1、- 1 -长安一中高 2016 级高三第二次教学质量检测数学试题（理科）时间：120 分钟 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集 ，集合 ，则RU|2,|130AxBx等于( ) BCARA B C D1,21,21,22. 已知 为虚数单位，若复数 在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范围为i tizt（ ）A B C D1,(1,)(,1)(1,)3. 要计算 的结果，如图程序框图中的判断框内可以填（ ）+2307A n2017 B n2017 C n2017 D n20174 2017 年
2、 3 月 2 日至 16 日，全国两会在北京召开，甲、乙两市近 5 年与会代表名额数统计如图所示，设甲、乙的数据平均数分别为 ，中位数分别为 y1， y2，则（ ）12,xA ， y1 y2 B ， y1=y212x1xC ， y1=y2 D ， y1 y2 25已知函数 给出下列两个命题， p：存在 ，使得方程3,0xmf ,0mf（ x）=0 有实数解； q：当 时， f（ f（1）=0，则下列命题为真命题的是（ ）3- 2 -A p q B（ p） q C p（ q） D p（ q）6若方程 1522kyx表示双曲线，则实数 的取值范围是（ ）kA. B. C. 或 D. 以上答案均不对
3、 k2k57. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D233291698如图所示，已知菱形 ABCD 是 由等边 ABD 与等边 BCD 拼接而成，两个小圆与 ABD 以及 BCD 分别相切，则往菱形 ABCD 内投掷一个点，该点落在阴影部分内的概率为（ ）A B C D39318318399. 已知定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足当 x0 时， ， 则 2logfxxb的解集为（ ）3fxA B,2,4,C D10. 将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）A72 B120 C192 D24011椭圆 的左焦点为 ，直线 与
4、椭圆相交于点 ， ，当 的周长最2154xyFxaMNF大时， 的面积是（ ）FMN- 3 -A. B. C. D.565854512定义在 上的函数 满足 ，且当 时，R()fx(2)(ffx2,，对 ， ，使得24,3,()xf()1ga1,02,1x，则实数 的取值范围为（ ）21()gxfA B,)81,0)(,48C. D(0 ()二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 正项等比数列 an中， ，则 的前 9 项和 1473692,18aanS=14面积为 的等边三角形 ABC 中， D 是 AB 边上靠近 B 的三等分点，则 = 43 CDAB15.
5、已知实数 ， 满足不等式组 且 的最大值为 ，则xy20,5,xyzxya= 20cosdxa16. 等腰 ABC 中， AB=AC， BD 为 AC 边上的中线，且 BD=3，则 ABC 的面积最大值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（12 分）已知 a， b， c 分别是 ABC 内角 A， B， C 的对边，712sin+Cos62（1）求 C；（2）若 ，且 ABC 面积为 ，求 的值3c3sinAB18. （12 分）如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，PBCDCDAB， AB60D- 4 -（1）求证：平面 平面
6、 ；PBDAC（2 ）若 ，求 与平面 所成角的正弦值A19. （12 分）大学生小王自主创业，在乡下承包了一块耕地种植某种水果，每季投入 2 万元，根据以往的经验，每季收获的此种水果能全部售完，且水果的市场价格和这块地上的产量具有随机性，互不影响，具体情况如表：（1）设 表示在这块地种植此水果一季的利润，求 的分布列及期望；XX（2）在销售收入超过 5 万元的情况下，利润超过 5 万元的概率20. （12 分）已知椭圆： 的离心率为 ，圆 的圆210xyab22=0xy心与椭圆 C 的上顶点重合，点 P 的纵坐标为 53（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若斜率为 2 的直线 l 与椭圆 C
7、 交于 A， B 两点，探究：在椭圆 C 上是否存在一点 Q，使得 ，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由PABQ21.（12 分）已知函数 , lnfxx2agxR（1）若 和 在（0，+）有相同的单调区间， 求 a 的取值范围；fxg（2）令 ，若 在定义域内有两个不同的极值点hxaRhx求 a 的取值范围；设两个极值点分别为 ，证明： 12, 21e请考生在第 22、23 两 题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用 2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。- 5 -22.（10 分）选修 4-4：参数方程与极坐标系已知曲线 的极坐标方程是 ，以极点为
8、原点，极轴为 轴的正C24cos6in12x半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 ( 为参数）.ltyx231（1）写出直线 的一般方程与曲线 的直角坐标方程，并判断它们的位置关系；lC（2）将曲线 向左平移 个单位长度，向上平移 个单位长度，得到曲线 ，设曲线 经C23D过伸缩变换 得到曲线 ，设曲线 上任一点为 ，求 的取值范,xyE,Mxy132xy围.23. （10 分）选修 4-5：不等式选讲.设函数 .,fxaR（1）当 时，解不等式 ；53fx（2）当 时，若 ，使得不等式 成立，求实数 的取12fxfm值范围.- 6 -长安一中高 2016 级高三第二次教学质量检测数学试
9、题答案（理科）一、选择题1-5: C B B B B 6-10: A D D A D 11-12：C D二、填空题13. 26 14. 15. 16. 63【解析】设 AB=AC=2x， AD=x设三角形的顶角 ，则由余弦定理得 cos = = ，sin = = = = ，根据公式三角形面积 S= absin = 2x2x = ，当 x2=5 时，三角形面积有最大值 6故答案为：6三、解答题17解：（1）2sin sin（ +C）+cos C= ，sin（ +C）+cos C= ， cosC sinC+cosC= ， sinC cosC= ， sin（ C ）= ， C= ；（2） c= ，且
10、 ABC 面积为 3 ，13= a2+b2 ab， =3 ， a=3， b=4 或 a=4， b=3，2 R= = ， sin A+sinB=7 = 18. （）证明：四边形 是菱形， . CDABD又 平面 ， 平面 ， PABP- 7 -又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，PACPACPACBDPAC 平面 ，平面 平面 .BDBD（）解：设 ，因为 ， ，所以 ，ACO60A2PAB1O，如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，则 ，3O xyz(3,02)P， ， ， ，所以 ，(,0)(,10)B(,)D(3,)C(,)， .2PD0,2P设平面 的法向量为 ，则 则(,)nxy
11、z0,nPBD320,xyz解得 ，令 ，得 ， 0y3z2(,)设 与平面 所成角为 ，PCBD则 ，321sin|co,|4|7nPC则 与平面 所成角的正弦值为 PB119. （）设 表示事件“水果产量为 ”， 表示事件“水果市场价格为 元/ ”，A30kgB16kg则 ， ()0.4()0.5利润 产量 市场价格 成本， 的所有可能取值为： ， ，X31620830204， 40162046；(8)().5.PPAB；02X；(40)()63 6.5.PPAB 的分布列为：X- 8 -X28000 40000 44000 60000P0.2 0.2 0.3 0.3（万元） ()280.
12、40.240.360.348E（）设 表示事件“在销售收入超过 5 万元的情况下利润超过 5 万元” ，则C.3()028P20。解：（1）由椭圆的离心率 e= = ，则 a= c， b2=a2 c2=c2，由 x2+y22 y=0 的标准方程 x2+（ y1） 2=1，则 b=1， c=1， a= ，椭圆的标准方程： ；（2）假设存在 Q，使得满足 ，设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2）直线 l： y=2x+m，则 Q（ x0， y0）， P（ p， ），则 =（ x1 p， y1 ）， =（ x0 x2， y0 y2），由 ，则 ，则 ，整理得：9 x2+8mx+2m22=0，
13、则=（8 m） 249（2 m22）=8（9 m2）0，解得：3 m3，则 x1+x2= m， y1+y2=2（ x1+x2）+2 m= m， 则 x0= m p， y0= m ，由 Q（ x0， y0）在椭圆上，则 x02+2y02=2，（ m p） 2+2（ m ） 2=2，整理得：9 p2+16mp+8m2 m+32=0 有解，则 2=（16 m） 2 49（8 m2 m+32）=64832（ m ） 20，解得：3 m12， 无交集，因此不存在 Q，使得 21 解 ：（） f（ x）= xlnx x， x0，求导 f（ x）=ln x，令 f（ x）=0，解得： x=1，则当 f（ x
14、）0，解得： x1，当 f（ x）0 时，解得：0 x1， f（ x）单调递增区间为（1，+），单调递减区间为（0，1），- 9 -由 g（ x）= x2 ax（ aR）在（1，+）单调递增，在（0，1）单调递减，则 g（ x）开口向上，对称轴 x=1，则 a0， a 的取值范围（0，+）；（）（）依题意，函数 h（ x）= f（ x） g（ x） ax=xlnx x x2的定义域为（0，+），求导 h（ x）=ln x ax，则方程 h （ x）=0 在（0，+）有两个不同根，即方程 lnx ax=0 在（0，+）有两个不同根（解法一）转化为，函数 y=lnx 与函数 y=ax 的图象在（0
15、，+）上有两个不同交点，如图可见，若令过原点且切于函数 y=lnx 图象的直线斜率为 k，只须 0 a k令切点 A（ x0，ln x0），则 k=y = ，又 k= ， = ，解得， x0=1，于是 k= ，0 a ；解法二：令 g（ x）=ln x ax，从而转化为函数 g（ x）有两个不同零点，求导 g（ x）= ax= （ x0）若 a0，可见 g（ x）在（0，+）上恒成立，g（ x）在（0，+）单调增，此时 g（ x）不可能有两个不同零点若 a0，在 0 x 时， g（ x）0，在 x 时， g（ x）0， g（ x）在（0， ）上单调增，在（ ，+ ）上单调减，从而 g（ x）的
16、极大值， g（ x） 极大值 =g（ ）=ln 1，又在 x0 时， g（ x），在 x+时， g（ x），于是只须：g（ x） 极大值 0，即 ln 10，0 a ，综上所述，0 a ；（）证明：由（i）可知 x1， x2，分别是方程 lnx ax=0 的两个根，- 10 -即 lnx1=ax1，ln x2=ax2，不妨设 x1 x2，作差得，ln =a（ x1 x2），即 a= ，原不等式 x1x2e 2等价于 lnx1+lnx22，则 a（ x1+x2）2，ln ，令 =t，则 t1，ln ，则 lnt ，设 g（ t）=ln t ， t1， g（ t）= 0，函数 g（ t）在（0，+
17、）上单调递增， g（ t） g（1）=0，即不等式 lnt ，成立，故所证不等式 x1x2e 2成立22解：（I）直线 的一般方程为 ，l30y曲线 的直角坐标方程为 .C22x因为 ，所以直线 和曲线 相切.231lC（II）曲线 为 .曲线 经过伸缩变换D22(6)1xyD,2xy得到曲线 的方程为 ，则点 的参数方程为 （ 为参数）E224Mcos,in12，所以 ，所以 的取值范围13cosin6si63xy3xy.4,823.解：（I）当 时，原不等式等价于 ，5a5x即 ，所以解集为 .328xx28（II）当 时， .11f- 11 -令 12gxffx13,221,xx由图象，易知 时， 取得最小值 .2xgx32由题意，知 ，所以实数 的取值范围为3114mm1,4
