，连接 BD.在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点 P，满足PBCDBC？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由第 4 题图备用图15类型三 特殊图形判定问题(2018河南)如图，抛物线 yax 26xc 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C，直线 yx5 经过点 B，C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点 A 的直线交直线 BC 于点 M.当 AMBC 时，过抛物线上一动点 P(不与点 B，C 重合)，作直线 AM 的平行线交直线 BC 于点 Q.若以点A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 P 的横坐标；连接 AC，当直线 AM 与
19、直线 BC 的夹角等于ACB 的 2 倍时，请直接写出点 M 的坐标例 3 题图备用图【分析】 (1)利用一次函数解析式确定 C(0，5)，B(5，0)，然后利用待定系数法求抛物线的解析式；(2)先解方程x 26x50 得 A(1，0)，再判断OCB 为等腰直角三角形得到OBCOCB45，则AMB 为等腰直角三角形，所以 AM2 ，接着根据平行四边形的性质得到 PQAM2 ，PQBC，2 2作 PDx 轴交直线 BC 于 D，如解图，利用PDQ45得到 PD PQ4.设 P(m，m 26m5)，则2D(m，m5)，讨论：当 P 点在直线 BC 上方时，PDm 26m5(m5)4；当 P 点在直
20、线 BC 下方时，PDm5(m 26m5)，然后分别解方程即可得到 P 点的横坐标；作 ANBC 于 N，NHx 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E，如解图，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到AM 1B2ACB，再确定 N(3，2)，AC 的解析式为 y5x5，E 点坐标为( ， )，利用两直线垂直的问题可设直线 EM1的解析式为 y xb，把 E( ， )代入求出 b 得到12 52 15 12 52直线 EM1的解析式为 y x ，则解方程组 得 M1点的坐标；在直线 BC 上作点 M1关15 125 y x 5，y 15x 125， )于 N 点的
21、对称点 M2，如解图，利用对称性得到AM 2CAM 1B2ACB，设 M2(x，x5)，根据中点坐16标公式得到 3 ，然后求出 x 即可得到点 M2的坐标，从而得到满足条件的点 M 的坐标136 x2【自主解答】 解：(1)当 x0 时，yx55；当 yx50 时，x5B(5，0)，C(0，5)将 B，C 两点的坐标代入 yax 26xc 中，得 解得0 25a 30 c，c 5， ) a 1，c 5， )抛物线的解析式为 yx 26x5.(2)解方程x 26x50 得 x11，x 25，则 A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)，OCB 为等腰直角三角形，OBCOCB45.AMBC，AM
22、B 为等腰直角三角形，AM AB 42 .22 22 2以点 A，M，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AMPQPQAM2 ，PQBC，2作 PDx 轴交直线 BC 于 D，如解图，则PDQ45，PD PQ4，设 P(m，m 26m5)，则 D(m，m5)2当 P 点在直线 BC 上方时，PDm 26m5(m5)m 25m4，解得 m11，m 24.当 P 点在直线 BC 下方时；PDm5(m 26m5)m 25m4，解得 m1 ，m 2 .5 412 5 412综上所述，P 点的横坐标为 4 或 或 .5 412 5 412作 ANBC 于 N，NHx 轴于 H，作 AC 的垂直平分线交
23、BC 于 M1，交 AC 于 E，如解图.M 1AM 1C，ACM 1CAM 1，AM 1B2ACB.ANB 为等腰直角三角形，17AHBHNH2，N(3，2)，易得 AC 的解析式为 y5x5，E 点坐标为( ， )，12 52设直线 EM1的解析式为 y xb，15把 E( ， )代入，得 b ，解得 b ，12 52 110 52 125直线 EM1的解析式为 y x ，解方程组 得 ，则 M1( ， )；15 512 y x 5，y 15x 125， ) x 136，y 176， ) 136 176作直线 BC 上作点 M1关于 N 点的对称点 M，如解图，则AM 2C2ACB，设 M
24、2(x，x5)，3 ，136 x2x ，236M 2( ， )236 76图图例 3 题解图1(2013河南)如图，抛物线 yx 2bxc 与直线 y x2 交于 C，D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点1218D 的坐标为(3， )，点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 CD 于点 F.72(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 的横坐标为 m，当 m 为何值时，以 O，C，P，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由；(3)若存在点 P，使PCF45，请直接写出相应的点 P 的坐标第 1 题图备用图192(2017河南名校模拟)如图，二次函数 y
25、x 2bxc 的图象经过 A(1，0)和 B(3，0)两点，且交 y轴于点 C，M 为抛物线的顶点(1)求这个二次函数的表达式；(2)若将该二次函数图象向上平移 m(m0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在BOC 的内部(不包含边界)，求 m 的取值范围；(3)点 P 是抛物线上一动点，PQBC 交 x 轴于点 Q，当以点 B，C，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形时，求点 P 的坐标203如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2bxc 与 x 轴交于 A(1，0)、B 两点，其顶点为(1，4)，直线 yx2 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 C，点 P 是 x 轴下方的抛
26、物线上一动点，过 P 点作 PFx 轴于点 F，交直线 CD 于点 E，设点 P 的横坐标为 m.(1)求抛物线的解析式；(2)若 PE3EF，求 m 的值；(3)连接 PC，是否存在点 P，使PCE 是以 PE 为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出 m 的值；若不存在，请说明理由21参考答案类型一针对训练1解：(1)边长为 8 的正方形 OABC 的两边在坐标轴上，以点 C 为顶点的抛物线经过点 A，C(0，8)，A(8，0)，设抛物线的解析式为：yax 2c，则 解得：c 8，64a c 0， ) a 18，c 8， )故抛物线的解析式为：y x28.18(2)正确，理由：设 P(a，
27、a28)，则 F(a，8)，18D(0，6)，PD a22.a2 （ 18a2 2） 2 （ 18a2 2） 2 18PF8( a28) a2，18 18PDPF2；(3)在点 P 运动时，DE 大小不变，则 PE 与 PD 的和最小时，PDE 的周长最小，PDPF2，PDPF2，PEPDPEPF2，第 1 题解图如解图，当 P、E、F 三点共线时，PEPF 最小，此时点 P，E 的横坐标都为4，将 x4 代入 y x28，得 y6，18P(4，6)，此时PDE 的周长最小，且PDE 的面积为 12，点 P 恰为“好点，PDE 的周长最小时“好点”的坐标为(4，6)由(2)得：P(a， a28
28、)，1822点 D、E 的坐标分别为(0，6)，(4，0)，第 1 题解图如解图，当4a0 时，SPDE S PEO S POD S DOE 4( a28) 6(a) 4612 18 12 12 a23a4 (ab) 213，14 144S PDE 12.当 a0 时，S PDE 4；第 1 题解图如解图，过点 P 作 PNx 轴于点 N，当8a4 时，SPDE S 梯形 PNODS PNE S DOE( a286)(a) 46(a4)( a28) a23a4 (ab) 213，18 12 12 18 12 14 1412S PDE 13；当 a8 时，S PDE 12，PDE 的面积可以等于
29、 4 到 13 的所有整数，在面积为 12 时，a 的值有两个，面积为整数时好点有 11 个，经过验证周长最小的好点包含这 11 个之内，“好点”共有 11 个综上所述，共有 11 个，“好点”，P(4，6)2解：(1)由 yx 24x3 可得点 A 的坐标为(2，1)，将 x4 代入 yx 24x3，得 y3，B 点的坐标为(4，3)，设抛物线 L2的解析式为 ya(x4) 23.将 A(2，1)代入，得 1a(24) 23，解得 a1，抛物线 L2的表达式为 y(x4) 23；(2)a1a 2，理由如下：抛物线 L1的顶点 A 在抛物线 L2上，抛物线 L2的顶点 B 在抛物线 L1上，2
30、3可列方程组 n a2（ m h） 2 k，k a1（ h m） 2 n， )整理，得(a 1a 2)(mh) 20.“伴随抛物线”的顶点不重合，mh，a 1a 2.(3)抛物线 L1：ymx 22mx3m 的顶点坐标为(1，4m)，设抛物线 L2的顶点的横坐标为 h，则其纵坐标为 mh22mh3m，抛物线 L2的表达式为 ym(xh) 2mh 22mh3m，化简，得 ymx 22mhx2mh3m，点 D 的坐标为(0，2mh3m)，又点 C 的坐标为(0，3m)，|(2mh3m)(3m)|4m，解得 h2，抛物线 L2的对称轴为直线 x2.3(1)解：设抛物线的解析式为 ya(x2) 2.将
31、点 B 的坐标代入得 4a1，解得 a .14抛物线的解析式为 y (x2) 2，即 y x2x1.14 14(2)证明：设点 P 的坐标为(m， (m2) 2)，14PM (m2) 2，M(m，0)14依据两点间的距离公式可知 PF（ m 2） 2 14（ m 2） 2 12（ m 2） 2 116（ m 2） 4 12（ m 2） 2 1 116（ m 2） 4 12（ m 2） 2 1 14（ m 2） 2 12(m2) 21，14PFPM1.对于任意点 P，PF 与 PM 的差为常数(3)解：设直线 CF 的解析式为 ykx3，将点 F 的坐标代入，得 2k31，解得 k1，直线 CF
32、 的解析式为 yx3.由两点间的距离公式可知 CF2 .2a1，2a2.24设在PCF 中，边 CF 的上的高线长为 x，则 2 x2，解得 x .12 2 2如解图，过点 C 作 CGCF，取 CG .则点 G 的坐标为(1，2)2第 3 题解图过点 G 作 GHFC，设直线 GH 的解析式为 yxb，将点 G 的坐标代入，得 1b2，解得 b1，直线 GH 的解析式为 yx1，令x1 (x2) 2，解得 x0，14PCF 的一个巧点的坐标为(0，1)显然，直线 GH 在 CF 的另一侧时，直线 GH 与抛物线有两个交点F，C 为定点，CF 的长度不变，当 PCPF 最小时，PCF 的周长最
33、小PFPM1，PCPFPCPM1，当 C、P、M 在一条直线上时，PCF 的周长最小此时 P(0，1)综上所述，PCF 的巧点有 3 个，PCF 的周长最小时，“巧点”的坐标为(0，1)4解：(1)直线 l：y xm 经过点 B(0，1)，34m1，直线 l 的解析式为 y x1.34直线 l：y x1 经过点 C，且点 C 的横坐标为 4，34y 412.34抛物线 y x2bxc 经过点 C(4，2)和点 B(0，1)，12 ，解得 ，1242 4b c 2c 1 ) b 54c 1)抛物线的解析式为 y x2 x1；12 5425(2)令 y0，则 x10，解得 x ，34 43点 A
34、的坐标为( ，0)，43OA .43在 RtOAB 中，OB1，AB .OA2 OB2（ 43） 2 12 53DEy 轴，ABODEF，在矩形 DFEG 中，EFDEcosDEFDE DE，DFDEsinDEFDE DE，OBAB 35 OAAB 45l2(DFEF)2( )DE DE.45 35 145点 D 的横坐标为 t(0t4)，D(t， t2 t1)，E(t， t1)，12 54 34DE( t1)( t2 t1) t22t，34 12 54 12l ( t22t) t2 t，145 12 75 285l (t2) 2 ，且 0，75 285 75当 t2 时，l 有最大值 .28
35、5(3)“落点”的个数为 4，如解图，解图，解图，解图所示图图26图图第 4 题解图如解图，设点 A1的横坐标为 m，则点 O1的横坐标为 m ，43 m2 m1 (m )2 (m )1，12 54 12 43 54 43解得 m ，712如解图，设点 A1的横坐标为 m，则点 B1的横坐标为 m ，B 1的纵坐标比点 A1的纵坐标大 1，43 m2 m11 (m )2 (m )1，解得 m ，12 54 12 43 54 43 43旋转 180时点 A1的横坐标为 或 .712 43类型二针对训练1解：(1)将点 A，B 的坐标代入抛物线解析式，得：解得 1 b c 0， 25 5b c 0
36、， ) b 4，c 5， )抛物线的解析式为 yx 24x5，(2)点 P 的横坐标为 m，P(m，m 24m5)，E(m， m3)，F(m，0)，34PE|y Py E|(m 24m5)( m3)|m 2 m2|，34 194EF|y Ey F|( m3)0| m3|，34 34由题意，得 PE5EF，即|m 2 m2|5| m3| m15|.194 34 154若m 2 m2 m15，整理，得 2m217m260，194 15427解得 m2 或 m ；132若m 2 m2( m15)，整理，得 m2m170，194 154解得 m 或 m .1 692 1 692由题意，得 m 的取值范
37、围为1m5，故 m ，m 这两个解不符合题意，132 1 692m2 或 m .1 692(3)假设存在作出示意图如解图：点 E、E关于直线 PC 对称，12，CECE，PEPE.PE 平行于 y 轴，13，23，PECE，PECEPECE，即四边形 PECE是菱形当四边形 PECE是菱形存在时，由直线 CD 的解析式 y x3，可得 OD4，OC3，由勾股定理，得 CD5，34过点 E 作 EMx 轴，交 y 轴于点 M，易得CEMCDO， ，即 ，解得 CE |m|，MEOD CECD |m|4 CE5 54PECE |m|，又由(2)可知：PE|m 2 m2|，54 194|m 2 m2
38、| |m|.194 54若m 2 m2 m，整理，得 2m27m40，解得 m4 或 m ；194 54 12若m 2 m2 m，整理，得 m26m20，解得 m13 ，m 23 .194 54 11 11由题意，得 m 的取值范围为1m5，故 m3 这个解舍去，11当四边形 PECE是菱形这一条件不存在时，此时 P 点横坐标为 0，E，C，E三点重合于 y 轴上，也符合题意，P(0，5)综上所述，存在满足条件的点 P，可求得点 P 的坐标为(0，5)或( 或 )或(4，5)或12 114(3 ，2 3)11 1128第 1 题解图2解：(1)抛物线 yax 2bx2(a0)与 x 轴交于 A
39、(1，0)，B(3，0)两点， 解得a b 2 0，9a 3b 2 0， ) a 23，b 83， )抛物线的解析式为 y x2 x2；23 83(2)如解图，由(1)知 y x2 x2 (x2) 2 ；23 83 23 23D 为抛物线的顶点，D(2， )23一动点 M 从点 D 出发，以每秒 1 个单位的速度沿平行与 y 轴平行的方向向上运动，设 M(2，m)(m )，23OM 2m 24，BM 2m 21，OB 29.OMB90，OM 2BM 2OB 2，m 24m 219，解得 m 或 m (舍去)，2 2M(2， )，2MD .223t ；223图29图第 2 题解图(3)存在点 P
40、，使得PBF 被 BA 平分，如解图，PBOEBO，E(0，1)，在 y 轴上取一点 N(0，1)B(3，0)，直线 BN 的解析式为 y x1.13点 P 在抛物线 y x2 x2上，23 83联立，得 y 13x 1，y 23x2 83x 2， )解得 ，或 ，x 32y 12) x 3y 0)P( ， )32 123解：(1)抛物线 yax 2bx2 经过 A(1，0)，B(2，0)，将点 A 和点 B 的坐标代入，得 解得a b 2 0，4a 2b 2 0， ) a 1，b 1， )抛物线的解析式为 yx 2x2.(2)直线 ymx 交抛物线与 A，Q 两点，把 A(1，0)代入解析式
41、，得 m ，12 12直线 AQ 的解析式为 y x .12 12设点 P 的横坐标为 n，则 P(n，n 2n2)，N(n， n )，F(n，0)，12 12PNn 2n2( n )n 2 n ，NF n .12 12 12 32 12 12PN2NF，n 2 n 2( n )，解得 n1 或 .12 32 12 12 12当 n1 时，点 P 与点 A 重合，不符合题意舍去30点 P 的坐标为( ， )12 94(3)yx 2x2，(x )2 ，12 94M( ， )12 94如解图所示，连接 AM 交直线 DE 与点 G，连接 CG，CM 此时，CMG 的周长最小第 3 题解图设直线 A
42、M 的函数解析式为 ykxb，且过 A(1，0)，M( ， )，12 94根据题意，得 解得 k b 0，12k b 94， ) k 32，b 32.)直线 AM 的函数解析式为 y x .32 32D 为 AC 的中点，D( ，1)12设直线 AC 的解析式为 ykx2，将点 A 的坐标代入，得k20，解得 k2，直线 AC 的解析式为 y2x2.设直线 DE 的解析式为 y xc，将点 D 的坐标代入，得 c1，解得 c ，12 14 34直线 DE 的解析式为 y x .12 34将 y x 与 y x 联立，解得 x ，y ，12 34 32 32 38 1516在直线 DE 上存在一点 G，使CMG 的周长最小，此时 G( ， )38 15164解：(1)抛物线 yax 2bx3(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)， a b 3 0，9a 3b 3 0， )解得 a 1，b 2， )抛物线的表达式为 yx 22x3；(2)存在
