1、- 1 -华中师大一附中 20182019 学年度上学期期中检测高二年级数学理科试题时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1 抛物线 的焦点 坐标为2yxA. B. C. D.(,0)1(,0)1(0,)41(0,)82.设 满足约束条件 ，则 的最大值为,xy231xy3zxyA.4 B.5 C.6 D.73.点 M 的直角坐标为 ，则点 M 的一个极坐标为(2,3)A. B. C. D.(4,)64,7(4,)64(,)34.已知圆 与圆 相交于 A、 B 两点，则21:
2、 0Cxy2:10Cxyy线段 AB 的垂直平分线的方程为A. B. C. 错误！未找到引用源。 D.30xy30xy340xy错误！未找到引用源。795.椭圆 与椭圆 的2:15xy22:1(9)59ykkA.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等6.过 的直线 l 与圆 相错误！未找到引用源。交于 A， B 两点，(2,)P220xy且 错误！未找到引用源。 ，则直线 l 的方程为|3ABA. B. 或420xy 4320xyxC. 或 D. 或3y7.已知方程 的曲线为 C，下面四个命题中正确的个数是214xt- 2 -当 时，曲线 C 不一定是椭圆；14t当 时，曲线
3、 C 一定是双曲线；或若曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆，则 ；512t若曲线 C 是焦点在 y 轴上的双曲线，则 .4A.1 B.2 C.3 D.48.已知直线 与圆 相切，则圆 M 和圆 N:(x1)340xy20()Mxyax：2+(y1) 2=1 的位置关系是A.相离 B.外切 C.相交 D.内切9.数学家欧拉在 1765 年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线.已知 ABC 的顶点 A(2，0)， B(0，4)，若其欧拉线的方程为 ，则顶点20xyC 的坐标为A. B. C. D.(4,0)(2,)(3,1)(4,)10.直线 l 过抛物线 的焦点
4、且与抛物线交于 A， B 两点，则 的最小值是4yx |AFBA.10 B.9 C.8 D.711.若点 A， F 分别是椭圆 的左顶点和左焦点，过点 F 的直线交曲线 于 M， N 两2143xy： 点，记直线 的斜率为 ，其满足 ，则直线 的斜率为,MN2,k12kMNA.2 B. C. D.3651212.设 F1， F2分别是椭圆 的左、右焦点，直线 过 F1交椭圆 C 于2:(0)xyCablA， B 两点，交 y 轴于 C 点，若满足 且 ，则椭圆的离心率为1132FA1230CFA. B. C. D. 336 6二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.)13
5、.双曲线 上的一点 P 到它的一个焦点的距离等于 3，则点 P 到另一个焦点的距离215yx为_.14.当直线 被圆 截得的弦最:(2)()740()lmxymR22:(1)()5Cxy- 3 -短时， 的值为_.m15.设抛物线 的焦点为 F，直线 l 过 F 且与抛物线交于 P， Q 两点.若 ，且2:8Cyx 32|，则 _.|PFQ|P16.已知椭圆 与双曲线 共焦点， F1、 F2分别为左、右焦点，曲线21xyab： 2xymn：与 在第一象限交点为 ，且离心率之积为 1.若 ，则该双曲线的 12sisinP离心率为_.三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说
6、明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分 12 分)某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需要铜丝 100 米，铁丝 300 米，该厂准备用这些原料编制 x 个花篮， y 个花盆.(1)试列出 x， y 满足的关系式，并画出相应的平面区域；(2)若出售一个花篮可获利 300 元，出售一个花盆可获利 200 元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少?18.(本小题满分 12 分)已知双曲线 .2:143xyC(1)求与双曲线 C 有共同的渐近线，且实轴长
7、为 6 的双曲线的标准方程；(2)P 为 双曲线 C 右支上一动点，点 A 的坐标是(4，0)，求 的最小值.|PA19.(本小题满分 12 分)已知直线 l 与抛物线 交于点2:CyxA， B 两点，与 x 轴交于点 M，直线 OA， OB 的斜率之积为 .1(1)证明：直线 AB 过定点；(2)以 AB 为直径的圆 P 交 x 轴于 E， F 两点， O 为坐标原点，求|OE| |OF|的值.- 4 -20.(本小题满分 12 分)已知圆心在 轴非负半轴上，半径为 2 的圆 C 与直线 相x 320xy切.(1)求圆 C 的方 程；(2)设不过原点 O 的直线 l 与圆 O:x2+y2=4
8、 相交于不同的两点 A，B.求 OAB 的面积的最大值;在圆 C 上，是否存在点 M(m， n)，使得直线 l 的方程为 mx+ny=1，且此时 OAB 的面积恰好取到中的最大值?若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分 12 分)已知椭圆 的离心率为 ，过其右焦点 F 且与2:1(0)xyCab12x 轴垂直的直线交椭圆 C于 P， Q 两点，椭圆 C 的右顶点为 R，且满足 .PRQ(1)求椭圆 C 的方程；(2)若斜率为 k(其中 )的直线 l 过点 F，且与椭圆交于点 A， B，弦 AB 的中点为 M，直线0OM 与椭圆交于点 C， D，求四边形 ACBD
9、面积 的取值范围.SyxCOAFBDM- 5 -22.(本小题满分 10 分)已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线 l 的极坐标方程为 .曲线3()R( 为参数，且 ).2cos:inxCy0,2)(1)试写出直线 l 的直角坐标方程及曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点，求 的值.|A- 6 -华中师大一附中 20182019 学年度上学期高二期中检测数学试题(理科)参考答案与评分标准一、 选择题:DBDA CBDC ABBA二、填空题13.5 14. 15. 16.260xy34512三、
10、解答题17.(1)由已知，得 x， y 满足的关系为 ，2015039,Nxy即 ，2503,Nxy该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分中的整点所示6 分(2)设该厂所得利润为 z 百元，则目标函数为 ，32zxy将 变形为 ，其图象是是斜率为 ， 在 y 轴上截距为 的32zxy32x2z直线 .由图可知，当直线 经过可行域上的点 M 时，截距 最大.llz解方程组 ，得 ， ，点 M 的坐标为(200，100).2503xy20x1y所以 max18z故该厂编成 200 个花篮，100 个花盆时，所获得的利润最大，最大利润为 8 万元12 分18.(1)由题意，可设所求双曲线的
11、方程为 (*)243xy当 ，(*)即为 ，满足 ，得02143xy26()94双曲线方程为 97- 7 -当 时，(*)即为 ，满足 ，得02134yx263()3双曲线方程为291因而双曲线的标准方程为 或 6 分217xy219x(2)设 P(x0， y0) ，满足(22043则22 2 2000 0077167|4()(1)813()44xAxxx当 时， 有最小值，为 .12 分0167x|P3719.(1)设直线 ， A(x1， y1)， B(x2， y2):ABxmyn由 消去 得，2yxn2012mn121214OABykxy则 ，那么128yn即 ，即 AB 过定点(4，0)
12、.6 分:4ABxm(2)由(1)中知以 为直径端点的圆的方程为：12(,)(,)xyB212() 0y设 ，则 是方程,0(,)EFx,EFx1212()(0)0xy即 的两 个实根212120y故有21216484EFx所以 .12 分|8EFOx20.(1)设圆心是( x0，0)( )，它到直线 的距离是 ，0320xy2d解得 或 (舍去)，所以所求圆 C 的方程是 4 分02x6()4y- 8 -(2)设圆心 O 到直线 的距离为 ，ABh则 OAB 的面积2214|4()2hSh当且仅当 时等号成立，故 OAB 的最大面积为 2.8 分2h(3)存在.理由如下：因为点 M(m， n
13、)在圆 C 上，所以 ，2()4mn且 .2224()4nm04又因为原点到直线 的距离 ，解得 ，:1lxny2124hn146由(2)中知当 时， CAB 取最大面积 2.2h此时 即 ，点 M 的坐标是 12 分14m1813(,)821.(1)由 得 ， ，12ceac|2|PNF即 |PF解得 ，1c223bac则椭圆 4 分:4xyC(2)设直线 ，(1)lk设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， C(x3， y3)， D(x4， y4)， M(x0， y0)，不妨令 ，则 ，且3044由 ，得 ，21243xy2211043xy故 ，设直线 OM 的斜率为 t，则 ，则0
14、1212xykxyy 0yx34tk- 9 -由 ，得 ，2143xyt32 2211434()kxt 2344Cyxkk6 分故点 到直线 的距离之和为,CDAB33442|(1)|(1)|CDkxykxyd8 分3344322|(1)(1)|1-=kxykxyk 28641k由 ，得 ，243(1)ykx22(4)8410kxk从而 ， ，21281223于是222212118411|()434kkkxxx因此2212()|3ABkk四边形 ABCD 的面积 S |()CDABd10 分22221()861134434(3)1kkkk故 S .12 分622.(1)直线 ，曲线 C 的直角坐标方程为:3lyx22()xy将 代入上式得 ，cosinx24sin0即为曲线 C 的极坐标方程.5 分(2)将 代入曲线 C 的极坐标方程，得3230，则 10 分21211|()48|AB
