1、- 1 -永春一中高二年（文）期末考数学科试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若命题 ： ，则 为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由题意结合特称命题的否定方法否定所给的命题即可.详解：特称命题的否定为全称命题，修改量词，否定结论，故若命题 ： ，则 为 .本题选择 B 选项.点睛：本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2. 已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由题意首先求得集合 A,B，然后进行交集运算即可求得最终结果.详
2、解：求解二次不等式 可得： ，结合交集的定义可得： .表示为集合的形式即 .本题选择 C 选项.点睛：本题主要考查集合的表示方法，交集的定义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3. 若复数 满足 是虚数单位 ，则复数 的共轭复数 ( )A. B. C. D. 【答案】D- 2 -【解析】分析：由题意首先求得复数 z，然后求解其共轭复数即可求得最终结果.详解：由题意可得： ，结合共轭复数的定义可知： .本题选择 D 选项.点睛：本题主要考查复数的四则运算法则，共轭复数的概念等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4. 为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上的所有的点( )A.
3、 向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度B. 向右平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度C. 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度D. 向右平移 1 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度【答案】A【解析】【分析】函数图象的平移问题：在 上的变化符合“左加右减” ，而在 上的变化符合“上加下减”【详解】把函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象再把所得图象再向下平移 个单位长度，得到函数 的图象故选【点睛】本题是一道关于指数函数图象平移的题目，关键是要掌握函数的平移规律“左加右减，上加下减” ，属于基础题5. 若函数 为偶函数，则 等于( )A.
4、 2 B. 1 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据偶函数的性质， ，化简求值即可【详解】根据偶函数的性质，令- 3 -则即故选【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性，依据 化简求出结果，属于基础题6. 已知函数 在区间 上的图象是连续的曲线，若 在区间 上是增函数，则( )A. 在 上一定有零点 B. 在 上一定没有零点C. 在 上至少有一个零点 D. 在 上至多有一个零点【答案】D【解析】【分析】判断 在 上有没有零点，即是判断 的正负【详解】若 ，则 在 上有一个零点若 ，则 在 上没有零点故选【点睛】判断某一区间上函数的零点，即使判断区间端点值乘积与 的关系，本题也可以数形结合
5、的思想，画图给出结果7. 已知定义在 上的奇函数 ，当 时，恒有 ，且当 时，则 ( )A. 0 B. C. D. 【答案】D【解析】分析：首先确定函数的周期性和函数的奇偶性，然后结合所给的函数的解析式求解的值即可.详解：由题意可知，函数 是周期为 2 的奇函数，则：，- 4 -据此可得： .本题选择 D 选项.点睛：本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)，且函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)B. 函
6、数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1)C. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)D. 函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2)【答案】D【解析】试题分析：利用函数的图象，判断导函数值为 0 时，左右两侧的导数的符号，即可判断极值解：由函数的图象可知，f（2）=0，f（2）=0，并且当 x2 时，f（x）0，当2x1，f（x）0，函数 f（x）有极大值 f（2） 又当 1x2 时，f（x）0，当 x2 时，f（x）0，故函数 f（x）有极小值f（2） - 5 -故选 D视频9. 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输
7、方案据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输任务 Q，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】单位时间的运输量逐步提高时，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，逐一分析四个答案，可得结论【详解】单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡故函数的图象应一直下凹的故选【点睛】本题考查的是函数图象的变化特征，函数的增长快慢与图象上的切线斜率大小的
8、关系，属于基础题。10. 函数 的部分图象大致为( )A. B. - 6 -C. D. 【答案】C【解析】【分析】可得 为奇函数， ，排除 ，当 时，可得 ，在区间上 单调递增，排除 即可得到结论【详解】 ，定义域为 ，关于原点对称，则 ， 为奇函数，故排除 ，故排除，当 时，可得 ，当 时， ， 为增函数，故排除故选【点睛】本题考查了函数的图象的判断，一般通过函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，变化趋势等知识来解答。11. 函数 的零点个数为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】分析：首先明确函数零点的个数即为方程 ，即为 的解的个数，从而可以转化为函数 的图像与直线
9、 的交点的个数，画图即可得结果.详解：在同一个坐标系中画出函数 的图像，以及直线 ，- 7 -可以发现两条曲线有三个交点，从而可以得出函数的零点有 3 个，故选 C.点睛：该题考查的是有关函数零点个数的问题，在解题的过程中，将零点的个数转化为图像交点的个数，在同一个坐标系中，画出两条曲线画出，之后看两条曲线有几个交点，从而得到函数零点的个数来解决.12. 设对函数 f(x)e x x(e 为自然对数的底数)图像上任意一点处的切线为 l1，若总存在函数 g(x) ax2cos x 图像上一点处的切线 l2，使得 l1 l2，则实数 a 的取值范围为( )A. 1，2 B. (1，2) C. 2，
10、1 D. (2，1)【答案】A【解析】【分析】求导，进一步求得 ，再求出 的导函数的范围，然后把过曲线 上任意一点的切线为 ，总存在过曲线 上一点处的切线 ，使得 转化为集合间的关系求解【详解】 ，则，由 ，可得又要使得过曲线 上任意一点的切线为 ，总存在过曲线 上一点处的切线 ，使得则 ，解得即实数 的取值范围为故选【点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键是把问题转化为集合间的关系求解，属于中档题- 8 -二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13. 已知幂函数 的图像经过 ，则 的值_【答案】【解析】【分析】根据幂
11、函数系数为 ，可以求出 的值，再根据幂函数 的图像经过 ，将点的坐标代入函数解析式，求出 的值，然后得到结果【详解】根据幂函数系数为 ，得出将点 代入可得解得则故答案为【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式及其性质，解答本题的关键是利用幂函数的定义，得到 ，属于基础题。14. 计算： _【答案】1【解析】【分析】将题目中的数字都化为以 为底的对数式，再根据对数的运算法则计算结果【详解】原式- 9 -故答案为【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，通过运算法则来求出结果，属于基础题15. 已知 f(x) x33 ax2 bx a2在 x1 时有极值 0，则 a b_【答案】【解析】【分析】求导，利用
12、函数 在 处有极值 ，建立方程组，求得 ， 的值，再验证，即可得到结论【详解】函数 在 处有极值，解得 或当 时， ，方程有两个相等的实数根，不满足题意当 时， ，方程有两个不相等的实数根，满足题意故答案为【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求极值，解答本题的关键是掌握利用导数研究函数的单调性及极值的方法，注意需要将结果带回检验16. 若不等式(x-a) 2+(x-ln a)2m 对任意 xR,a(0,+)恒成立，则实数 m 的取值范围是_【答案】【解析】【分析】转化为几何意义，直线 上的点 到曲线 上的点 距离的平方，只要求解直线到曲线的最短距离【详解】其几何意义为直线 上的点 到曲线 上的
13、点 距离的平方， 的导数 ，令 ，得 ，所以曲线 上横坐标为 的点处切线平行直线 ，此时切- 10 -点 ，到直线 的距离最小，最小值为 ，故 ，所以恒成立，只要 ，实数 的取值范围是【点睛】本题运用几何意义法来求解，将其转化为曲线与直线之间距离最小情况，在计算过程中只要求出切点到线的距离即可，计算上较为简单，但是转化的思想较为重要和困难三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求做答17. 在 中， ， ，点 在 边上，且 （1）若 ，求 ；（2）若 ，求 的周长【答案】 （1
14、） ；（2）【解析】分析：解法一：由题意可得 ，则 .结合余弦定理有 . （1）在 中，由余弦定理 ，解方程可得 ，所以 ，在 中，由正弦定理可得 ，结合大边对大角可得，则 .（2）设 ，则 ，从而 ， 在 中，由余弦定理得解方程可得 故 周长为 解法二：如图，已知 ， ，所以 ，则 . 在 中，根据余弦定理， ，所以 .（1）在 中，由余弦定理有 ，解方程可得 ，再次利用余弦定理可得 ， 则 故 ， （2）同解法一详解：解法一：如图，已知 ， ，- 11 -所以 ，则 .在 中，根据余弦定理， ，所以 . （1）在 中， ， ， ，由余弦定理 ，所以 ，解得 ，所以 ，在 中，由正弦定理 ，
15、所以 ， ，由 ， ， ，在 中，由 ，得 ，故 ， 所以 ，所以 .（2）设 ，则 ，从而 ，故 在 中，由余弦定理得 ，因为 ，所以 ，解得 所以 故 周长为 解法二：如图，已知 ， ，所以 ，则 . 在 中，根据余弦定理， ，所以 .（1）在 中， ， ， ，- 12 -由余弦定理 ，所以 ，解得 ，由余弦定理 ， 又因为 ，所以 所以 ，所以 （2）同解法一点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围18. 已知函
16、数 （1）求函数 的单调区间；（2）若 在区间 上的最大值为 8，求它在该区间上的最小值【答案】 （1）见解析；（2）【解析】【分析】求出函数的导函数，直接由导函数大于 求解不等式得答案由可知 在 上为增函数，在 上为减函数，求得极值，再求出 , ，比较得答案【详解】(1)由题知： 令 则 x3; 令 则-10） 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） 由 得 = ，故 所以 由题设知 ，解得 k=1（舍去） ，k=1 因此 l 的方程为 y=x1 （2）由（1）得 AB 的中点坐标为（3，2） ，所以 AB 的垂直平分线方程为，即 设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0） ，则- 1
17、4 -解得 或 因此所求圆的方程为 或 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线之间的位置关系，结合抛物线定义和性质来计算求出结果，理解题目意思，本题还是较为基础20. 近年来，随着我国汽车消费水平的提高，二手车流通行业得到迅猛发展某汽车交易市场对 2017 年成交的二手车交易前的使用时间（以下简称“使用时间” ）进行统计，得到频率分布直方图如图 1 图 1 图 2（1）记“在 年成交的二手车中随机选取一辆，该车的使用年限在 ”为事件 ，试估计 的概率；（2）根据该汽车交易市场的历史资料，得到散点图如图 2，其中 (单位：年)表示二手车的使用时间， (单位：万元)表示相应的二手车的平均交易价格由散点
18、图看出，可采用作为二手车平均交易价格 关于其使用年限 的回归方程，相关数据如下表（表中， ）：根据回归方程类型及表中数据，建立 关于 的回归方程；该汽车交易市场对使用 8 年以内(含 8 年)的二手车收取成交价格 的佣金，对使用时间 8年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格 的佣金在图 1 对使用时间的分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值若以 2017 年的数据作为决策依据，计算该汽车交易市场- 15 -对成交的每辆车收取的平均佣金附注：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ；参考数据： 【答案】 （1）0.40；（2） 0.29 万元【解析】【分析】由频率分
19、布直方图可得，该汽车交易市场 年成交的二手车使用时间在 的频率为，在 的频率为 ，从而得出 的概率求出 关于 的线性回归方程为 ， ，分别求出 和 ，继而求出 关于 的回归方程分别求出对应的频率，然后计算平均佣金【详解】 （1）由频率分布直方图得，该汽车交易市场 2017 年成交的二手车使用时间在的频率为 ，在 的频率为 所以 （2）由 得 ，即 关于 的线性回归方程为 因为 ，所以 关于 的线性回归方程为 ， 即 关于 的回归方程为 根据中的回归方程 和图 1，对成交的二手车可预测：使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；- 16 -使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使
20、用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为 ；使用时间在 的平均成交价格为 ，对应的频率为所以该汽车交易市场对于成交的每辆车可获得的平均佣金为万元【点睛】本题主要考查了非线性回归方程及其应用，离散型随机变量的分布列等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于基础题。21. 已知函数 （1）求曲线 在点 (0,1) 处的切线方程；（2）证明：当 时， 【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】求导，计算切线的斜率即可得到切线的解析式构造新函数 ，求出新函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间，即可得证【详解】 （1） ， 因此曲
21、线 在点(0,-1)处的切线方程是 （2）当 时， 令 ，则 在 R 上单调递增，且当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； 所以 - 17 -故 【点睛】本题主要考查的是导数在研究函数中的应用，在证明不等式成立时适当的进行放缩，然后构造新函数再运用导数来求解，从而得证结果成立，本题有一定难度。22. 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 为参数 在以原点 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的极坐标方程为 （1）求直线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；（2）设 与 交于 两点，求 【答案】 （1） ， ；（2）【解析】分析：解法一：（1）消去参数可得 的普通方程为 ，则
22、极坐标方程为极坐标方程化为直角坐标方程可得 的直角坐标方程为 （2）设 的极坐标分别为 ，则 ，联立极坐标方程可得， 则 ，结合三角函数的性质计算可得 解法二： （1）同解法一（2）曲线 表示圆心为 且半径为 1 的圆联立直线参数方程的标准形式与圆的方程可得 ，结合参数的几何意义知 ， 则 解法三： （1）同解法一（2）曲线 表示圆心为 且半径为 1 的圆 的普通方程为 ， 由弦长公式可得 ，则 是等边三角形， ， .详解：解法一：（1）由 得 的普通方程为 ， 又因为 ， 所以 的极坐标方程为 由 得 ，即 ， 所以 的直角坐标方程为 - 18 -（2）设 的极坐标分别为 ，则由 消去 得
23、， 化为 ，即 ，因为 ，即 ，所以 ，或 ，即 或 所以 解法二： （1）同解法一（2）曲线 的方程可化为 ，表示圆心为 且半径为 1 的圆将 的参数方程化为标准形式 (其中 为参数)，代入 的直角坐标方程为得， ，整理得， ，解得 或 设 对应的参数分别为 ，则 所以 ， 又因为 是圆 上的点，所以 解法三： （1）同解法一（2）曲线 的方程可化为 ，表示圆心为 且半径为 1 的圆 又由得 的普通方程为 ， 则点 到直线 的距离为 ， 所以 ，所以 是等边三角形，所以 ， 又因为 是圆 上的点，所以 .点睛：本题主要考查直线的参数方程，圆的参数方程，参数方程与普通方程、极坐标方程之间的转化
24、等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23. 已知函数 ， ， （1）当 时，解关于 的不等式 ；- 19 -（2）若对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）当 时， ，零点分段求解不等式可得 的解集为（2）原问题等价于 结合绝对值三角不等式的性质可得 结合二次函数的性质可得 据此求解不等式可得 的取值范围为 详解：（1）当 时， ，则 当 时，由 得， ，解得 ； 当 时， 恒成立；当 时，由 得， ，解得 所以 的解集为 （2）因为对任意 ，都存在 ，使得不等式 成立，所以 因为 ，所以 ，且 ，当 时，式等号成立，即 又因为 ，当 时，式等号成立，即 所以 ，整理得， ， - 20 -解得 或 ，即 的取值范围为 点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
