1、- 1 -凯里一中 2017-2018 学年度第二学期期末考试高二理科数学试卷第卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简集合 B,再求 ，再求 .详解：由题得 B=x|x2,所以 =x|2，所以 = .故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查集合的化简和集合的交集补集运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)化简集合 B 时，注意它表示函数的定义域，不是函数的值域.2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位） ， 为 的共轭复数，则 （
2、）A. 2 B. C. D. 4【答案】B【解析】分析：先求复数 z,再求 ，再求 .详解：由题得 ，所以故答案为：B.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭复数和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数 的共轭复数 复数 的模 .3. 已知 是公差为 2 的等差数列， 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A. 50 B. 60 C. 70 D. 80- 2 -【答案】D【解析】分析：由 是公差为 的等差数列， ，可得 ，解得 ，利用等差数列求和公式求解即可.详解： 是公差为 的等差数列， ，解得 ，则 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前 项和公式
3、，属于中档题. 等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量 一般可以“知二求三” ，通过列方程组所求问题可以迎刃而解.4. 设 ，向量 ，且 ，则 （ ）A. 5 B. 25 C. D. 10【答案】A【解析】分析：首先根据向量垂直的充要条件求出 的坐标，进一步求出，利用向量模的坐标表示可得结果.详解：已知 ，由于 ，解得 ， ，故选 A.点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用 解答；（2）两向量垂直，利用 解答.5. 函数 的部分图象可能是 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除 A,
4、C,再排除 D.- 3 -详解：由题得 ，所以函数 f(x)是奇函数，所以排除 A,C.当 x=0.0001 时， ，所以排除 D,故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.6. 某几何体的三视图及尺寸大小如图所示，则该几何体的体积为 （ ）A. 6 B. 3 C. 2 D. 4【答案】C【解析】分析：先通过三视图找几何体原图，再求几何体的体积.详解：由三视图可知原几何体是一个四棱锥，底面是一个上底为 1，下底为 2，高为2 的直角梯形，四棱锥的高为
5、2,所以几何体的体积为 故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力. (2)通过三视图找几何体原图常用方法有直接法和模型法.7. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量 （单位：度）与气温 （单位：）之间的关系，随机选取了 4 天的用电量与当天气温，并制作了以照表：（单位： ） 17 14 10 -1（单位：度） 24 34 38 64- 4 -由表中数据得线性回归方程： ，则由此估计：当气温为 时，用电量约为（ ）A. 56 度 B. 62 度 C. 64 度 D.
6、68 度【答案】A【解析】分析:先求样本中心点 ,再求 的值,再预测当气温为 时的用电量.详解：由题得因为回归直线经过样本中心点 ，所以 40=-20+ ，所以 =60.所以回归方程为 ，当 x=2 时，y=56. 故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查回归方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 回归直线经过样本中心点 ，这是回归方程的一个重要性质8. 数学猜想是推动数学理论发展的强大动力，是数学发展中最活跃、最主动、最积极的因素之一，是人类理性中最富有创造性的部分.1927 年德车汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘 3 再加 1，如果它是偶数，对
7、它除以 2，这样循环，最终结果都能得到 1.下面是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则输出的 为（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】B【解析】执行程序框图可得：不成立， 是奇数，不成立不成立， 是奇数，不成立- 5 -不成立， 是奇数，不成立不成立， 是奇数，成立不成立， 是奇数，成立成立，故输出 ，结束算法故选9. 已知函数 最小正周期为 ，则函数 的图象（ ）A. 关于直线 对称 B. 关于直线 对称C. 关于点 对称 D. 关于点 对称【答案】D【解析】分析：先化简函数 f(x)= ,再根据周期求出 w，再讨论每一个选项的真假.详解：由题得 f(x)= ，因为对于选项 A
8、,把 代入函数得 ，所以选项 A 是错误的；对于选项 B, 把 代入函数得 ，所以选项 B 是错误的；对于选项 C,令 无论 k 取何整数， x 都取不到 ,所以选项C 是错误的.对于选项 D, 令 当 k=1 时， ，所以函数的图像关于点 对称.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于三角函数图像和性质的判断，要灵活，不要死记硬背.10. 设圆 上的动点 到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C- 6 -【解析】分析:先求圆心和半径,再求圆心到直线的距离,再根据数形
9、结合得到 d 的取值范围.详解：由题得 所以圆心为（2，-2） ，半径为 1.所以圆心到直线的距离为 ，所以动点 P 到直线的最短距离为 4-1=3，最大距离为 4+1=5，故答案为：C.点睛：（1）本题主要考查圆的方程和点到直线的距离，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合的思想方法. (2)解答本题的关键是数形结合思想的灵活运用.11. 已知双曲线 的一条渐近线截圆 为弧长之比为 1：2 的两部分，则此双曲线的离心率等于（ ）A. 2 B. C. D. 3【答案】A【解析】分析：先通过已知条件求出双曲线的渐近线的倾斜角和斜率，再求双曲线的离心率.详解：圆的标准方程为 ，所以圆心坐标为（
10、0,2） ，半径为 2，且过原点.因为双曲线的一条渐近线经过坐标原点，截圆 为弧长之比为 1：2 的两部分，所以双曲线的一条渐近线 的倾斜角为 ，所以所以故答案为：A点睛：（1）本题主要考查双曲线和圆的几何性质，考查双曲线的离心率的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的方法有直接法和方程法.12. 已知 是定义在 上的偶函数，且满足 ，若当 时， ，则函数 在区间 上零点的个数为 （ ）A. 2018 B. 2019 C. 4036 D. 4037- 7 -【答案】D【解析】分析：先把问题转化为函数 的图像与函数 y= 的图像的交点的个数，再求函数 f(x)
11、的周期为 2，再作出两个函数的图像观察图像得到零点个数.详解：函数 在区间 上零点的个数 函数的图像与函数 y= 的图像的交点的个数，因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且满足 ，即 f(-x)=f(x),又因为 f(x+1)=f(1-x),所以 f(x)是周期为 2 的偶函数，当 时， ，作出函数 f(x)与 y= 的图像如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数 在区间 上零点的个数为 20182+1=4037.故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查函数的图像和性质，考查利用函数的图像研究零点个数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理数形结合的能力.(2)本题解答的关键有两点
12、，其一是转化为函数 的图像与函数 y= 的图像的交点的个数，其二是能准确作出两个函数的图像.第卷二、填空题（本题共 4 个小题，每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 曲线 在 处的切线方程为_【答案】【解析】 ，曲线 在点 P(0,3)处的切线的斜率为： ，- 8 -曲线 在点 P(0,3)处的切线的方程为： y=2x+3，故答案为 y=2x+3.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线方程为：若曲线 在点 的切线平行于 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 14. 已
13、知变量 满足约束条件 ，则 的最大值与最小值的积为_【答案】-8【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z 的最大值.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分 ABC）由 得 ，平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 A 时，直线 的截距最大，即 z 最大.由 ，解得 ，即 .将 代入 ，得 ，即 的最大值为 2.故答案为：2.点睛：线性规划问题的解题步骤：- 9 -(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即
14、最优解)，代入目标函数，即可求出最值15. 展开式的常数项为 80，则实数 的值为_【答案】-2【解析】分析：先利用二项式展开式的通项求常数项，再令常数项为 0，解之即得实数 a 的值.详解：二项式 的展开式中的通项公式为 Tk+1=C5kakx102.5k ，二项式 的展开式中的常数项为 80，当 102.5k=0 时，得 k=4，此时常数项为 C54a4=80，即 5a4=80，解得 a=2，因为 a0，所以 a=-2.故答案为：-2点睛：（1）本题主要考查二项式定理的应用，考查利用二项式定理求特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 求出展开式的通项公式和化简是解
15、决本题的关键16. 设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，以 为圆心， 为半径的圆交 于 两点，若 ，且 的面积为 ，则此抛物线的方程为_【答案】【解析】分析：根据抛物线的定义可得 ， 是等边三角形，由 的面积为 可得 从而得 进而可得结果.详解：因为以 为圆心， 为半径的圆交 于 两点， ，由抛物线的定义可得，是等边三角形，- 10 -，的面积为 ，到准线的距离为此抛物线的方程为 ，故答案为 .点睛：本题主要考查抛物线的标准方程、定义和几何性质，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点
16、到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 所对的边分别为 ，满足 .（1）求角 的大小；（2）若 ，且 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2） .【解析】分析：（）由 ，利用正弦定理可得 ，从而得，进而可得结果；（）结合（）由余弦定理可得 ，即 ， .详解：（I）由题意得： .，即又 ，() ， ，即点睛：以三角形为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问
17、题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.- 11 -18. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，且 .（1）求数列 的通项公式 ；（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： .【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）利用 且 得到关于 的方程组，解方程组即得 ，再写出数列 的通项公式 .(2)先求得 ，再利用裂项相消求 ,再证明 .详解：（1）由题意得： ， ，即 ，解得： 或 （舍去）又 ， ， ；（2） ， ， ，又 为递增数列， 的最小值为： .点睛：
18、（1）本题主要考查等比数列通项的求法，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 类似 （其中 是各项不为零的等差数列， 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和.19. 高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明” ，彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取 100 名进行调查，得到如下数据：- 12 -每周移动支付次数1 次 2 次 3 次 4 次 5 次 6 次及以上男 10 8 7 3 2 15女 5 4 6 4 6 30合计 15 12 13 7 8 45（1）把每周使用移动支付超过 3 次的用户称
19、为“移动支付活跃用户” ，由以上数据完成下列22 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下，认为“移动支付活跃用户”与性别有关？移动支付活跃用户 非移动支付活跃用户 总计男女总计 100（2）把每周使用移动支付 6 次及 6 次以上的用户称为“移动支付达人” ，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取 4 名用户.为了鼓励男性用户使用移动支付，对抽出的男“移动支付达人”每人奖励 300 元，记奖励总金额为 ，求 的分布列及数学期望.附公式及表如下：0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.072 2.706 3.841 5.
20、024 6.635 7.879 10.828【答案】 （1）能；（2）400 元.【解析】分析：（1）先根据已知的数据完成 22 列联表，再计算 判断在犯错误概率不超- 13 -过 0.005 前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）利用二项分布求 的分布列及数学期望.详解：（1）由表格数据可得 22 列联表如下：非移动支付活跃用户 移动支付活跃用户 合计男 25 20 45女 15 40 55合计 40 60 100将列联表中的数据代入公式计算得：所以在犯错误概率不超过 0.005 前提下，能认为“移动支付活跃用户”与性别有关.（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽
21、取 1 名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为 ，女“移动支付达人”的概率为 ，记抽出的男“移动支付达人”人数为 ，则 ，由题意得 ， ，；，所以 的分布列为0 1 2 3 4所以 的分布列为0 300 600 900 1200- 14 -由 ，得 的数学期望 元（或 元）点睛：（1）本题主要考查独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若 则20. 如图，在正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱） 中，已知 ，点为 的中点.（1）求证：平面 平面 ；（2）求直线 与平面 所成角的正切值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】分析：(1
22、)先证明 A 平面 ,再证明平面 平面 .(2)利用向量法求直线 与平面 所成角的正切值.详解：（1）由题意知： 为 的中点， ，由 平面 得： ， 平面 ，且 ， 平面 ，又 平面 ，平面 平面 ；（2）建立如图所示的空间直角坐标系 .- 15 -因为 ，所以，因此 .设 为平面 的一个法向量，则 ，即，取 ，则 ，设直线 与平面 所成角为 ，则 ， ， ，所以直线 与平面 所成角的正切值为 .点睛：（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力转化能力及计算能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找
23、 作（定义法） 证（定义） 指 求（解三角形） ，其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中 是直线 的方向向量， 是平面的法向量， 是直线和平面所成的角.- 16 -21. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆上的一点与两个焦点构成的三角形周长为 .（1）求椭圆 的方程；（2）已知直线 与椭圆 相交于 两点.若线段 中点的横坐标为 ，求 的值；在 轴上是否存在点 ，使 为定值？若是，求点 的坐标；若不是，请说明理由.【答案】 （1） ；（2） , .【解析】分析：（1）先根据已知得到 a,c 的两个方程，解方程即得椭圆 的方程.(2) ,先联立直线与椭
24、圆的方程得到韦达定理 =2 ，即得 k 的值. 假设存在定点使得为定值，设点 ,先求 ，再分析得到，即得 m 的值 .详解：（1）由题意得： ， ，由解得： ， ，椭圆 的方程为 .（2）由 消去 得 ，设 ，则 ，线段 的中点的横坐标为 ，所以 ，即 ，所以 ；假设存在定点 使得为定值，设点 ，- 17 -所以为定值，即 ，故 ，解得： ，所以当 时 为定值，定值为 .点睛：（1）本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的解题关键有两点，其一是计算出 ，其二是分析得到.22. 已
25、知函数 （ 为自然对数的底数）.（1）讨论函数 的单调性；（2）记函数 的导函数 ，当 且 时，证明： .【答案】 （1）当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；在上单调递减；（2）证明见解析.【解析】分析：（1）先求导，再对 m 分类讨论，求函数 f(x)的单调性.(2)先把问题等价转化， ，再构造函数设函数求 即得证.- 18 -详解：（1） 的定义域为 ，当 时， ；当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，综上所述：当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减.（2）当 时， ，设函数 ，则 ，记， ，则 ，当 变化时， 的变化情况如下表：- 0 +单调递减 极小值 单调递增由上表可知 而 ，由 ，知 ，所以 ，所以 ，即 ，所以 在 内为单调递增函数，所以当 时，即 当且 时， ，所以 当且 时，总有 .点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调性和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化推理能力.(2)解答本题的关键有两点，其一是转化， ，其二是构造函数设函数求
