1、- 1 -长安一中 2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集 是实数集 ,集合 ,UR2Mx或,则图中阴影部分所表示的集合是 （ 2430Nx）A B 12|x 2|xC D |2.下面是关于复数 的四个命题：其中的真命题为（ ）iz13在复平面内，复数 对应的点位于第二象限 复数 的虚部是-2 z复数 是纯虚数 z 5zA. B. C. D. 3设 ,则（ ）0.21312log3,abcA B C D4已知向量 a(1， )， b(1，2 )且
2、a b，则 等于( )coscoscos2A1 B0 C. D. 12 225.在 中，角 A、所对的边分别是 、 、 ，若 ， ，则Cabc3abBA2等于（ ）cosA B 34353636将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ）- 2 -正视图 侧视图俯视图534 3A.18 B.24 C.30 D.367. 若下框图所给的程序运行结果为 ，那么判断框中应填入的关于 的条件是( ) =35SkA. B. C. D. 7k6k6k6k8.若某几何体的三视图(单位： )如图所示，则该几何体的cm体积等于( )
3、A. B. 310cm320C. D. 4c9.下列说法中，正确的是（ ）A命题“若 2ab，则 a”的逆命题是真命题B命题“存在 ”的否定是：“任意 ” 0,xR0,2xRC命题“ p或 q”为真命题，则命题“ p”和命题“ q”均为真命题D “ ”是“函数 是偶函数”的充分不必要条件0b2()fabc10右图是函数 y Asin(x )( ， )图像0， |2的一部分为了得到这个函数的图像，只要将 ysin x(xR)的图像上所有的点 ( ).向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变.A 3 12.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，
4、纵坐标不变.B 3.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变.C 6 12.向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变.D 611.已知定义在 上的函数 对任意 都满足 ，且当 时，Ryfx1fxfx01x，则函数 的零点个数为( )fxln|gx- 3 -A2 B3 C.4 D512.定义在 上的函数 满足： 则不等式 （其R()fx()1,(0)4,fxf()3xxef中 为自然对数的底数）的解集为（ ）eA. B. C. D.0,03,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.函数 的定义域为 ，则函数
5、的定义域是_yfx()(， 1yfxlog()214.已知 ，则 的展开式中的常数项为 .0sinco)atdt6)ax15.函数 的图像恒过定点 A，若点 A 在直线 上，,0(lg1)(axxf 02nymx其中 则 得最小值为 .,mn16已知函数 若方程 有三个不同的实数根，则 的取值范l,210xffxaa围是 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17. （本小题共 12 分）设数列 .109,10, nnnn SaSa项 和 为的 前 9， （1）求证： 是
6、等比数列；1na(2)若数列 满足 ,nbNnan1lgl求数列 的前 项和 ；nT18.（本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，侧棱1ABC平面 ， 为等腰直角三角形， ，且1ABCA90分别是 的中点.,EF1,（）求证： 平面 ；1（）求锐二面角 的余弦值. BA19.某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取 名学生的笔试成绩（被抽取学生的nFEC1 B1A1CBA- 4 -成绩均不低于 分,且不高于 分） ，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.160185（1） 请先求出 、 、 、 的值，再在答题纸上补全频率分布直方图；nabc（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决
7、定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？（3）在（2）的前提下，学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试，第 4 组中有 名学生被考官 A 面试，求 的分布列和数学期望.20.（本小题共 12 分）已知椭圆21(0)xyab的一个焦点 与抛物线 24yx的焦F点重合，且截抛物线的准线所得弦长为 ，倾斜角为 的直线 过点 .45l（）求该椭圆的方程；（）设椭圆的另一个焦点为 ，问抛物线 上是否存在一点 ，使得 与1F2yxM关于直线 对称，若存在，求出点 的坐标，若不存在，说明
8、理由.1Fl M21. （本小题共 12 分）已知函数 ()xfe（）求 在点 处的切线方程；()yfx1,（）若存在 ，满足 成立，求 的取值范围；04,ln310xaea（）当 时， 恒成立，求 的取值范围 .x2()fxtt选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题计分.作答时请写清题号22(本小题满分 10 分)选修 44：极坐标系与参数方程组号 分组 频数 频率第 1 组 65,05 0.050第 2 组 7ab第 3 组 ,30 c第 4 组 180520 0.200第 5 组 ,10 0.100成成/成成成成1851801751700.080.07
9、0.060.050.040.030.02O0.01160 165- 5 -在直角坐标系 中，曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)曲线 C2: xoy3254xty，以坐标原点为极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若点 P 的极坐标240xx为( ),(I)求曲线 C2的极坐标方程；()若 C1与 C2相交于 M、N 两点，求 的值.1PN23(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 fxmR(I)当 m=0 时，求不等式 的解集；2fx()对于任意实数 ，不等式 成立，求 m 的取值范围2fx- 6 -2017-2018 学年度高二第二学期期末考试数学试题（理科）答案一、 选择题
10、：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.CCABB CDBBA BA二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13. 14. 15. 2 16.2,2， 1,（ 0）e三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第 1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.17.（本小题共 12 分）解：（1）依题意， ，故 ， 92a102当 nSann921时又 整理得： ，故 是等比数列， 10nana（2）由（1）知，且 ， ，nq101na1lgl
11、g1n)1(ll1nabnn4321Tn 1n Nn18. （本小题满分 12 分）（）连结 ， 是等腰直角三角形 斜边AFABC的中点， .BCBC又 三棱柱 为直三棱柱，1面 面 ，A FEC1 B1A1C BA- 7 - 面 ， . AF1BC1AFB设 ，则 .11163,22E ， . 211BFE1BF又 ， 平面 .AA（）以 为坐标原点， 分别为 轴建立直角坐标系如图，设 ，,xy 1AB则 ，12221(0,)(,0)(,),(0,)FBE， .(,)AE1(,)A由（）知， 平面 ，1BFE可取平面 的法向量 .12(0,)mB设平面 的法向量为 ，1BAE,)nxyz由
12、1210,0, 20,n xyzxyz A可取 . (3,2)n设锐二面角 的大小为 ，1BEF则 .222203(1)6cos|,|()()mn A所求锐二面角 的余弦值为1BEF. 619. （本小题共 12 分） 【解】：（1）由第 1成成/成成成成1851801751700.080.070.060.050.040.030.02O0.01160 165zyxA BCA1B1C1EF- 8 -组的数据可得 ，第 2 组的频率 = ，第 2 组的频数为 =105.nb350.7.0a人, 307.1第 3 组的频率为 = ., c频率分布直方图如右: （2）因为第 3、4、5 组共有 60
13、名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:第 3 组: 063人, 6 分第 4 组: 062人, 7 分第 5 组: 1人, 8 分所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人.（3）由题意知变量 的可能取值是 0，1，2该变量符合超几何分布，分布列是20. （本小题共 12 分）解：（）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，xy42)0,1(F1x 12ba又椭圆截抛物线的准线 所得弦长为 ，x 得上交点为 ， )2,1(12ba由代入得 ，解得 或 （舍去） ，04b从而 12a 该椭圆的方程为该椭圆的方程为21xy（） 倾斜角为 的直线 过点 ，45
14、lF 直线 的方程为 ，即 ，l )(tanxyxy 0 1 2P- 9 -由（）知椭圆的另一个焦点为 ，设 与 关于直线 对称，则得)0,1(F),(0yxM1Fl，解得 ，即 ，12)(01xy20yx),(又 满足 ，故点 在抛物线上.所以抛物线 上存在一点,My4 xy42，使得 与 关于直线 对称.)1(1Fl21. （本小题共 12 分）解：() xfe2fe在 处的切线方程为： 1,f 21yex即 yex() 即 令xaafx0xfe x时， ， 时， 00f在 上减，在 上增fx,又 时，的最大值在区间端点处取到.041,ln3fx1fe44ln1ln33f4lnll03ffee在 上最大值为 ，1lfffx41,ln31e故 的取值范围是： .aae（）由已知得 时 恒成立，设 0,x210xt21.xget12.get由()知 ，当且仅当 时等号成立，x0x- 10 -故 从而当21,gxttx120,t即 时， ， 为增函数，又1t0g0,g于是当 时， 即时符合题意。 x,gx2(),fxt1t由 可得 ，从而当 时，1e10e22,xxxxgt et故当 时， ， 为减函数，又 ，0,lngg0g于是当 时， 即,xt0,x2()fxt故，不符合题意.综上可得 的取值范围为 12tt1,.- 11 -
