1、- 1 -华中师大一附中 20182019 学年度上学期期中检测高二年级数学文科试题时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1抛物线 的焦点坐标为2yxA(1, 0) B C D1(,0)21(0,)41(0,)82点 M 的直角坐标为 ，则点 M 的一个极 坐标为(2,3)A B C D(4,)6(4,7(,)64(,)33设 满足约束条件 ，则 的最大值为,xy2301xy34zxyA4 B5 C6 D74圆 的直径为 ，则圆 的圆心坐标可以是2:430Cxyax19A B C
2、 D3(,1)(,)2(3,2)(3,2)5椭圆 与椭圆 的2:59xy2:1959xykkA长轴长相等 B短轴长相等 C焦距相等 D离心率相等6双曲线 的离心率是 ，则双曲线的实轴长是2C:1(0)6yxa3A B C8 D16427 时，双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重合，则抛物线的准1p216xyp2ypx线方程是A B C D5x10x5x10x- 2 -8已知方程 的曲线为 C，下面四个命题正确的个数是214xyt当 时，曲线 C 不一定是椭圆；1当 时，曲线 C 一定是双曲线；t或若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 ；512t若曲线 C 是焦点在 y 轴上的双曲线，则 4A
3、1 B2 C3 D4 9已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， P 是椭圆 C 上的点，若 F1PF2为直2143x： 1F2角三角形，则这样 的点 P 有A8 个 B6 个 C4 个 D2 个 10抛物线 的焦点为 F， M 为抛物线上一点， O 为坐标原点。 OMF 的外接圆与抛物线2yx的准线相切，则此外接圆的周长是 A3 B6 C9 D3611已知直线 ， ，点 P 为抛物线 上的任一点，则 P 到直线1:lx2:10lxy24yxl1， l2的距离之和的最小值为A2 B C1 D2 212如图， F1、 F2是椭圆 C1与等轴双曲线 C2的公共焦点， A、 B 分别是 C1、 C2在第
4、二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2为矩形，则椭圆 C1离心率是A B633C D2二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13直线 与圆 相交于 A， B 两点，则线段 AB 的长为:320lxy220xy_O xyABF1F2- 3 -14已知双曲线 上的一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3，则点 P 到另一个焦点215yx的距离为_ 15已知双曲线 (a 0， b 0)的右顶点为 A，焦距为 2c，以 A 为圆心， c 为2:1xyCb半径作圆 A，圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M， N 两点若 MAN=120，则 C 的离心率为 16在 ABC 中
5、， 且 ，则 ABC 面积的最大值为_6B9tant5tan0ABC三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分 12 分)已知双曲线的一条渐近线方程为 且与椭圆 有公20xy2194xy共焦点，求该双曲线的标准方程 18(本小题满分 12 分)设实数 满足约束条件 xy、204 5xy（1）求 的最小值，并求 z 取最小值时的 x, y 值；2zxy（2）求 的取值范围119(本小题满分 12 分)在平面直角坐标系 中，点 M 到点 的距离比它到 轴的距xOy(0,2)Fx离大 2，记点 M 的轨迹为 C（1）求轨迹 C 的方程；（2
6、）若直线 与轨迹 C 恰有 2 个公共点，求实数 b 的取值范围2yxb- 4 -20(本小题满分 12 分)阅读下面材料，完成数学问题我校高二文科班的同学到武昌农民运动讲习所研学的途中路过武汉长江大桥边的武昌长江大堤，同学们在大堤上看到与武昌隔江相对的汉阳龟山上的电视塔和汉阳江边的晴川饭店在朝阳的映照下显得非常美丽，纷纷拿出手机拍照。这时带队的老师问大家，我要站在武昌大堤的哪一点才能够同时拍下电视塔和晴川饭店最清晰的图像？听到这个问题后，同学们议论纷纷。讨论一会后，一个同学对大家说： “把电视塔看成点 A，饭店看成点 B，武昌大堤看成直线 l， C 是直线 l 上的动点，拍照最佳点就是直线上
7、使 ACB 最大的点使 ACB 最大的点的求法用初中数学的一个定理：过点 A， B 作与直线 l 相切的圆，半径较小的圆和直线 l 的切 点就是直线 l 上使 ACB 最大的点。”老师和同学们听了拍手称对。回到学校后，一位同学利用百度地图测距功能测得点 A 到直线 l 距离是 2km，点 B 到直线 l 距离是 1.5km， A， B 两点间的距离是 1km该同学以直线 l 为 x 轴，过 A 点和直线 l 垂直的 直线为 y 轴建立了如图所示的坐标系，点 A 的坐标为(0, 2)，点 B 在第一象限根据以上材料，请在所给的坐标系中，在 x 轴上求使 ACB 最大的点的坐标21 （本小题满分
8、12 分）如图，在直角坐标系 中， O 为坐标原点动点 P 在圆xy2:4Oxy上，过 P 作 y 轴的垂线，垂足为 N，点 M 在射线 NP 上，满足 2|3|NM（1）求点 M 的轨迹 G 的方程；xyOAB21- 5 -（2）过点 的直线 l 交轨迹 G 于 A， B 两点，交圆 O 于 C， D 两点若 ，1(,)2 |ACBD求直线 l 的方程；（3）设点 Q(3, t)(tR， t 0)，且 ，过点 P 且垂直于 OQ 的直线 m 与 OQ2PQ交于点E，与 x 轴交于点 F，求 OEF 周长最大时的直线 m 的方程22(本小题满分 10 分)已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原
9、点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为 ，曲线sin()562cos:inxCy( 为参数，且 )0,2（1）试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的普通方程；（2）若点 P为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 距离的最大值xyON MP- 6 -华中师大一附中20182019学年度第一学期期中考试高二年级数学文科答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D D B A C B A D C B B A二、填空题13 145 15 166232三、解答题17椭圆 的焦点为 ， 5 分2194xy1(50F）
10、2(）由双曲线的渐近线方程为 ，焦点在 x 轴上2xy设双曲线的方程为 ， ， 10 分4451双曲线的标准 方程为 12 分21yx18可行域如图所示，其中 A(1, 3)， B(3, 1) 5分（1） 的几何意义是原点到可行域内点距离的平方z由图可知，原点到可行域内点的距离的最小值，原点到直线 的距离40xy0421d即是原点到直线 的距离 ，所以 的最小值是 8 这时 x=2 y=2 9 分z（2） 设21=+xy1z的几何意义是点 到可行域内点连线的斜率1z,如图，过 A 点时斜率 Z1有最大值， 132Z如图，过 B 点时斜率 Z1有最小值， 所以 z 的所求取值范围是 12 分3,
11、219 （1）设轨迹 C 上的动点 M(x, y)，则由题意，- 7 -，22()|xy24(|)xy轨迹 C 的方程为 6 分80（2）轨迹 C 与直线 有两个交点，等价于2yxb直线 与 ， 各有一个交点或0()y28(0)xy直线 与 有两个交点，且 与 没有交2yxb282xb0()y点由 得280xyb22(3)0by由得此方程有两个相等的根即 ， 8 分128()b8由得：当 时，方程 有两个不等非正根022(3)0yby， ， 10 分218()30b直线 与轨迹 C 恰有二个公共点时 b 的范围是 12 分yxb (,0820由题意， A(0, 2)， B ， 2 分3(,)2
12、设过 A， B 两点与 x 轴相切的圆为 22()()(0)xayr ， 6 分22(0)()3ar2403r解 ， ，取 10 分01ar4301ar此时圆 与 x 轴切于(0, 0)22()xy使 最大的点的坐标是(0, 0)ACB12 分- 8 -21 （1）设 M(x, y)， P(x1, y)， N(0, y)，由 2|3|MNP得 ，即2323 P(x1, y)在圆 O 上， 2()4xy 为轨迹 G 的方程 3 分294（2）直线 l 的斜率不存在时，直线 1x由椭圆，圆的对称性，有 |ACBD 合题意1x直线 l 的斜率存在时，设直线 1:()2lykxA(x1, y1)， B
13、(x2, y2)， C(x3, y3)， D(x4, y4)，由 ， 即|CD11234x由 得24ykx2 2()()()0xkxk 3421()kx由 得24936ykx2 21(49)8()9()3602kxkxk 12218()k由 ，1234xx221()3()9kk 或 ，直线 ，0k:ly0xy综上，直线 l 的方程为： ， ， 7 分1x2（3）设动点 P(a, b)，由 得OPQ23atb又 ， 24360tb- 9 -直线 m 与 OQ 垂直，直线 m 的斜率为 3kt直线 m 的方程为 ， 3()ybxat0xyatb由得： ，直线 m 与 x 轴交点 F 为(2, 0) 10360xt分又 ， OEF 是以 2 为斜边的直角三角形OEF 时， OEF 周长最大，即 OEF 是等腰直角三角形|2， E 点坐标为(1, 1)或| (1,)直线 m 的方程是 或 12 分20xy20xy22 （1）由 ，得 ，sin()563sincos53152yx l 的 直角坐标方程是 ，10xy曲线 C 的普通方程为 5 分2()4（2）曲线 C 是 为圆心，半径为 2 的圆(2,0)圆心 C 到直线 l 的距离为 4d点 P 到直线 l 距离的最大值为 6 10 分
